2023-2024学年北京市丰台区重点中学高二上数学期末检测试题含解析

2023-2024学年北京市丰台区重点中学高二上数学期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.2．下列命题中正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.抛物线的准线方程为x=−1C.抛物线的图象关于x轴对称D.抛物线的图象关于y轴对称3．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.4．已知，则点关于平面的对称点的坐标是（）A. B.C. D.5．在数列中，，则的值为（）A. B.C. D.以上都不对6．已知圆，圆C2：x2+y2－x－4y+7=0，则“a=1”是“两圆内切”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项9．在等比数列{an}中，a1=8，a4=64，则a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-3210．已知椭圆的上下顶点分别为，一束光线从椭圆左焦点射出，经过反射后与椭圆交于点，则直线的斜率为（）A. B.C. D.11．已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限，B关于原点对称，，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（）A.椭圆M的离心率为 B.椭圆M的离心率为C. D.12．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.14．从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选不同选法的种数为___________.15．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为___________.16．长方体中，，已知点与三点共线且，则点到平面的距离为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活棕榈树的株数，数学期望.（1）求p的值并写出的分布列；（2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.18．（12分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.19．（12分）已知正项数列的前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20．（12分）为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？（3）样本中不达标的学生人数是多少？（4）第三组的频数是多少？21．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.22．（10分）如图，在三棱柱中，平面，，.（1）求证：平面；（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，，即，又，，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误；对D，函数在上不单调，故D错误.故选：B.2、C【解析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.3、B【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.【详解】由得，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为1，故选：B.4、C【解析】根据对称性求得坐标即可.【详解】点关于平面的对称点的坐标是，故选：C5、C【解析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.【详解】解：，数列是以3为周期的数列故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点，属于基础题.6、B【解析】先得出圆的圆心和半径，求出两圆心间的距离，半径之差，根据两圆内切得出方程，从而得出答案.【详解】圆的圆心半径的圆心半径两圆心之间的距离为两圆的半径之差为当两圆内切时，，解得或所以当，可得两圆内切，当两圆内切时，不能得出（可能）故“”是“两圆内切”的充分不必要条件故选：B7、B【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，故可得对任意的，；又，则，故在单调递减，在单调递增，又，，则当时，,.对任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，则，故在单调递增，在单调递减.故，则只需.故选：B.8、C【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.9、C【解析】首先根据a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【详解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故选：C10、B【解析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD的方程，进而求出点D的坐标计算作答.【详解】依题意，椭圆的上顶点，下顶点，左焦点，右焦点，由椭圆的光学性质知，反射光线AD必过右焦点，于是得直线AD的方程为：，由得点，则有，所以直线的斜率为.故选：B11、C【解析】设出点，,的坐标，将点，分别代入椭圆方程两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.【详解】设，，，则，，，两式相减并化简得，即，则,则AB错误；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，则点在轴上，且为的中点即，则正确.故选：C.12、B【解析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可【详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先利用相似关系计算，求得直线OA的方程，再联立方程求得，利用抛物线定义根据即得p值，即得结果.【详解】因为，，所以，则，如图，，故，解得，所以，直线OA的斜率为，OA的方程，联立直线OA与抛物线方程，解得，所以，故，则抛物线标准方程为.故答案为：.14、49【解析】丙没有入选，相当于从9个人中选3人，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选，分别求出每种情况的选法数，再利用分类加法计数原理即可得解.【详解】丙没有入选，把丙去掉，相当于从9个人中选3人，甲、乙至少有1人入选，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选.甲乙两人只有一人入选，选法有种；甲乙两人都入选，选法有种.所以，满足题意的选法共有种.故答案为：49.【点睛】本题考查组合的应用，其中涉及到分类加法计数原理，属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；（6）去序法或倍缩法；（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.15、2【解析】利用双曲线的渐近线的倾斜角，求解，关系，然后求解离心率，即可求解.【详解】双曲线一条渐近线的倾斜角为，可得，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：2.16、【解析】利用坐标法，利用向量共线及垂直的坐标表示可求，即求.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，因为点与三点共线且，，设，即，∴，∴，∴，即，∴点到平面的距离为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），分布列见解析；（2）.【解析】（1）根据二项分布知识即可求解；（2）将补种棕榈树的概率转化为成活的概率，结合概率加法公式即可求解.【小问1详解】由题意知，，又，所以，故未成活率为，由于所有可能的取值为0,1,2,3,4，所以，，，，，则的分布列为01234【小问2详解】记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得，，所以需要补种棕榈树的概率为.18、（1）（2）或【解析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解；(2)结合已知条件设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再设出直线NH的方程，求出N点坐标，进而求出，然后表示出，再利用换元法和均值不等式求解即可.【小问1详解】设点的坐标为，∵，∴点P在线段QF垂直平分线上，∴，又∵，∴∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，∴，∴曲线的方程为：.【小问2详解】设直线AB方程为，，由，解得，，解得，由韦达定理可知，，，∴∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为，令，得，∴，又由，∴，∴设则∴当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足，故，所以直线AB的方程为：，即或.19、（1）（2）【解析】小问1：利用通项公式与的关系即可求出；小问2：根据(1)可得，结合错位相减法即可求出前n项和【小问1详解】当时，，.当时，，…①，，…②①②得：，即：.，是以为首项，以为公差的等差数列，；【小问2详解】由（1）可知，则，…①两边同乘得：，…②①②得：，.20、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以计算面积之比即为所求小组的频率.可用此方法计算（1），（2），由公式直接计算可得（1）中样本容量；根据（2）问中的达标率，可计算不达标率，从而求出不达标人数，可得（3）；单独计算第三组的频率，由公式计算频数，可求出（4）.【小问1详解】频率分布直方图以面积形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08所以样本容量＝＝150.【小问2详解】由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.【小问3详解】由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)【小问4详解】第三小组的频率为＝0.34又因为样本量为150，所以第三组的频数为150×0.34＝5121、（1）；（2）【解析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；（2）根据（1）的结果，写出，利用等比数列的前n项和公式求得答案.【小