曲线的mdnheim曲线的主法向量与主法向量

曲线的mdnheim曲线的主法向量与主法向量

当曲线和曲线1的点之间有一个共同的对应关系时，的主法线与1的副法线重叠，曲线就是马纳赫曲线，曲线1就是马纳赫夫人曲线。在三维Minkowski空间E31中,设r=r(s)为曲线Γ的方程,其中s为曲线Γ的弧长参数.称α=˙r=dr/ds为曲线的单位切向量,β=˙α/|˙α|为曲线的主法向量,γ=α(s)×β(s)为曲线的副法向量.引理1设α,β,γ为三维Minkowski空间中任一曲线的单位切向量、主法向量、副法向量.α为类空向量,β为类空向量,γ为类时向量时,对应的Frenet公式为˙α=κβ˙β=-κα+τγ˙γ=τβ引理2设α,β,γ为三维Minkowski空间中任一曲线的单位切向量、主法向量、副法向量.α为类空向量,β为类时向量,γ为类空向量时,对应的Frenet公式为˙α=κβ˙β=κα+τγ˙γ=τβ引理3设α,β,γ为三维Minkowski空间中任一曲线的单位切向量、主法向量、副法向量.α为类时向量,β为类空向量,γ为类空向量时,对应的Frenet公式为˙α=κβ˙β=κα+τγ˙γ=-τβ1im充分发挥不同自适应的frenet公式定理1在引理1的Frenet公式下,若r1=r1(s1)(s1为r1的自然参数)为Mannheim曲线,r=r(s)为Mannheim曲线的侣线,则Mannheim侣线的曲率κ与挠率τ满足˙τ=-κλ(1+λ2τ2)定理2在引理2的Frenet公式下,若r1=r1(s1)(s1为r1的自然参数)为Mannheim曲线,r=r(s)为Mannheim曲线的侣线,则Mannheim侣线的曲率κ与挠率τ满足˙τ=κλ(λ2τ2-1)定理3在引理3的Frenet公式下,若r1=r1(s1)(s1为r1的自然参数)为Mannheim曲线,r=r(s)为Mannheim曲线的侣线,则Mannheim侣线的曲率κ与挠率τ满足˙τ=κλ(1-λ2τ2)2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2设α1,β1,γ1分别为曲线r1=r1(s1)的单位切向量、主法向量、副法向量;α,β,γ分别为曲线r=r(s)的单位切向量、主法向量、副法向量.定理1证明r1=r1(s1)为Mannheim曲线,r=r(s)为Mannheim曲线的侣线,则Mannheim曲线Γ1的方程为r1(s1)=r(s)+λ(s)γ(s)(1)其中,λ(s)为数量函数.两边对s1求导,由引理1得α1=(α+λτβ+˙λγ)dsds1(2)由Mannheim侣线定义,β1‖γ,得0=-˙λdsds1,而dsds1≠0,故˙λ=0,因而λ是一个常数,于是α1=(α+λτβ)dsds1(3)设α1=ε(αcosθ+βsinθ)ε=±10≤θ≤2π(4)由式(3)和式(4),有式(4)两边对s1求导,由引理1有κ1β1=ε[-(κ+˙θ)αsinθ+(κ+˙θ)βcosθ+τγsinθ]dsds1其中˙θ=dθ/ds.因β1‖γ,可得-ε(κ+θ˙)sinθdsds1=0ε(κ+θ˙)cosθdsds1=0(7)但sinθ,cosθ不能同时为0,所以有κ+θ˙=0,即θ˙=-κ(8)由式(5),有sec2θθ˙=λτ˙(-κ)(1+λ2τ2)=λτ˙于是τ˙=-κλ(1+λ2τ2)(9)证毕.定理2证明由式(1)及引理2,得α1=(α+λτβ+λ˙γ)dsds1(10)由Mannheim侣线定义,有α1=(α+λτβ)dsds1(11)又设α1=ε(αchθ+βshθ)ε=±1(12)由式(11)和式(12),有εchθ=dsds1εshθ=dsds1λτ(13)式(12)两边对s1求导,由引理2有κ1β1=ε[(θ˙+κ)αshθ+(κ+θ˙)βchθ+τγshθ]dsds1其中θ˙=dθ/ds.由β1‖γ,得ε(κ+θ˙)shθdsds1=0ε(κ+θ˙)chιdsds1=0(14)而chθ>0,所以κ+θ˙=0,θ˙=-κ.由式(13),有(dsds1)2=11-λ2τ2(15)thθ=λτ(16)θ˙1ch2θ=λτ˙于是θ˙(1-λ2τ2)=λτ˙-k(1-λ2τ2)=λτ˙即τ˙=kλ(λ2τ2-1)(17)证毕.定理3证明由式(1)及引理3,得α1=(α-λτβ+λ˙γ)dsds1(18)由Mannheim侣线定义,有α1=(α-λτβ)dsds1(19)又设由式(19)和式(20),有εchθ=dsds1εshθ=-λτdsds1(22)(dsds1)2=11-λ2τ2(23)thθ=λτ(24)根据定理2的证明,由式(19)和式(20)同理可得κ+θ˙=0,θ˙=-κ.再由式(23)和式(24),有θ˙1ch2θ=-λτ˙θ˙(1-λ2τ2)=-λτ˙于是τ˙