平面和平面平行教学设计

平面与平面平行一、内容和内容解析1．内容平面与平面平行的鉴定与性质．2．内容解析本节课是在学习了平面与平面平行的定义、直线与平面平行的鉴定及性质的基础上，探究平面与平面的平行的鉴定定理和性质定理．平面与平面的平行关系是空间图形的基本位置关系，由平面与平面的平行可进一步掌握直线与平面平行、直线与直线平行的位置关系．空间中，基本图形位置关系的研究，重要是以某两种图形的位置关系为前提（定义），研究对应的充足条件（鉴定）和必要条件（性质）．无论是性质还是鉴定，都是“空间基本图形拟定的互有关系”．平面与平面平行的鉴定定理，反映了两个平面在含有了什么条件下互相平行的问题，是充足条件．这一定理与平面的构成要素有关，由于两条相交直线不仅拟定一种平面，并且根据平面对量基本定理，它们还能够表达这个平面上的全部直线，从而能够代表这个平面，因此，如果一种平面内两条相交直线与另一种平面平行，那么这个平面上的全部直线都和另一种平面平行，从而这两个平面平行．平面与平面平行的性质定理，反映了在两个平面平行的条件下，这两个平面内的某些直线之间的位置关系，是必要条件．当两个平行平面内的直线处在同一平面时，也就是它们是第三个平面与这两个平面的交线时，这两条直线含有平行这种特殊的位置关系．因此，平面与平面的平行的鉴定定理和性质定理是平面与平面平行的核心研究内容．平面与平面平行的鉴定定理和性质定理的发现以及性质定理的证明过程，体现了直观感知、确认操作，思辨论证的立体几何研究的基本办法，有助于学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的素养的培养．平面与平面平行的鉴定和性质的研究，从与这两个平面有关的基本元素（点、直线、平面）出发，考虑其位置关系，这也体现了研究空间基本图形位置关系的基本思路和办法．两个平面平行的鉴定定理和性质定理的探究，是平面与平面平行、直线与平面平行、直线与直线平行等位置关系的转化，也体现了立体几何研究中由简朴到复杂、由易到难的研究思路．基于以上分析，拟定本节课的教学重点：平面与平面平行的鉴定定理和性质定理的探究．二、目的和目的解析1．目的（1）探究并理解平面与平面平行的鉴定定理．（2）探究并证明平面与平面平行的性质定理．（3）结合平面与平面鉴定定理和性质定理的探究，体会立体几何中研究位置关系的鉴定和性质的办法．2.目的解析达成目的（1）的标志是：学生能在两个平面平行的定义的基础上，将平面与平面平行的鉴定转化为直线与平面平行的鉴定；进而能联系相交直线或平行直线能够拟定一种平面，将一种平面内的“任意一条直线平行于另一种平面”转化为“两条相交直线或平行直线平行于另一种平面”；并通过实验，发现平面与平面平行的鉴定定理．达成目的（2）的标志是：学生能够将平面与平面的平行转化为这两个平面内的直线之间的位置关系；并借助长方体模型，找到这两个平面内的直线处在平行这种特殊位置关系的条件，进而发现平面与平面平行的性质定理；并能根据基本领实对性质定理进行证明．达成目的（3）的标志是：结合平面与平面平行的鉴定定理和性质定理的探究，体会什么是鉴定，什么是性质；理解发现图形位置关系的鉴定和性质的目的；能借助直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的转化，运用其中的特殊位置关系发现对应的鉴定定理与性质定理；体会其中普通到特殊、复杂向简朴的转化．三、教学问题诊疗分析由于学生没有将平面与平面平行的问题转化为直线与平面的问题解决的经验，从平面与平面平行的定义转化到一种平面内的任意一条直线平行于另一种平面，是探究鉴定定理的核心，这里需要教师的适宜引导．从一种平面内的任意一条直线平行于另一种平面到一种平面内的两条相交直线平行于另一种平面是探究鉴定定理的难点，困难的因素是学生对基本领实的认识肤浅，没故意识到基本领实既是立体几何的基石，又是立体几何研究的出发点和重要根据，联系基本领实，能够将“任意一条直线”的问题转化为“两条直线”的问题，对于“两条平行直线拟定的平面平行于另一种平面，那么这个平面上的任意直线并不都平行于另一种平面”，通过实验操作直观感知，学生容易理解，但从向量的角度进行解释需要教师的引导．学生对于平面与平面平行的性质定理的证明并不感到困难，难点在于平面与平面平行的性质定理的应用，其中一种重要的因素是无视了性质定剪发现的过程．事实上，性质定理的本质是要发现与这两个平面有关的直线、平面与它们的互有关系．两个平面平行，这两个平面内的直线互相平行或异面；一种平面上的直线和另一种平面平行．这两个平面以外的其它平面如果与其中一种平行，则它与另一种也平行（平行公理）；如果与其中一种相交，则它与另一种也相交，并且交线平行（性质定理）．基于以上分析，拟定本节课的教学难点：鉴定定理的探究中将“任意一条直线”转化为“两条相交直线”，性质定理的探究中第三个平面的提出．四、教学过程设计引言我们研究了直线与平面平行，重点研究了其鉴定和性质，接下来自然想到要研究两个平面平行，还是要研究其鉴定与性质．下面我们来探究这两个问题．（一）探究两个平面平行的鉴定定理问题1两个平面平行能够通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面与否有公共点，因此很难直接运用定义判断．数学中的“定义”都是充要条件，类似于研究直线与平面平行的鉴定那样，平面与平面平行，与否有更简便的鉴定办法呢？师生活动：学生独立思考后交流，师生对话，将判断两个平面没有公共点的问题转化为一种平面内的任意一条直线平行于另一种平面．设计意图：明确探究方略——两个平面平行的问题转化为一种平面内的直线平行于另一种平面的问题；达成共识——如果一种平面内的任意一条直线平行于另一种平面，则这两个平面平行．这有助于学生此后对两个平面平行的理解，有助于基本几何元素位置关系的转化，有助于探究意识的形成．问题2：平面内的直线有无数多条，我们难以对全部直线逐个检查，能否将“一种平面内的任意一条直线平行于另一种平面”中的“任意一条直线”减少，得到更简便的办法？追问1：减少到一条能够吗？为什么？师生活动：在学生猜想的基础上，师生对话，举出反例．追问2：根据基本领实的推论2，3，两条平行直线或两条相交直线都能够拟定一种平面．由此能够想到，由“一种平面内的两条平行直线与另一种平面平行”和“一种平面内的两条相交直线与另一种平面平行”，能否判断这两个平面平行？用语言和符号表达你的结论．师生活动：在学生动手操作、合情猜想的基础上，教师再设计以下“观察—探究”的活动：如图1（1），a，b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行．请观察硬纸片与桌面平行吗？如图1（2），c，d分别是三角尺的两条边所在直线，它们都和桌面平行，请观察这个三角尺与桌面平行吗？在上述“观察—探究”的基础上，请学生尝试用自己的话说一说他们感受到的平面与平面平行的鉴定办法以及如何用字母符号和图形表达，之后再让学生看教科书里给出的平面与平面平行的鉴定定理，及其符号和图形表达．鉴定定理一种平面内的两条相交直线与另一种平面平行，则这两个平面平行．设计意图：通过层层递进的问题，将“运用定义”判断，转化为“运用任意一条直线”来判断，再转化为“运用两条相交直线”来判断．这一过程，体现了研究立体几何图形位置关系的普通思路，即从要研究的问题出发，结合要得到的目的，由复杂向简朴转化．在这一过程中，关注平面的基本领实的作用，关注其中的特殊位置关系．上述过程在逻辑上是自然的，但对于学生是十分困难的．因此，得到鉴定定理的过程中的猜想显得十分重要．固然，这里的猜想不是“胡猜”，是有根据的猜想．这一过程也体现了直观感知、操作确认这一立体几何的研究办法在发现图形位置关系中的作用，有助于提高学生数学抽象、直观想象等数学素养．

追问3：为什么不能用“一种平面内的两条平行直线平行于另一种平面”判断两个平面平行，而能够用“一种平面内的两条相交直线平行于另一种平面”判断两个平面平行？联想平面对量基本定理，你能对面面平行鉴定定理做出进一步解释吗？师生活动：共同回想平面对量基本定理，平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量能够表达为它们的线性组合，从而平面内的两条相交直线能够“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所示的向量是共线的，用它们不能“表达”这个平面上的任意一条直线．设计意图：直观感知，操作确认“一种平面内的两条平行直线与另一种平面平行，不能判断两个平面平行”是容易的，设计上述追问能够让学生从向量的角度对其因素做某些阐释，使学生进一步理解用“两条相交直线”表达“任意一条直线”的合理性和重要性，以避免此后学生使用鉴定定理时无视“相交直线”这个核心条件，也加深对平面对量基本定理的理解．事实上，平面与平面平行的鉴定定理在选择性必修课程“空间向量与立体几何”中能够用向量办法证明．（二）应用定理，纯熟掌握问题3：在实际生活中，你见过工人师傅如何判断两个平面平行吗？你能阐明这样做的道理吗？师生活动：有些学生会见过房间装修，或家具安装，或农村盖房过程中工人师傅测水平的工具和操作（如图2），能够体会其中的数学道理．设计意图：使学生理解鉴定定理在实际生活中的应用，培养学生的应用意识，进一步加强对鉴定定理的理解．追问：（1）看到要证明的结论，你能想到用什么办法？（学生活动预设：两个平面平行的鉴定定理．）设计意图：熟悉鉴定定理的应用，体会平面与平面的平行到直线与平面平行，再到直线与直线平行的空间位置关系的转化，规范书写格式．（三）探究并证明两个平面平行的性质定理问题4：下面我们研究平面与平面平行的性质．类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们能够得到哪些结论？追问1：从哪些角度考虑我们能得到的结论？师生活动：教师组织学生观察长方体（图４），师生对话，学生会得到下列这些结论：如果两个平面平行，那么：（1）一种平面内的直线必平行另一种平面；（2）一种平面内的直线与另一种平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者是平行直线．设计意图：先对两个平行平面内的直线含有什么位置关系做整体理解，然后再聚焦性质定理．

追问2：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊状况，什么时候这两条直线平行呢？追问3：没有公共点的直线中，平行是一类重要位置关系．在图4中，平面A′C′与平面AC平行，在平面AC内过点D有平行于直线B′D′的直线吗？如果有，如何画出这条直线？师生活动：（师生共同探究）由直线B′D′和点D能够拟定一种平面，这个平面也是平行直线DD′和BB′拟定的平面，它与平面AC有唯一过点D的公共直线BD，直线BD与直线B′D′都在直线B′D′和点D拟定的平面内，且没有公共点，因此BD∥B′D′．设计意图：在性质定理给出之前，先结合长方体，建立直观具体的模型，有助于理解性质定理的意义．追问4：你能够将上面的探究成果抽象为普通结论，并证明你的结论吗？.师生活动：学生可能的答案有：如果两个平面平行，（1）过一种平面内的一条直线和另一种平面内一点的平面与另一种平面相交，交线与这条直线平行；（2）过一种平面内的一条直线的平面与另一种平面相交，交线与这条直线平行；（3）一种平面与这两个平面相交，交线平行．教师分析每一种回答，在此基础上，师生共同得出性质定理，并进行证明（证明略）．性质定理两个平面平行，如果一种平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．设计意图：先具体再抽象符合学生的认知规律，通过对学生回答的答案分析、辨析、归纳，有助于培养学生的抽象概括能力．（四）应用定理，纯熟掌握追问1：证明两条线段相等的办法诸多，在本题条件下，要证明AB=CD，你想到了什么？预设学生活动：构造平行四边形，运用其对边相等而得到AB=CD．追问2：这样说来，AB与CD是一种平行四边形的一组对边，那么另一组对边怎么构造呢？题目的条件如何使用？师生活动：师生共同完毕本题的证明．证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．∵α∥β，∴BD∥AC．又AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形．∴AB=CD．设计意图：熟悉性质定理的应用，规范格式，理解平面与平面平行的某些其它性质．（五）巩固练习

1．在描述箭头的括号处填上适宜的词．2．教科书第142页练习第1，2，3题．（六）归纳小结教师与学生一起回想本节课所学的重要内容，并请学生回答下列问题：（1）平面与平面平行的鉴定定理和性质定理分别是什么？运用它们分别能够证明什么样的命题？（2）在平面与平面平行的鉴定定理的探究中，为什么能够将“一种平面内任意直线平行于另一种平面，则两个平面平行”，转化为“一种平面内两条相交直线平行于另一种平面，则两个平面平