2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二数学第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，满足，则的最小值为（）A.5 B.-3C.-5 D.-92．设双曲线的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．2013年9月7日，总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）（其中，，）A.2559万元 B.2969万元C.3005万元 D.3040万元4．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.5．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B.C. D.6．若是等差数列的前项和，，则（）A.13 B.39C.45 D.217．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C D.8．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.9．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（）A. B.C. D.10．已知分别是等差数列的前项和，且，则（）A. B.C. D.11．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（）A.10 B.20C.30 D.4012．双曲线的焦距是（）A.4 B.C.8 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，且，则实数______.14．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则__________15．给定点、、与点，求点到平面的距离______.16．将车行的30辆大巴车编号为01，02，…，30，采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本，且在某组随机抽得的一个号码为08，则剩下的两个号码依次是__________（按号码从小到大排列）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知直线，以点为圆心的圆C与直线l相切（1）求圆C的标方程；（2）过点的直线交圆C于A，B两点，且，求的方程19．（12分）已知直线l：x-y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切（1）求该圆的方程；（2）若直线x+my-1=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=，求m的值20．（12分）在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，，建立如图所示直角坐标系（1）求新桥BC的长度；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最小？21．（12分）如图，在几何体ABCEFG中，四边形ACGE为平行四边形，为等边三角形，四边形BCGF为梯形，H为线段BF的中点，，，，，，.（1）求证：平面平面BCGF；（2）求平面ABC与平面ACH夹角的余弦值.22．（10分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点（1）求椭圆C方程；（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若①求△面积的范围，②证明：为定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】解：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，在中，，当直线向下平移时，增大，因此把直线向上平移，当直线过点时，故选：D2、C【解析】由已知可求出，即可得出渐近线方程.【详解】因为，所以，所以的渐近线方程为.故选：C.3、B【解析】前7年投入资金可看成首项为160，公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260，公比为1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求【详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，则2020年投入资金万元，年共7年投资总额为，从2021年开始每年投入资金比上一年增加，则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列，故从2021年到2024年投入总资金为，故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元故选：4、D【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】由得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.5、C【解析】设直线的倾斜角为，则，解方程即可.【详解】由已知，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故选：C6、B【解析】先根据等差数列的通项公式求出，然后根据等差数列的求和公式及等差数列的下标性质求得答案.【详解】设等差数列的公差为d，则，则.故选：B.7、C【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.【详解】对任意，都有成立，即令，则，所以函数在上单调递增不等式即，即因为，所以所以，，解得，所以不等式的解集为故选：C.8、B【解析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.【详解】解：根据题意，设，所以①，②，所以，①②得：，即，因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，所以，即，所以抛物线，准线方程为.故选：B9、D【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.【详解】三角形有两个解，，即.故选：D.10、D【解析】利用及等差数列的性质进行求解.【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，故选：D11、B【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，因为离心率为，即，可得，所以，所以双曲线的方程为：，因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，将代入双曲线可得，解得：，所以颈部高为，故选：B12、C【解析】根据，先求半焦距，再求焦距即可.【详解】解：由题意可得，，∴，故选：C【点睛】考查求双曲线的焦距，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用向量平行的条件直接解出.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故答案为：.14、【解析】由题意画出图形，写出直线的方程，与抛物线方程联立求出的坐标，进一步求出的坐标，求得即可求解【详解】解：如图，由抛物线，得，，则，与抛物线联立得，解得、，，，，，为等边三角形，，过作轴的垂线交轴于，设，，，，，在抛物线上，，解得，，，，则，故答案为：15、【解析】先求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式计算即可.【详解】设平面的法向量为，点到平面的距离为，，，即，令，得故答案为：.16、18，28【解析】根据等距抽样的性质确定剩下的两个号码即可.【详解】由于从30辆大巴车中抽取3辆车，故分组间距为10，又第一组的号码为08，所以其它两个号码依次是18，28故答案为：18，28.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值（2）【解析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解；（2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案.【小问1详解】解：当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数的极大值为，无极小值；【小问2详解】解：若存在，使不等式成立，则，即，则问题转化为，令，，，当时，，当时，，所以函数在递增，在上递减，所以，所以.18、（1）（2）或【解析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C的标方程；（2）根据弦长公式可求出圆心C到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想即可求出【小问1详解】设圆C的半径为r，∵C与l相切，∴，∴圆C的标准方程为【小问2详解】由可得圆心C到直线的距离∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件；当的斜率存在时，设，圆心C到直线的距离，解得，此时的方程为，即综上，的方程为或19、（1）（2）0【解析】（1）设出圆心坐标，利用题干条件得到方程，求出，从而求出该圆的方程；（2）利用点到直线距离公式及垂径定理进行求解.【小问1详解】设圆心为，，则由题意得：，解得：或（舍去），故该圆的方程为【小问2详解】圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：20、（1）80m；（2）.【解析】（1）根据斜率的公式，结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可；（2）根据圆的切线性质进行求解即可.【小问1详解】由题意，可知，，∵∴直线BC方程：①，同理可得：直线AB方程：②由①②可知，∴，从而得故新桥BC得长度为80m【小问2详解】设，则，圆心，∵直线BC与圆M相切，∴半径，又因为，∵∴，所以当时，圆M的面积达到最小21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）在中，由正弦定理知可知，利用三角形内角和可知即，又因为，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）取BC中点O，由（1）得：平面BCGF，，以O为原点，OB，OH，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角，即可求出结果.【小问1详解】证明：（1）在中，由正弦定理知：解得因为，所以又因为，所以所以又因为，所以直线平面ABC又因为平面BCGF所以平面平面BCGF【小问2详解】解：取BC中点O，连结OA，OH，由（1）得：平面BCGF，则以O为原点，OB，OH，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系在中，则，，平面ABC的一个法向量为设平面ACH的一个法向量为因为，所以，取，则设平面APD与平面PDF夹角为，所以.22、（1）；（2）①；②证明见解析.【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；（2）先根据相切求出直线