华宏2003年mba联考辅导资料(a)

GROOBETT收集整理华宏2003年MBA联考辅导资料(一):《MBA线性代数复习提纲》(尤承业)上篇目录第一章线性代数中最基本的概念1.矩阵(1)基本概念(2)线性运算和转置(3)n阶矩阵和几个特殊矩阵(4)初等变换和阶梯形矩阵2.向量(1)基本概念(2)线性运算和线性组合3．线性方程组(1)基本概念(2)同解变换与矩阵消元法第二章行列式1.1形式与意义1.2定义(完全展开式)1.3性质1.4计算1.5克莱姆法则第三章矩阵乘法和可逆矩阵2.1矩阵乘法的定义和性质2.2n阶矩阵的方幂和多项式2.3乘积矩阵的列向量组和行向量组2.4矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)2.5矩阵乘法的分块法则2.6初等矩阵第四章向量组的线性关系和秩3.1向量组的线性表示关系3.2向量组的线性相关性3.3向量组的极大无关组和秩3.4矩阵的秩第五章线性方程组4.1线性方程组的形式4.2线性方程组解的性质4.3线性方程组解的情况的判别4.4齐次线性方程组基础解系线性方程组的通解分析第六章n阶矩阵的特征向量和特征值5.1特征向量和特征值第一章线性代数中最基本的概念基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.1.矩阵(1)基本概念矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.(2)线性运算和转置加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).数乘:一个mn的矩阵A与应该数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律:=1\*GB3①加法交换律:A+B=B+A.=2\*GB3②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).=3\*GB3③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.=4\*GB3④数乘结合律:c(d)A=(cd)A.=5\*GB3⑤cA=0c=0或A=0.转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作AT(或A).有以下规律:=1\*GB3①(AT)T=A.=2\*GB3②(A+B)T=AT+BT.=3\*GB3③(cA)T=(cA)T.(3)n阶矩阵几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|,称为A的行列式.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们但是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵:主对角线外的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上(下)三角矩阵:主对角线下(上)的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.(4)矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种:=1\*GB3①交换两行的上下位置.主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.(2)化零降阶法:取定一行(列),先用性质=6\*GB3⑥把这行(列)的元素消到只有一个或很少几个不为0,再用=7\*GB3⑦,对这行(列)展开.例如设4阶行列式1111D=-2x31,22x4334x取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到1000x+253x-22D=-2x+253=0x-22=(x+2)1x-3=(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x-1)(x-4).20x-2201x-3301x-3(3)利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式,包括n阶行列式.5.克莱姆法则克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n(即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D,D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值,Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.两点说明:=1\*GB3①按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上.(实际求解方法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时变为解.)=2\*GB3②法则的改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.练习题一1．计算行列式(1)2aaaaa2aaaaa2aaaaa2aaaaa2.(2)14916491625916253616253649.2.(1)a00b(2)a10a20000b10b200c10c20c00d.0d10d2.3.计算n阶行列式(1)123…n-1n-123…n-1n-1–23…n-1n…………-1–2–3…1-nn．(2)1-2-2…-2-2(3)123…n(4)1a10…0022-2…-2-2212…n-1-11-a1a2…00223…-2-2321…n-20-11-a2…00……………222…2n．nn-1n-2…1．000…-11-an．4.设4阶矩阵A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A|=2,|B|=3,求|A+B|.5.一个三阶行列式的值为8，它的第二行的元素是1，2，a，它们的余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a=().6.x3-31-32x+2多项式f(x)=-75-2x1，求f(x)的次数，最高次项的系数和常数项.X+3-133x2-29x36-67.x-2x-1x-2x-3求多项式f(x)=2x-22x-12x-22x-3的次数.3x-33x-24x-53x-54x4x-35x-74x-38.已知x-3a-14f(x)=5x-80–2的根为x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4.bx+11221x9.求行列式0100……0的全部代数余子式的和.002-10……00003-1……0…………0000……(n-1)-1n-1000……010．abcd已知行列式x-1-yz+1的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1-zx+3yy-2x+10z+3参考答案1.(1)把各列都加到第1列上,提出公因子.得(4a+2)(a-2)4.(2)自下而上,各行减去上一行(作两次).得0.2.用换行(列)的方法.得(1)(ad-bc)|B|.(3)(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d1).3.(1)提示：把第一行加到其它各行．得2n-1n!．(2)第3到n行各减第二行．得(n+2)!/4．(3)提示：自下而上各行减去上行．得(-1)n-12n-2(n+1)．(4)提示：从第2行起，自上而下各行加上行．得1．4.得40.5.得8.6.最高次只出现在下面划线的4个元素的乘积一项中,常数项即f(0).得9,6,0.7.2.8.提示:利用特征值的性质.得10.9.提示:利用伴随矩阵.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!.10.x=0,y=3,z=-1.第三章矩阵乘法和可逆矩阵1.矩阵乘法的定义和性质定义2.1当矩阵A的列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:=1\*GB3①矩阵乘法有条件.=2\*GB3②矩阵乘法无交换律.=3\*GB3③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.(无左消去律)由BA=CA和A=0推不出或B=C.(无右消去律)把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来,这是常见错误.矩阵乘法适合以下法则:=1\*GB3①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.=2\*GB3②数乘性质(cA)B=c(AB).=3\*GB3③结合律(AB)C=A(BC).=4\*GB3④(AB)T=BTAT.2.n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质|AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂设k是正整数,n阶矩阵A的k次方幂Ak即k个A的连乘积.规定A0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:=1\*GB3①AkAh=Ak+h.=2