幂零berrand曲线和主法向量的刻画

幂零berrand曲线和主法向量的刻画

在研究空间曲线的基本理论和特点时，这两种列曲线之间的对应关系吸引了许多数学家的兴趣。最为著名的一类伴侣曲线是Bertrand曲线,它定义为两类曲线在对应点的主法线重合。Bertrand曲线已经被许多学者研究。Balgetir等人研究了三维Minkowski空间中的幂零Bertrand曲线和非幂零Bertrand曲线,Izuyima讨论了Bertrand曲线和一般螺线的性质;Schief则考虑了三维欧式空间中Bertrand曲线的运动。Mannheim曲线是由Mannheim于1878年提出的。最近,Liu和Wang给出了Mannheim曲线的定义,并研究了三维空间中Mannheim伴侣曲线,得到了Mannheim伴侣曲线的充要条件。Orbay和Kasap得到了三维欧式空间中Mannheim伴侣曲线的新的特征。Oztekin和Ergut研究了三维Minkowski空间中幂零Mannheim曲线,Karacan则考虑了弱Mannheim曲线。Balgetir等人虽然研究了幂零Bertrand曲线的幂零伴侣曲线,但却没有得到幂零Bertrand曲线的非幂零伴侣曲线。Oztekin和Ergut虽然研究了三维Minkowski空间中幂零Mannheim曲线,但在文献中却有错误。并且,据作者所知,目前还没有人研究主法向量是幂零的类空曲线。因此,本文主要研究幂零曲线和主法向量是幂零的类空曲线。1伪正交标架型设E31是3维Minkowski空间,→a={x1,x2,x3},→b={y1,y2,y3}是E31的任意两个非零向量,则其内积和向量积分别定义为:若〈→a,→a〉<0,称→a为类时向量;若〈→a,→a〉=0,称→a为幂零向量;若〈→a,→a〉>0,称→a为类空向量。设→r(s):I→E31是E31中的一条非幂零曲线,s是其弧长参数,若〈r→s,r→s〉≠0,Τ→、Ν→、B→分别是曲线r→(s)的切向量、主法向量和副法向量。令Τ→2=ε1=±1,Ν→2=ε2=±1,B→2=ε3=±1。由知ε1ε2ε3=-1,故曲线分为三类:-ε1=ε2=ε3=1称为类时曲线;ε1=-ε2=ε3=1称为第一类类空曲线;ε1=ε2=-ε3=1称为第二类类空曲线。故Τ→,Ν→,B→构成的Serret-Frenet公式为:(Τ→˙Τ→˙Τ→˙)=(0κ0-ε1ε2κ0τ0-ε1ε2τ0)(Τ→Ν→B→)(1)其中,κ(s),τ(s)分别为曲线的曲率和挠率,Τ→˙=dΤ→ds,以下类似。若曲线C是类空曲线,且〈r→s,r→s〉=0,则曲线是主法向量是幂零的类空曲线。其Serret-Frenet公式为(Τ→˙Ν→˙Τ→˙)=(0κ00τ0-κ0-τ)(Τ→Ν→B→)(2)注意到Τ→2=1,Ν→2=B→2=0,〈Τ→,Ν→〉=〈Τ→,B→〉=0,〈B→,Ν→〉=1。因此,伪正交标架{Τ→,Ν→,B→}满足Τ→=Ν→×B→,Ν→=Τ→×Ν→,B→=B→×Τ→(3)如果曲线C是冥零曲线,其Serret-Frenet公式为(Τ→˙Ν→˙B→˙)=(0κ0τ0-κ0-τ0)(Τ→Ν→B→)(4)注意到Ν→2=1,Τ→2=B→2=0,〈Τ→,Ν→〉=〈Ν→,B→〉=0,〈B→,Τ→〉=1。因此,伪正交标架{Τ→,Ν→,B→}满足Τ→=Τ→×Ν→,Ν→=B→×Τ→,B→=Ν→×B→(5)在下面两节,我们要讨论曲线C和伴侣曲线C*。我们总是假设曲线C是非直线,κ、τ、s和κ*、τ*、s*分别是C和C*的曲率、挠率和弧长。2bertrand拟合在文献中,Balgetir等人已经得到了幂零Bertrand曲线有幂零Bertrand伴侣曲线的充要条件,这里作为结论给出。引理1设曲线C是幂零曲线,则C是Bertrand曲线当且仅当C是测地线,或者是挠率为常数的幂零曲线。从引理1出发,通过直接计算,我们可以得到如下推论。推论1设曲线C是幂零曲线,C*是幂零Bertrand伴侣曲线,则C*的伪正交标架{Τ→*,Ν→*,B→*}用曲线C的伪正交标架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=B→,Ν→*=-Ν→,B→*=Τ→。注意到对于幂零Bertrand曲线C,Balgetir等人并没有给出其非幂零的Bertrand伴侣曲线,这里我们如下给出:定理1设曲线C是幂零曲线,C*是其非幂零Bertrand伴侣曲线,则C*或者是类时曲线,或者是第二类类空曲线。C*的曲率κ*、挠率τ*和弧长s*如下给出κ*=κ(1+2Aτ)Dε2,τ*=-κDε2,ds*=Dεds(6)其中Dε=-2εAκ(1+Aτ)={2Aκ(1+Aτ),当ε=-1‚A+A2τ>0-2Aκ(1+Aτ)‚当ε=1‚A+A2τ<0C*的伪正交标架{Τ→*,Ν→*,B→*}由曲线C的伪正交标架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=1+AτDεΤ→-AκDεB→,Ν→*=Ν→,B→*=-ε(1+AτDεΤ→+AκDεB→)(7)证明由Bertrand曲线定义,曲线C*由下式给出r→*=r→+AΝ→(8)对(8)式关于s微商得Τ→*ds*ds=(1+Aτ)Τ→+AsΝ→-AκB→(9)注意到C*是非幂零曲线,则〈Τ→‚Ν→〉=0,又Ν→*=Ν→,所以有As=0.因此(9)约化为Τ→*ds*ds=(1+Aτ)Τ→-AκB→(10)又(Τ→*)2(ds*ds)2=[(1+Aτ)Τ→-AκB→]2=-2Aκ(1+Aτ)(11)注意到(Τ→*)2=±1,所以我们分两种情况讨论:Case1如果(Τ→*)2=-1,则C*是类时曲线,再由(11)得到D-1=ds*ds=2Aκ(1+Aτ),这里A(1+Aτ)>0,则得(7)的第一个关系式。对(7)的第一个关系式关于s微商得再次利用Ν→*=Ν→,得到则得(6)的第一式,副法向量B→*由下式给出并且,挠率τ*由式D-1τ*=-B→s*Ν→*给出。Case2如果(Τ→*)2=1,借助于Ν→*2=Ν→2=1,则C*是第二类类空曲线。剩余的证明类似于Case1的证明,这里略去。例1曲线Cr→={s,cosh2s2,sinh2s2}是幂零曲线,其伪正交标架分别为Τ→={1,sinh2s,cosh2s},Ν→={0,2cosh2s,2sinh2s},B→=-14{-4,sinh2s,cosh2s},其曲率κ=2,挠率τ=-1。则其类时Bertrand伴侣曲线C*由(8)给出,其中0<A<2。由(12)的第一和第二式,我们可以发现κ和τ满足线性关系,即下面推论:推论2设曲线C是幂零曲线,C*是类时曲线,或者是第二类类空曲线。如果C是Bertrand曲线且C*是其Bertrand伴侣曲线,则C的曲率κ和挠率τ满足线性关系,即这里,α>0是任意常数。从(6)的第一和第二式,我们得到如下推论:推论3设曲线C是幂零曲线,C*是类时曲线,或者是第二类类空曲线。如果C*是Bertrand曲线C的伴侣曲线,则C*的曲率κ*和挠率τ*满足线性关系,即κ*-τ*=±1A(14)Oztekin和Ergut已经注意到了幂零Mannheim曲线的伴侣曲线不再是幂零的,并得到了相应的充要条件,但在文献中却有一些错误,这里我们给出许多改正。定理2设曲线C是幂零Mannheim曲线,C*是其非幂零伴侣曲线,则C*或者是类时曲线,或者是第一类类空曲线。C*的曲率κ*,挠率τ*和弧长s*如下给出κ*=Aκs2κDε3,τ*=2τ=-1A,ds*ds=Dε(15)其中Dε=-εAκ={Aκ,当ε=-1‚A>0-Aκ‚当ε=1‚A<0C*的伪正交标架{Τ→*,Ν→*,B→*}则由曲线C的伪正交标架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=12DεΤ→+εDεB→,Ν→*=12εDεΤ→-DεB→,B→*=Ν→(16)证明由Mannheim曲线定义,C*由(8)式给出.有文献中定理3.1知A是任意非零常数。对(8)式关于s微商得Τ→*ds*ds=(1+Aτ)Τ→-AκB→(17)由(17)得到(11),注意到(Τ→*)2=±1,所以我们分两种情况讨论:Case3如果(Τ→*)2=-1,则C*是类时曲线,再由(11)得到D-1=ds*ds=2Aκ(1+Aτ),这里A(1+Aτ)>0,则(17)约化为Τ→*=1+AτDεΤ→-AκDεB→(18)对(18)关于s微商得κ*Ν→*D-1=(1+AτD-1)sΤ→+κ(1+2Aτ)D-1Ν→-(AκD-1)sB→,借助于Ν→=B→*和Ν→2=B→*2=1,则得到τ=-12A,D-1=Aκ,Ν→*=-(12D-1Τ→+D-1B→),κ*=Aκs2κD-13(19)利用B→*=Ν→,我们得到-D-1τ*Ν→*=τΤ→-κB→,所以就得到了τ*。Case4如果(Τ→*)2=1,借助B→*2=Ν→2=1,则C*是第一类类空曲线。剩余的证明类似于Case1的证明,这里略去。例2曲线Cr→={sins,-coss,s}是幂零曲线,其伪正交标架是Τ→={coss‚sins,1},Ν→={-sins,coss,0},B→=-12{coss,sins,-1}。其曲率κ=1,挠率τ=12。则其Mannheim伴侣曲线C*是由r→*=r→-Ν→给出。在这种情况下,C*是第一类类空曲线。3+as+a型主法向量是幂零的类空曲线以前还没有人研究过,这里,我们考虑其Bertrand曲线和Mannheim曲线。定理3如果C是主法向量是幂零的类空曲线,则其Bertrand伴侣曲线C*也是主法向量是幂零的类空曲线,并且其伪正交标架{Τ→*,Ν→*,B→*}由C的伪正交标架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=Τ→+(As+Aτ)Ν→‚Ν→*=Ν→‚B→*=-(As+Aτ)Τ→-12(As+Aτ)2Ν→+B→(20)C*的曲率、挠率和弧长分别如下给出这里,A是任意距离函数。证明对(8)式关于s微商得Τ→*ds*ds=Τ→+(As+Aτ)Ν→(22)因此有Τ→*2(ds*ds)2=[Τ→+(As+Aτ)Ν→]2=1(23)由(23)得到Τ→*2=1和(ds*ds)2=1,不失一般性,设ds*ds=1,即s*=s。所以,(22)约化为(20)的第一式,且〈Τ→*,Ν→*〉=0,注意到Ν→*2=Ν→2=0,因此C*是主法向量是幂零的类空曲线,并且存在唯一的幂零向量B→*,使得〈B→*,Ν→*〉=1和〈Τ→*,B→*〉=0。设B→*=xΤ→+yΝ→+zB→,则x2+2yz=0,z=1,x+z(As+Aτ)=0(20)的第三式即可得到。对(20)的第一式和第二式微分,得(21)式,并且容易验证B→s*=-κ*Τ→*-τ*B→*。因此,{Τ→*,Ν→*,B→*}是C*的伪正交标架。例3曲线Cr→={es,s,es}的伪正交标架是Τ→={es,1,es},Ν→={es,0,es},B→=-{sinhs,1,coshs}。所以曲线C是主法向量是幂零的类空曲线,其曲率和挠率是κ=τ=1,Bertrand伴侣曲线C*由(8)式给出,A是任意距离函数。定理4设C是主法向量是幂零的类空曲线,则其Mannheim伴侣曲线不存在。证明我们假设C*是Mannheim