2023-2024学年吉林省示范名校高二数学第一学期期末检测试题含解析

2023-2024学年吉林省示范名校高二数学第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平行六面体中，点P在上，若，则（）A. B.C. D.2．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）A B.C. D.3．已知一质点的运动方程为，其中的单位为米，的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（）A. B.C. D.4．若数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.5．已知向量，若，则（）A. B.5C.4 D.6．椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．设等差数列前n项和是，若，则的通项公式可以是（）A. B.C. D.8．在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为A. B.C. D.9．已知向量，，若与共线，则实数值为（）A. B.C.1 D.210．已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（）A.36 B.24C.12 D.611．若实数满足约束条件，则最小值为（）A.-2 B.-1C.1 D.212．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中.若成公比为的等比数列，则____________14．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______15．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________16．的展开式中的常数项为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且.（1）求C；（2）若D是BC的中点，，，求AB的长.18．（12分）已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，（1）求椭圆C的方程；（2）设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值19．（12分）已知向量，.（1）计算和；（2）求.20．（12分）记数列的前n项和为，已知点在函数的图像上（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前9项和21．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.22．（10分）设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值；（3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为.试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【详解】因为，，所以有，因此，故选：C2、D【解析】根据，解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选：D3、C【解析】求出即得解.【详解】解：由题意得，故质点在第1秒末的瞬时速度为.故选：C4、B【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故选：B5、B【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：B6、C【解析】先求出椭圆的离心率，再由题意得出双曲线的离心率，根据离心率即可求出渐近线斜率得解.【详解】椭圆：的离心率为，则，依题意，双曲线；的离心率为，而，于是得，解得：，所以双曲线的渐近线方程为故选：C7、D【解析】根据题意可得公差的范围，再逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，所以，故AB错误；若，则，与题意矛盾，故C错误；若，则，符合题意.故选：D.8、C【解析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.【详解】过点作于点，连接，因为四棱柱为正方体，所以易得平面，因此即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，则，，因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以，因此，所以，因为，所以，则，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型.9、D【解析】根据空间向量共线有，，结合向量的坐标即可求的值.【详解】由题设，有，，则，可得.故选：D10、C【解析】设抛物线方程为，根据题意由求解.【详解】设抛物线方程为：，因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，所以，又P为C的准线上一点，所以点P到直线AB的距离为p，所以，解得，所以，故选：C11、B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为故选：B12、D【解析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，所以到直线的距离等于到点的距离，所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由条件可得，即，由余弦定理可得答案.【详解】由成公比为的等比数列，即由正弦定理可知所以故答案为：14、【解析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为=，所以，则曲线在点处的切线斜率为，即，又所以所求切线的倾斜角为故答案为：15、【解析】由题意设所求双曲线的方程为，∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即答案：16、15【解析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而可得展开式中的常数项【详解】二项式展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的常数项为故答案为：15三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角变换可求答案；（2）根据余弦定理先求，再用余弦定理求解.【小问1详解】∵，∴由正弦定理可得，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴.【小问2详解】设，则，即，解得或（舍去），∴.∵，∴.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据题意可列出关于的三个方程，解出即可得到椭圆C的方程；（2）根据对称可得点坐标，再根据斜率公式可得，然后由点为椭圆C上的点得，代入化简即可求出为定值【小问1详解】由题意解得，.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】因为点关于坐标原点的对称点为，所以的坐标为.，，所以，又因为点为椭圆C上的点，所以.19、（1），；（2）.【解析】（1）利用空间向量的坐标运算可求得的坐标，利用向量的模长公式可求得的值；（2）计算出，结合的取值范围可求得结果.【详解】（1），；（2），，因此，.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量的数量积计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.20、（1）（2）【解析】（1）利用的关系可求.（2）利用裂项相消法可求数列的前9项和【小问1详解】由题意知当时，；当时，，适合上式所以【小问2详解】则21、（1）（2）【解析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面积，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.【小问1详解】解：因为，所以.由正弦定理得，可得，所以，因为，所以.【小问2详解】解：由的面积，所以.由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为.22、（1）；（2）；（3）是，.【解析】（1）由题意，列出所满足的等量关系式，结合椭圆中的关系，求得，从而求得椭圆的方程；（2）写出，设，利用斜率坐标公式求得两直线斜率，结合点在椭圆上，得出，从而求得结果；（3）设直线的方程为：，，则，联立方程可得：，结合韦达定理，得到，结合直线的方程，得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）由题意可知，，又，所以，所以椭圆的标准方程为：.（2）,设，因为点在椭圆上，所以，，又，.（3）设直线的方程为：，，则