2023-2024学年湖北省天门、仙桃、潜江区高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2023-2024学年湖北省天门、仙桃、潜江区高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B.C. D.2．下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.3．设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（）A.13 B.16C.20 D.4．圆C：的圆心坐标和半径分别为（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和5．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（）A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件6．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（）A. B.C. D.7．已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，则该样本标准差为（）A.1 B.C. D.28．在直角坐标系中，直线的倾斜角是A.30° B.60°C.120° D.150°9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于（）A. B.C. D.10．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（）A0 B.1C.3 D.411．已知直线m经过，两点，则直线m的斜率为（）A.-2 B.C. D.212．函数的最小值为（）A. B.1C.2 D.e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与平行，则___________.14．设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，若，则的面积为____________15．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B.椭圆上存在点，使得C.椭圆的离心率为D.为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为316．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最大值.18．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)(1)求圆C的标准方程；(2)直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式21．（12分）已知椭圆的右焦点为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线.22．（10分）已知函数（1）若在上不单调，求a的范围；（2）试讨论函数的零点个数

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，，则圆锥的高，所以圆锥的体积，故选：D.2、B【解析】根据基本初等函数的导数和求导法则判断.【详解】，，，，只有B正确.故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式，考查导数的运算法则，属于基础题.3、B【解析】利用椭圆的定义及即可得到答案.【详解】由椭圆的定义，，焦距，所以的周长为.故选：B4、C【解析】先将方程化为一般形式，再根据公式计算求解即可.【详解】解：可化为，由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为故选：C5、D【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立故选：D6、B【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B7、B【解析】先求出的值，然后利用标准差公式求解即可【详解】解：因为五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，所以，解得，所以标准差，故选：B8、D【解析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故，故选D.【点睛】直线的斜率与倾斜角的关系是：，当时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围.9、C【解析】先由cosA的值求出，进而求出，用正弦定理求出b的值.【详解】因为cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故选：C10、A【解析】根据可知，数列具有周期性，即可解出【详解】因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，所以数列的前2022项和故选：A11、A【解析】根据斜率公式求得正确答案.【详解】直线的斜率为：.故选：A12、B【解析】先化简为，然后通过换元，再研究外层函数单调性，进而求得的最小值【详解】化简可得：令，故的最小值即为的最小值，是关于的单调递增函数，易知对求导可得：当时，单调递减；当时，单调递增则有：故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，又因为时，，，所以直线，重合故舍去，而,,，所以两直线平行.所以，故答案为：3.【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论14、【解析】根据抛物线定义求出点坐标，即可求出面积.【详解】由题可得，设，则由抛物线定义可得，解得，代入抛物线方程可得，所以.故答案为：.15、ABD【解析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；对于选项：设，则，且，又，，所以，，因此，解得，，故选项正确；对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，因为，所以，所以选项正确，故选：ABD16、【解析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.【详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，因为，，所以，.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）30.【解析】（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式求数列的通项公式；（2）利用等差数列求和公式求和,再利用二次函数求得最值即可.【详解】解：（1）由题意得，数列公差为，则解得：,∴（2）由（1）可得，∴∵，∴当或时，取得最大值【点睛】本题考查利用基本量求解等差数列的通项公式，以及前n项和及最值，属基础题18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四边形为菱形且为中点，，又，，又，，平面，，平面.（2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，∴，.∵三棱锥和的体积比为，∴，∴，∴.设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.20、（1）；（2）【解析】（1）设圆的标准方程为：，则分别代入原点和，得到方程组，解出即可得到；（2）由（1）得到圆心为，半径，由于直线过点与圆相切，则分别讨论斜率存在与否，运用直线与圆相切的条件：，解方程即可得到所求直线方程.【详解】(1)设圆C的标准方程为，则分别代入原点和，得到，解得则圆的标准方程为(2)由(1)得到圆心为，半径，由于直线过点与圆相切，当时，到的距离为2，不合题意，舍去；当斜率存在时，设，由直线与圆相切，得到，即有，解得，故直线，即为点睛：本题考查直线与圆位置关系，考查圆的方程的求法和直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题；圆的方程有一般形式与标准形式，在该题中利用待定系数法将其设为标准形式，列、解出方程组即可；当直线与圆相切时等价于圆心到直线的距离等于半径，已知直线上一点写出直线的方程需注意斜率不存在的情形.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)根据给定条件利用椭圆的定义求出轴长即可计算作答.(2)根据给定条件设出的方程，与椭圆C的方程联立，求出直线PA的方程并求出点M的坐标，求出点N的坐标，再利用斜率推理作答.【小问1详解】依题意，椭圆的左焦点，由椭圆定义得：即，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由(1)知，，直线不垂直y轴，设直线方程为，，由消去x得：，则，，直线的斜率，直线的方程：，而直线，即，直线的斜率，而，即，直线的斜率，直线的方程：，则点，直线的斜率，直线的斜率，，而，即，所以