由波动方程推导高斯光束的公式

由波动方程推导高斯光束的公式

1ux,y,z的缓变振幅近似高斯光束可以作为统一平面波和球面波的解决方案，也是波动方程的解决方案。下面从波动方程出发推导高斯光束的表达式。均匀各向同性光学介质中的波动方程为ᐁ2E+K2E=0(1)式(1)中:K为复数波矢,其实部表示光场在介质中传播时的相移,即与光在介质中传播的相速度c/η=1/(ηε)12c/η=1/(ηε)12相联系,η为介质的折射率;虚部表示由于介质的损耗而引起的衰减。假定光场矢量的偏振方向确定,因此可以将式(1)化为标量形式,如忽略损耗,复波矢变为实数,用k表示。于是得到ᐁ2E+k2E=0(2)对于细光束,例如在腔内或腔外的激光光场都集中在光轴附近。于是式(2)的试解可表示为E=u(x,y,z)e-ikz(3)由于激光具有好的方向性,所以u(x,y,z)是z的缓变函数,它表明激光束与平面波和球面波的区别:非均匀强度分布、光束随传播距离而扩展、波前的曲率中心不固定等。光场E随z的变化主要反映在因子e-ikz中。很显然,如果u(x,y,z)与x和y无关,(3)式即为平面波。当u(x,y,z)=e-ikz/R时,场为球面波。在这里u(x,y,z)是一个未知振幅函数,为求出u(x,y,z)的表达式,将试解(3)代入式(2),并进行缓变振幅近似,即∂2u/∂z2≼k∂u/∂z,得∂2u∂x2+∂2u∂y2−2ik∂u∂z=0∂2u∂x2+∂2u∂y2-2ik∂u∂z=0(4)这个方程的形式和与时间相关的薛定谔(Schro¨o¨dinger)方程相似,容易看出u=exp{i[p(z)+kr22q(z)]}u=exp{i[p(z)+kr22q(z)]}(5)为方程(4)的一个试解。其中r2=x2+y2;参量p(z)与光束的传播有关,表示相位变化的附加修正项;q(z)是一个参变量,它描写了光轴附近球面波的曲率,以及光束强度随距离r的高斯变化。将式(5)代入式(4),求得k(x2+y2)q2(z)[dq(z)dz−1]+2ik[idp(z)dz−1q(z)]=0k(x2+y2)q2(z)[dq(z)dz-1]+2ik[idp(z)dz-1q(z)]=0(6)鉴于式(6)第二项不含x和y,而对任意一点(x,y),式(6)都应该成立。比较r幂次相同的项,于是得到dq(z)dz=1dq(z)dz=1(7)idp(z)dz=1q(z)idp(z)dz=1q(z)(8)将式(7)积分得q(z)=q0+z(9)式(9)中:q0为积分常数。将式(9)代入式(8)得dp(z)dz=−iq=−iq0+zdp(z)dz=-iq=-iq0+z(10)将式(10)积分,并取积分常数为0(这里的积分常数,只影响式(3)场的相位,因为时间原点是任意取的,故这个相位可取为0),可得p(z)=−iln(1+zq0)p(z)=-iln(1+zq0)(11)将式(9)和式(11)代入式(5),可得u=exp{−i[−iln(1+zq0)+k2(q0+z)r2]}u=exp{-i[-iln(1+zq0)+k2(q0+z)r2]}(12)取任意常数q0为纯虚数,并用一个新的常数w0重新表示为q0=iπw20λq0=iπw02λ;λ=2πkλ=2πk(13)由式(9),当z=0时,q(0)=q0=iπw2002/λ,将发现对虚数q0的选择可得出有物理意义的光波。这些波的能量密度约束在光轴附近。利用式(13)的代换,分别讨论式(12)中两个因子。第二个因子变为exp[−ik2(q0+z)r2]=exp⎡⎣⎢−r2w20[1+(λzπw20)2]−ikr22z[1+(πw20λz)2]⎤⎦⎥(14)exp[-ik2(q0+z)r2]=exp[-r2w02[1+(λzπw02)2]-ikr22z[1+(πw02λz)2]](14)若定义如下的参量w2(z)=w20[1+(λzπw20)2]=w20[1+(zf)2]w2(z)=w02[1+(λzπw02)2]=w02[1+(zf)2](15)R(z)=z[1+(πw20λz)2]=z[1+(fz)2]R(z)=z[1+(πw02λz)2]=z[1+(fz)2](16)f=πw20λf=πw02λ(17)则式(14)变为exp[−ik2(q0+z)r2]=exp[−r2w2(z)−−ikr22R(z)]exp[-ik2(q0+z)r2]=exp[-r2w2(z)--ikr22R(z)](18)对第一个因子计算如下因为故有式(20)中Ψ(z)=arctan(λzπw20)=arctan(zf)Ψ(z)=arctan(λzπw02)=arctan(zf)(21)最后得出E(x,y,z)=E0w0w(z)exp{−i[kz−Ψ(z)]−r2(1w2(z)+ik2R(z))}=E(x,y,z)=E0w0w(z)exp{-i[kz-Ψ(z)]-r2(1w2(z)+ik2R(z))}=其中1q(z)=1R(z)−iλπw2(z)1q(z)=1R(z)-iλπw2(z)(23)式(22)是得到的基本结果,称为高斯光束,或激光基模光束。在求解波动方程时,仅限于包含横向关系r2=x2+y2的解,故不包含高阶模的情况。从上面讨论可见,从波动方程推得的结果与采用谐腔衍射积分方程得到的腔内行波场的表达式是一致的,这是由于衍射积分方程也是从波动方程得来的。2对高斯光束特性的单一性的探讨,提高了学生对实验中的应用能力和理论基础从波动方程出发,推导了基模高斯光束的表达式,结果与谐振腔衍射积分理论的结果一致,同时也证明了高斯光束和均匀平面波、球面波一样,也是波动方程的一个解。推导过程丰富了教学内容,开阔了学生思路,加深了对高斯光束的理解,产生良好的教学效果。采用稳定腔的激光器所发出的激光,是以高斯光束的形式在空间传输的。因此,研究高斯光束特性及其传输规律就成为激光理论和实际应用中的重要问题。经典《激光原理》教材中高斯光束是在谐振腔衍射理论的基础上推导出来的,而谐振腔衍射理论是激光原理中最