带伸臂压杆和变轴力压杆的计算长度

带伸臂压杆和变轴力压杆的计算长度

1a公式的求解在文献中，我们分析了带伸展臂的简易支撑段（图1a）的计算长度，这是一个具有现实意义的问题。使用的分析方法是将悬臂段分离，并将悬臂柱视为具有旋转弹簧限制的悬臂柱（图1b）。分析过程正确,但可惜的是所取弹簧刚度KM=3EI/a忽视了下段柱的压力P对它的转动刚度的影响,以致得到的计算长度系数偏小,从而过高估计了压杆的承载能力。受压的下段柱对悬臂段提供的转动约束,其弹簧刚度应由下式给出:KM=EIa⋅(ϕa)2tanϕatanϕa−ϕaΚΜ=EΙa⋅(ϕa)2tanϕatanϕa-ϕa式中ϕ——参数,ϕ2=PEIϕ2=ΡEΙ。把此式代入文献的系数行列式:D=∣∣∣∣∣10cosϕb0ϕsinϕbKM/P−10∣∣∣∣∣=0D=|10ΚΜ/Ρ0ϕ-1cosϕbsinϕb0|=0展开后加以整理,即得到压杆的屈曲条件:ϕa(tanϕa+tanϕb)-tanϕatanϕb=0(1)解得ϕ值后,可得下段和上段的计算长度:上段μbb=π/ϕ下段μaa=π/ϕ即两段的计算长度系数虽然不同,但计算长度相同。原因是:失稳是整根杆件的问题,不是某一截面或一段的承载力问题。式(1)前人已经解出过,参见文献。由于式(1)需要试算求解,应用不便,文献还给出μa系数的表格。为了方便计算,提出μa的简化公式:μa=2.7−1.7(1−b/a)0.9(2)μa=2.7-1.7(1-b/a)0.9(2)式(2)和由式(1)算得的μa值相比较,见表1,可见式(2)用于实际设计足够精确,不过只限于b/a≤1.0的范围内。表1还给出由文献得出的μb换算而得的μa=μbb/a。当b/a≤0.5时,误差较大。2稳定系数的确定文献分析了两次变轴力的两端简支压杆(图2)。它常见于运输通廊支架,也是有现实意义的课题。文章用势能驻值原理求得荷载临界值和相应的计算长度系数。计算时所取的屈曲变形曲线是:y=υsinπx/l(3)y=υsinπx/l(3)大家知道,能量法实质上属于稳定分析的近似方法。它的精确度取决于所采用的变形曲线,此曲线与屈曲时的变形曲线之间偏离愈大,算得的结果的误差愈大;只有二者吻合,才能得到精确解。图2压杆的压力分布是下面大而上面小,变形曲线对杆中点来说是非对称的,而式(3)却是针对中点对称的。因此,可以判断计算结果会有一定的误差。假设的变形曲线偏离实际曲线,意味着对杆件施加额外的约束,致使算得的临界荷载高于其实际值。因此,检验一下文献提供公式的精度,应该是有益的。图2压杆临界荷载的精确解可以用逐次逼近法求出。它的原理是:先设定一条压杆的屈曲挠度曲线y0=f(x),于是杆承受弯矩Py0(图3a)。用共轭梁法计算杆件在此弯矩作用下的挠度,即以M/EI作为荷载施加在共轭梁上(图3b),此梁的剪力即为原杆件的倾角,其弯矩即为原杆件的挠度。算得的挠度具有下列形式:y1=αPy0EIl2y1=αΡy0EΙl2如果此挠度与原设挠度相同,即可得荷载的临界值:Pcr=EIαl2Ρcr=EΙαl2如果算得的挠度与原设挠度有出入,则把y1作为新的起点,作第二次计算,这次算得的挠度y2与所设y1的接近程度必定会比第一次好。每多作一次,就会与真实挠曲线和真实临界荷载更接近一些。文献推荐用Newmark提出的数值方法。它的特点是把图3b共轭梁的荷载离散化为多个集中荷载(图4)。为此把梁10等分,第i个划分点的荷载是:Ri=l120(qi−1+10qi+qi+1)Ri=l120(qi-1+10qi+qi+1)下面用Newmark法检验文献算例的精度。计算时对此例的几何尺寸做小的改动,即取:l3=2480mm=0.4l(原为0.403l)l2=4340mm=0.7l(原为0.702l)l1=6200mm=l(未变)荷载仍为原算例的取值:N1=92.8kN=NN2=128.4kN=1.384N1N3=144.2kN=1.554N1按照文献中的式(8),N的临界值为:Ncr=2π2π+2aαπ+2bβπ+asin(2απ)+bsin(2βπ)⋅π2EIl2Νcr=2π2π+2aαπ+2bβπ+asin(2απ)+bsin(2βπ)⋅π2EΙl2式中a=N2/N1,b=N3/N1,α=l2/l,β=l3/l代入a=1.384,b=1.554,α=0.7,β=0.4得:Ncr=3.95EIl2Νcr=3.95EΙl2计算简图见图5,计算结果见表2～表4。第1次所取挠曲线即为式(3)的正弦曲线。第3次计算得到的挠曲线和原设曲线已经比较吻合,y2/y3的平均值为3.34EIN1l23.34EΙΝ1l2,因此N1的临界值为:N1cr=3.34EIl2Ν1cr=3.34EΙl2文献的近似值Ncr=3.95EI/l2=1.183N1cr,偏大18.3%。以上计算是针对理想的弹性直杆。在设计中需要用计算长度来确定稳定系数。因1.183−−−−−√=1.0881.183=1.088,文献的系数μ偏小8.8%。8.8%虽然仅为一个算例的结果,但足以表明对文献建议的公式有必要做出修正。准确的修正系数需要参数分析才能得出。鉴于误差是由压力分布的非对称性引起的,初步意见是:非对称性很大(如N1+N2+N3>3N1)的压杆,文献中公式(9)的系数μ可采用增大系数1.10,非对称性较小者,则可采用1.05。3带悬臂的压杆屈曲分析