广义ramanuian模方程解ka,r的h

广义ramanuian模方程解ka,r的h

0拟共形照相型p对于a、b和c（c.0、1、2，…），高斯几何函数被定义为：。F(a,b;c;x)=2F1(a,b;c;x)=∞∑n=0(a,n)(b,n)(c,n)xnn!,x∈(-1,1)(1)这里,当a≠0时,(a,0)=1,其中对于n=1,2,…,(a,n)=a(a+1)(a+2)(a+3)…(a+n-1).当c=a+b时,函数F(a,b;a;x)称为零平衡。当a∈(0,1),a+b=1,r∈(0,1)时,称为第一类完全椭圆积分。显然当a=1/2时,a(r)退化成第一类完全椭圆积分(r)。由式(2)的对称性,我们假设a∈(0,1/2]。对于a∈(0,1/2],r∈(0,1),Ua∶(0,1)→(0,∞)定义为Ua(r)=π2sinπaa′(r)a(r).(3)函数U(r)=U1/2(r)即为拟共形映照中平面Grötzsch环B2\[0,r]的模函数,这里B2表示平面单位圆盘。符号差1/a的p次广义Ramanujan模方程定义为F(a,1-a;1,1-s2)F(a,1-a;1;s2)=pF(a,1-a;1,1-r2)F(a,1-a;1;r2)(4)这里a∈(0,1/2],r∈(0,1),p>0。利用式(3),我们可以把式(4)写成μa(s)=pμa(r)(5)式(5)的解可以表示为S=φK(a,r)=Ua-1a(Ua(r)/K),K=1/p(6)特别地,当a=1/2时,φK(a,r)退化成Hersch-Pfluger偏差函数φK(r),这个函数在拟共形映照中扮演重要的角色。对于a∈(0,1/2],Ramanujan常数R(a)定义为R(a)=-2γ-ψ(a)-ψ(1-a),其中R(1/2)=log16,γ=0.577215…表示Eluer常数,ψ为经典psi函数。最近,模函数φK(a,r)与它的特殊形式φK(r)在几何函数论、模方程理论得到广泛研究。特别地,很多重要的性质及其不等式在文献得以研究,如Hölder连续性和次可乘性,Hölder连续性是指,设E⊂Rn是一个集合。f∶E→Rn是一函数,0<α≤1,若存在常数M>0,对x1,x2∈E,有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|α,则称f是E上具有指数为α的Hölder连续性;次可乘性是指,若函数f∶[0,∞)→R对于所有的x≤0,y≤0,满足f(xy)≤f(x)f(y),则称f具有次可乘性。如当r,t∈,K≥1时,Anderson,Vamanamurthy及Vuorinen证明了Hölder连续性不等式|φK(r)-φK(t)|≤41-1/K|r-t|1/K(7)以及|φ1/K(r)-φ1/K(t)|≥41-K|r-t|K(8)文章主要目的是揭示模函数φK(a,r)的Hölder连续性和次可乘性,主要结果为定理1.1、定理1.2。1r单调上升和k1-定理1.1对于任意的K∈(1,∞)。(1)函数g1(x)=φK(a,tanhx)从(0,∞)到(0,1)上单调上升且为向上凹的,特别地,对于任意的r,t∈(0,1),K∈(1,∞),成立不等式φΚ(a,r+t1+rt)≤φΚ(a,r)+φΚ(a,t)≤2φΚ(a,rt1+rt+r′t′)(9)(2)函数g2(x)=φK(a,1-e-x)从(0,∞)到(0,1)上单调上升且为向上凹的。特别地,对于任意的r,t∈(0,1),K∈(1,∞),成立不等式φΚ(a,r+t-rt)≤φΚ(a,r)+φΚ(a,t)≤2φΚ(a,1-√(1-r)(1-t))(10)即对于K∈(1,∞),r,t∈(0,1),φK(a,u)≤φK(a,r)+φK(a,t)≤2φK(a,v),这里u=max{r+t-rt,r+t1+rt},v=min{1-√(1-r)(1-t),r+t1+rt+r′t′}。定理1.2对于一切K∈(0,∞),A(Κ)=min{1,e(1-1Κ)R(a)2},B(Κ)=max{1,e(1-1Κ)R(a)2},在×上定义函数f(r,t):f(r,t)=φΚ(a,r)φΚ(a,t)φΚ(a,rt)。则对于一切K∈(1,∞)(K∈(0,1)),函数f(r,t)关于r单调下降(单调上升)。特别地,对于任意的r,t∈(0,1),K∈(0,∞),成立不等式A(K)φK(a,rt)≤φK(a,r)φK(a,t)≤B(K)φK(a,rt),(11)各等号成立当且仅当K=1。2关于0,1/2引理2.1,2,4.2,4.2工作原理为了证明结论,需要下面的公式及几个引理,现叙述如下:下面的求导公式引自文献中定理4.7(7):∂φΚ(a,r)∂r=1Κss′2a(s)2rr′2a(r)2=Κss′2′a(s)2rr′2′a(r)2,(12)其中s=φK(a,r),r∈(0,1),K∈(0,∞)。下面的引理2.1(1)可根据文献中引理6.2(1),(2),(4),(5)。引理2.1(2)可根据文献中定理6.8。引理2.1对于任意的a∈(0,1/2],K∈(1,∞)(K∈(0,1)),r∈(0,1),令s=φK(a,r)。则(1)从(0,1)到(1,∞)((0,1))严格单调下降(严格单调上升)。(2)从(0,1)到(0,∞)((0,∞))严格单调下降(严格单调上升)。引理2.2令K∈(0,∞),r,b∈(0,1]。在上定义函数f:{f(r)=φΚ(a,r)2/φΚ(a,br2)f(0)=f(0+)=e(1-1Κ)R(a)2b-1Κf(1)=f(1-)=1φΚ(a,b)则对于K∈(0,1)(K∈(1,∞)),f严格单调上升(单调下降)。证明:令x=br2,s=φK(a,r),u=φK(a,br2)=φK(a,x),我们有x<r,f(r)=s2/u。对数求导,并由式(12)有Κr2f′(r)f(r)=s′2a(s)2r′2a(r)2-u′2a(u)2x′2a(x)2。因此,由引理2.1(1),即可得到f的单调性及极限值。3材料x的凹性定理1.1的证明。(1)令r=tanhx=[e2x-1]/[e2x+1],s=φK(a,r),则r′=√1-r2=[2ex]/[e2x+1],drdx=r′2,g1(x)=φΚ(a,r)=s,并由式(12)得g′1(x)=∂φΚ(a,r)∂r⋅drdx=1Κss′2a(s)2rr′2a(r)2⋅r′2。(13)对于任意的K>1,由式(13)及引理2.1(2)知,g′1单调下降,即得g1(x)的凹性。因为g1(0)=0,g′1(x)单调下降,所以g1(x)/x单调下降,又由g1(x)的凹性,有g1(x+y)≤g1(x)+g1(y)≤2g1(x+y2)(14)令r=tanhx,t=tanhy,则tanhx+y2=r+t1+rt+r′t′,tanh(x+y)=tanhx+tanhy1+tanhx⋅tanhy=r+t1+rt,故由式(14)即得不等式(9)。(2)令r=1-e-x,s=φK(a,r),则g2(x)=φK(a,r)=s。由式(12)得,g′2(x)=1Κss′2a(s)2rr′2a(r)2(1-r)(15)对于任意的K>1,由式(15)及引理2.1(2)知,g′2单调下降,即得g2(x)的凹凸性。令r=1-e-x,t=1-e-y,则类似证明不等式(9)的方法即可得到不等式(10)的证明。定理2.2的证明。令D={(r,t)∶0<t<r<1},s=φK(a,r),u=φK(a,t),v=φK(a,rt)=φK(a,x),x=rt<r,则有