关于高考中一类常用函数的剖析与应用 论文

关于高考中一类常用函数的剖析与应用型的剖析归纳，能让学生了解此类题目的本质和解法，能迅速解决此类题型。关键词：奇偶性，单调性，对称性，增函数，减函数在高中数学的教学中，我们常常会遇到这样一类函数：f(x)=ax+a-x（a>0且g(x)=ax－a-x（a>0且涉及这类函数的考题如:（2010年广东3）若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x－3-x的定义域均为R，则（）.A.f(x)B.f(x)与g(x)均为奇函数C.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数D.f(x)与g(x)均偶奇函数.2.(2017年北京5)已知函数f(x)=3x-，则f(x)（A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数。为了让同学们在遇到此类函数时能够迅速的把握这类函数的性质，从而快速的解决问题。我们对这类函数来做个简单的探究。分析最近几年的高考题，我们发现高考对这类函数的考查主要是从函数的奇偶性，函数图像的对称性以及函数的单调性这几个方面进行考查，下面我就从这几个方面对这类函数做一个探究。一ˎ这类函数具有的性质。（一）这类函数的奇偶性及图像的对称性。①对f(x)=ax+a-x（a>0且R，因此f(-x)=a-x+ax=f(x)，所以f(x)=ax+a-x为偶函数。其函数图像关于y轴对称。②而对于g(x)=ax－a-x（a>0且g(-x)=a-x－axg(x)=ax－a-x（a>0且关于原点对称。（二）这类函数的单调性。对f(x)=ax+a-x（a>0且a≠1而言fʼ(x)=（ax+a-xʼ=axlna+a-xln1a=(ax-a-x)·lna（0＋∞上当a>1时ax-a-x>0,lna>0所以fʼ(x)>0，因此f(x)=ax+a-xf(x)为减函数。同理可证当0<a<1时,ax-a-x<0,lna<0,仍然有fʼ(x)>0故f(x)=ax+a-x（a>0且论a>1或0<a<1函数f(x)=ax+a-x（a>0且g(x)=ax－a-x（a>0且a>1a-xg(x)在R当0<a<1时，g(x)=ax－a-x（a>0且a≠1）在R上为减函数。二ˎ这类函数在高考中的考查应用。如（2010年全国卷5）已知命题：p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2:函数y=2x+2-x在Rq1:p1vp2p1)vp2和q4：p1⋀(¬p2)中，真命题是（A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4。利用上面的结论，我们可以迅速的判定p1为真命题，p2为假命题，故q1,q4为真命题，答案为C.4x1又如(2010年重庆卷5)函数f(x)= 的图像（）2xA.关于原点对称B.关于直线y=x对称B.关于x轴对称D.关于y轴对称.4x1解析：f(x)= 变形为f(x)=2x+2-x，利用上面结论答案显然为B。2x除此之外，高考中我们还会碰到此类函数的变形应用，如f(x)=1(ex+e-X),g(x)=1(ex-e-X)和u(x)=1(e-X-ex)等。2 2 2例如：（2011湖北卷3）若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex，则有g(x)=（A.ex-e-XB.1(ex+e-X)C.1(e-X-ex)D.1(ex-e-X).2 2 2结合选项本题很容易选出答案为D.另外2008年安徽卷的第11题，也可以利用此结论去求解。若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数﹑偶函数，且满足f(x)-g(x)=ex,则有（A.f(2)<f(3)<g(0)B.g(0)<f(3)<f(2)B.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)<f(3).大家可以尝试看能不能