2023-2024学年清远市重点中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2023-2024学年清远市重点中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．胡萝卜中含有大量的胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素，现从，两个品种的胡萝卜所含的胡萝卜素（单位：）得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是A. B.的方差大于的方差C.品种的众数为 D.品种的中位数为2．已知数列是等比数列，且，则的值为（）A.3 B.6C.9 D.363．已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）A.26 B.27C.28 D.294．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为（）A.95 B.131C.139 D.1415．下列命题中，真命题的个数为（）（1）是为双曲线的充要条件；（2）若，则；（3）若，，则；（4）椭圆上的点距点最近的距离为；A.个 B.个C.个 D.个6．过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.7．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.9．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.10．设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则（）A.4 B.5C.8 D.1011．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12．已知是两个数1，9的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A.或 B.或C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线l与双曲线的左、右支分别交于点A，B.且|AF2|=|BF2|，则该双曲线的离心率为____________.14．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.（1）设，则在上的“新驻点”为___________；（2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是___________.15．命题为假命题，则实数的取值范围为_____________.16．已知圆，过点作圆O的切线，则切线方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知二次函数.（1）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式（其中）.18．（12分）已知函数（1）若，求曲线在处的切线方程（2）讨论函数的单调性19．（12分）为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？（3）样本中不达标的学生人数是多少？（4）第三组的频数是多少？20．（12分）已知数列的前项和为，并且满足（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：21．（12分）大学生王蕾利用暑假参加社会实践，对机械销售公司月份至月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示：月份销售单价（元）销售量（件）（1）根据至月份数据，求出关于的回归直线方程；（2）若剩下的月份的数据为检验数据，并规定由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（注：，，参考数据：，）22．（10分）已知函数.（1）判断的单调性.（2）证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】读懂茎叶图，分别计算出众数、中位数、方差，然后对各选项进行判断【详解】由茎叶图知，品种所含胡萝卜素普遍高于品种，所以，故A正确；品种的数据波动比品种的数据波动大，所以的方差大于的方差，故B正确；品种的众数为与，故C错误；品种的数据的中位数为，故D正确.故选.【点睛】本题主要考查了对数据的分析，首先要读懂茎叶图，然后计算出众数、中位数、方差，即可对各选项进行判断，较为基础2、C【解析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.【详解】由等比数列的性质知：，，，所以，又，所以.故选：C3、B【解析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为,则,进而求解即可【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号；第二组编号为13号至24号；第三组编号为25号至36号；第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为,则,所以,故选:B【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题4、A【解析】利用已知条件，推出数列的差数的差组成的数列是等差数列，转化求解即可【详解】由题意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的数列为4，6，10，16，24，……，则这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，……，是一个等差数列，设原数列的第7项为，则，解得，所以原数列的第7项为95，故选：A5、A【解析】利用方程表示双曲线求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断（1）的正误；直接判断命题的正误，可判断（2）的正误；利用空间向量垂直的坐标表示可判断（3）的正误；利用椭圆的有界性可判断（4）的正误.【详解】对于（1），若曲线为双曲线，则，即，解得或，因为或，因此，是为双曲线的充分不必要条件，（1）错；对于（2），若，则或，（2）错；对于（3），，则，（3）对；对于（4），设点为椭圆上一点，则且，则点到点的距离为，（4）错.故选：A.6、A【解析】由题意设直线方程为，根据点在直线上求参数即可得方程.【详解】由题设，令直线方程为，所以，可得.所以直线方程为.故选：A.7、D【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】由得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.8、B【解析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.9、A【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.故选：A10、C【解析】根据双曲线的定义可得：，结合双曲线的方程可得答案.【详解】由双曲线可得根据双曲线的定义可得：故选：C11、D【解析】当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列12、A【解析】根据题意可知，当时，根据椭圆离心率公式，即可求出结果；当时，根据双曲线离心率公式,即可求出结果.【详解】因为是两个数1，9的等比中项，所以，所以，当时，圆锥曲线，其离心率为；当时，圆锥曲线，其离心率为；综上，圆锥曲线的离心率为或.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的关系，再由离心率公式可得所求值【详解】过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，因为直线l的倾斜角为，所以在直角三角形F1F2N中，，由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，则，故答案为：14、①.②.【解析】（1）根据“新驻点”的定义求得，结合可得出结果；（2）求出的值，利用零点存在定理判断所在的区间，进而可得出与的大小关系.详解】（1），，根据“新驻点”的定义得，即，可得，，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；（2），则，根据“新驻点”的定义得，即.，则，由“新驻点”的定义得，即，构造函数，则函数在定义域上为增函数，，，，由零点存在定理可知，，.故答案为：（1）；（2）.【点睛】本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义.15、【解析】依据题意列出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】命题为假命题，则为真命题则判别式，解之得故答案为：16、或【解析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.【详解】由题设，，故在圆外，根据圆及，知：过作圆O的切线斜率一定存在，∴可设切线为，联立圆的方程，整理得，∴，解得或.∴切线方程为或.故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见解析【解析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；(2)将原不等式化为，求出参数a分别取值、、时的解集.【小问1详解】不等式即为：，当时，不等式可变形为：，因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数a的取值范围是；【小问2详解】不等式，即，等价于，转化为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18、（1）（2）答案见解析【解析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点可得切线方程；（2）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可得的单调性.【小问1详解】当时，，，，又，在处的切线方程为：，即；【小问2详解】，令，解得：，；当时，，在上单调递增；当时，若或，则；若，则；在和上单调递增，在上单调递减；当时，若或，则；若，则；在和上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.19、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以计算面积之比即为所求小组的频率.可用此方法计算（1），（2），由公式直接计算可得（1）中样本容量；根据（2）问中的达标率，可计算不达标率，从而求出不达标人数，可得（3）；单独计算第三组的频率，由公式计算频数，可求出（4）.【小问1详解】频率分布直方图以面积形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08所以样本容量＝＝150.【小问2详解】由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.【小问3详解】由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)【小问4详解】第三小组的频率为＝0.34又因为样本量为150，所以第三组的频数为150×0.34＝5120、（1）；（2）证明见解析.