2023-2024学年安徽省安庆第一中学数学高二上期末调研模拟试题含解析

2023-2024学年安徽省安庆第一中学数学高二上期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（）A.4 B.9C. D.3．已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（）A. B.C. D.4．命题：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>05．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜16．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）A.1 B.2C. D.7．已知数列{}满足，则（）A. B.C. D.8．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.9．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件10．若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）A.不存在过点O且与直线a，b都相交的直线B.过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交C.过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交D.过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交11．设实数x，y满足约束条件则的最小值（）A.5 B.C. D.812．已知函数（是的导函数），则（）A.21 B.20C.16 D.11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在处的切线方程为______14．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______.15．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．若，则外接圆面积的最小值为______16．若直线与直线平行，则实数m的值为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，，数列前项和为.（1）求数列，的通项公式；（2）表示不超过的最大整数，如，设的前项和为，令，求证：.18．（12分）已知满足，.（1）求证：是等差数列，求的通项公式；（2）若，的前项和是，求证：.19．（12分）已知空间三点.（1）求以为邻边平行四边形的周长和面积;（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标.20．（12分）已知等差数列和正项等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和21．（12分）已知直线与双曲线相交于、两点.（1）当时，求；（2）是否存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，，，，，（1）证明：是直角三角形；（2）求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设，得到，利用椭圆的范围求解.【详解】解：设，则，，，因为，所以，即，故选：B2、D【解析】根据题意求得抛物线的方程为和焦点为，由，得到为的中点，得到，代入抛物线方程，求得，进而求得的面积.【详解】由直线是抛物线的准线，可得，即，所以抛物线的方程为，其焦点为，因为，可得可得三点共线，且为的中点，又因为，，所以，将点代入抛物线，可得，所以的面积为.故选：D.3、B【解析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可.【详解】由题意知，，消去y，得，则，，所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，即线段AB的中点的坐标为.故选：B4、B【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故选：B5、A【解析】详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故选A【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误6、C【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆：，得圆，半径为，所以，所以点到圆上点的最小距离为.故选：C.7、B【解析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.【详解】因为，.故选：B8、A【解析】根据条件可知四边形为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：A.9、D【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由，可得，即，当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要条件.故选：D.10、D【解析】设直线与点确定平面，由题意可得直线与平面相交或平行.分两种情形，画图说明即可.【详解】点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，由题意可得，故直线与平面相交或平行.(1)若直线与平面相交（如图1），记，①若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；②若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线.（2）若直线与平面平行（如图2），则不存在过点且与直线，都相交的直线.综上所述，过点至多有一条直线与直线，都相交.故选：D.11、B【解析】做出，满足约束条件的可行域，结合图形可得答案.【详解】做出，满足约束条件可行域如图，化为，平移直线，当直线经过点时有最小值，由得，所以的最小值为.故选：B.12、B【解析】根据已知求出，即得解.【详解】解：由题得，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程【详解】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题14、【解析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以，故答案为：15、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即可求出外接圆的面积；【详解】解：因为，所以，解得或（舍去）．又为锐角三角形，所以．因为，当且仅当时等号成立，所以．外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为故答案为：16、【解析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）证明见解析【解析】(1)利用累加法求通项公式，利用通项公式与前n项和公式的关系可求的通项公式；(2)求出并判断其范围，求出，利用裂项相消法求的前n项和即可证明.【小问1详解】由题可知，当n≥2时，＝当n＝1时，也符合上式，∴；当时，，当n＝1时，也符合上式，∴；【小问2详解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴设为数列的前n项和，则.18、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】（1）在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式；（2）求得，利用裂项相消法求得，即可证得原不等式成立.【小问1详解】解：在等式两边同时除以可得且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，因此，.【小问2详解】证明：，所以，.故原不等式得证.19、（1）周长为，面积为7.（2）或.【解析】（1）根据点，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距离，可以求出周长，再利用向量的夹角公式求出夹角的余弦值，根据平方关系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先设出，根据题意可得出的方程组，解出满足条件所有的值即可求解.【小问1详解】由题中条件可知，，,，.所以以为邻边的平行四边形的周长为.因为，因为，所以.所以.故以以为邻边的平行四边形的面积为：.【小问2详解】设，则，，因为，且分别与垂直，得，解得或所以向量的坐标为或.20、（1）；（2）【解析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；（2）根据等比数列求和公式直接求解.【详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，因为，所以因此；（2）数列的前n项和【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.21、（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）当时，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得；（2）假设存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点，设、，将直线与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出，即可得出结论.【小问1详解】解：设点、，当时，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，.【小问2详解】解：假设存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点，设、，联立得，由题意可得，解得且，由韦达定理可知，因为以为直径的圆经过坐标原点，则，所以，，整理可得，该方程无实解，故不存在.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接BD，在四边形ABCD中求得，在中，取得，得到，由线面垂直的性质证得平面，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面PBD，进而得到，即可证得是直角三角形（2）以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行直线为y轴，所在直线为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接BD，因为四边形中，可得，，，所以，，则在中，由余弦定理可得，所以，所以因为平面底面