一类高等数学的刻画

一类高等数学的刻画

1lebesgue空间中带物加权的规定=（1，2，，n）为n重指标，i（i.1，2，…，n）为负导数，记录项==ni=1i。γ!=γ1!γ2!⋯γn!,xγ=xγ11xγ22⋯xγnn,Dγ=∂|γ|∂γ1x1∂γ2x2⋯∂γnxn.设A是定义在Rn上的函数,以Pm(A;x,y)表示A在点x关于y的m阶Taylor展式的余项,即Pm(A;x,y)=A(x)-∑|γ|<m1γ!DγA(y)⋅(x-y)γ,m≥1.设0<α<n,Sn-1为Rn的单位球面,Ω∈Ls(Sn-1)(s≥1)是Rn上的零次齐次函数,分数次积分TΩ,α,及相应的分数次极大算子MΩ,α分别定义为ΤΩ,αf(x)=∫RnΩ(x-y)|x-y|n-αf(y)dy,ΜΩ,αf(x)=suph>01hn-α∫|x-y|<h|Ω(x-y)f(y)|dy.并定义多线性分数次积分算子和分数次极大算子ΤAΩ,αf(x)=∫RnΡm(A;x,y)|x-y|n-α+m-1Ω(x-y)f(y)dy,ΜAΩ,αf(x)=suph>01hn-α+m-1∫|x-y|<h|Ω(x-y)||Ρm(A;x,y)f(y)|dy.对于β>0,齐次Lipschitz空间˙Λβ定义为˙Λβ={f:∥f∥˙Λβ=supx,h∈Rn;h≠0|Δ[β]+1hf(x)||h|β<∞},其中Δ1hf(x)=Δhf(x)=f(x+h)-f(x),Δk+1hf(x)=Δkhf(x+h)-Δhkf(x),k≥1.最近丁勇讨论具有粗糙核的多线性分数次积分算子TΩ,αA当DγA∈Lγ(Rn)(1<γ≤∞,|γ|=m-1)时的加权(Lp,Lq)有界性.张璞研究了当DγA属于Lipschitz类时,TΩ,αA和MΩ,αA在Lebesgue空间上的(Lp,Lq)(p>1)有界性,本质性地改进文献中的相应结果,并得到p=1时的弱有界性.本文利用文献的基本思想,得到DγA属于Lipschitz类时,TΩ,αA关于A(p,q)权的加权在Lebesgue空间上的有界性和p=1时的带幂权有界性,并且其中的弱型幂权结论包含端点s=nn-(α+β)的情形,是文献中相应结果的实质性推进.注意到当m=1时,TΩ,αA就是分数次积分TΩ,α与函数A生成的交换子.因此,我们也得到上述交换子的相应的加权有界性.我们有下面的定理.定理1设0<α<n,0<β<1,1<p<nα+β,1<q≤∞,1p-1q=α+βn,且Ω∈Ls(Sn-1)(s>nn-(α+β)),如果当|γ|=m-1时DγA∈Λ˙β,并且权函数ω满足下列条件之一:1)1≤s′<p且ω(x)s′∈A(ps′,qs′);2)s>q且ω(x)-s′∈A(q′s′,p′s′;);3)s>1,α+βn+1s<1p<1s′,且存在σ满足1<σ<s(n/(α+β))′,使得ω(x)σ′∈A(p,q).则存在不依赖于f的常数C,使得(∫Rn|ΜΩ,αAf(x)ω(x)|qdx)1/q≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p,其中A(p,q)的定义见文献或.定理2在定理1的条件下,成立(∫Rn|ΤΩ,αAf(x)ω(x)|qdx)1/q≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p.定理3设0<α<n,0<β<1,且α+β<n,Ω∈Ls(sn-1),其中s≥nn-(α+β),且当|γ|=m-1时,DγA∈Λ˙β,-1<t<0.则存在不依赖于f的常数C,使得对于任意的λ>0和任意f∈L1(|x|t(n-(α+β))/n),成立∫{x:|ΤΩ,αAf(x)|>λ}|x|tdx≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∫Rn|f(x)||x|t(n-(α+β))/ndx)n/(n-(α+β)).定理4在定理3的条件下,成立∫{x:ΜΩ,αAf(x)>λ}|x|tdx≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∥f∥L1(|x|t(n-(α+β))/n))n/(n-(α+β)).2qqqxax-mqb的生长引理1设0<α<n,1<p<nα+β,且1q=1p-α+βn,则ω(x)∈A(p,q)⇔ωq(x)∈Aq(n-(α+β))/n.引理2设0<μ<n,1<p<nμ,1q=1p-μn,且Ω∈Ls(Sn-1),其中s>nn-μ,权函数ω(x)满足定理1中的条件,则‖TΩ,μf‖Lq(ωq)≤C‖f‖Lp(ωp),‖MΩ,μf‖Lq(ωq)≤C‖f‖Lp(ωp).引理3设0<α<n,-1<t<0,s≥nn-α,且Ω∈Ls(Sn-1),则对任意的λ>0和f∈L1(|x|t(n-α)/n),存在不依赖于f的常数C,使得∫{x:|ΤΩ,αf(x)|>λ}|x|tdx≤C(1λ∫Rn|f(x)||x|t(n-α)/ndx)n/(n-α)‚∫{x:|ΜΩ,αf(x)|>λ}|x|tdx≤C(1λ∫Rn|f(x)||x|t(n-α)/ndx)n/(n-α).引理4设A(x)是定义在Rn上的函数,且当|γ|=m时,DγA∈Lloc1(Rn)(l>n),则|Pm(A;x,y)|≤C|x-y|m∑|γ|=m(1|Qxy|∫Qxy|DγA(z)|ldz)1/l,其中Qxy是以x为中心,直径为16n|x-y|的方体,C>0仅与m,n,l有关的常数.引理5对于0<β<1,1≤l<∞,成立∥f∥Λ˙β≈supQ1|Q|1+β/n∫Q|f(x)-mQ(f)|dx≈supQ1|Q|β/n(1|Q|∫Q|f(x)-mQ(f)|ldx)l.引理6设g∈Λ˙β(0<β<1),Q与Q′是Rn中的2个方体且Q′⊂Q,则|mQ′(g)-mQ(g)|≤C|Q|β/n∥g∥Λ˙β,supx∈Q|g(x)-mQ(g)|≤C|Q|β/n∥g∥Λ˙β.引理7Ω∈L1(Sn-1),则对于任意的ε>0,0<α-ε<α+ε<n,有|TΩ,αAf(x)|≤C[MΩ,α+εAf(x)·MΩ,α-εAf(x)]1/2,x∈Rn.下面我们开始定理的证明.定理1的证明我们证明的思路源于文献.对于任意的x∈Rn及h>0,以Q表示以x为中心,2nh为直径的方体.设AQ(y)=A(y)-∑|γ|=m-11γ!mQ(DγA)yγ,则由引理4得,对于任意的y,有其中Qxy表示以x为中心,16n|x-y|为直径的方体.当|x-y|<h时16n|x-y|<16nh,因此Qxy⊂8Q,其中8Q表示方体Q的8倍同心扩张.则当|γ|=m-1时,由引理5和引理6可得(1|Qxy|∫Qxy|DγAQ(z)|ldz)1/l=(1|Qxy|∫Qxy|DγA(z)-mQxy(DγA)|ldz)1/l+|mQxy(DγA)-m8Q(DγA)|+|m8Q(DγA)-mQ(DγA)|≤C∥DγA∥Λ˙β|Q|β/n≤Chβ∥DγA∥Λ˙β.注意到当f∈Λ˙β(0<β<1)时supx∈Q|f(x)-mQ(f)|≤C|Q|β/n∥f∥Λ˙β.综合可得,当|x-y|<h时,有|Pm(A;x,y)|≤Chβ|x-y|m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β≤Chβ+m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β.从而ΜΩ,αAf(x)≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βsuph>01hn-(α+β)∫|x-y|<h|Ω(x-y)||f(y)|dy=C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΜΩ,α+βf(x).由于s>nn-(α+β),1<p<nα+β和1q=1p-α+βn,对μ=α+β,用引理2,得(∫Rn(ΜΩ,αAf(x)ω(x))qdx)1/q≤(C∫Rn(∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β)q(ΜΩ,α+βf(x)ω(x))qdx)1/q≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p.定理1得证.定理2的证明选取ε>0,使满足0<α-ε<α+ε<n.取q1,q2>1,使1p-1q1=α+β+εn,1p-1q2=α+β-εn,则1q1+1q2=2q.在定理1的条件下,适当选取ε>0充分小,就可以保证对MΩ,α+εA和MΩ,α-εA应用定理1,并对12q1/q+12q2/q=1用H⌀lder不等式及引理7可得(∫Rn|ΤΩ,αAf(x)ω(x)|qdx)1/q≤(∫RnC(ΜΩ,α+εAf(x)ω(x))q/2(ΜΩ,α-εAf(x)ω(x))q/2dx)1/q≤C[∫RnC(ΜΩ,α+εAf(x)ω(x))q1dx]1/2q1[∫Rn(ΜΩ,α-εAf(x)ω(x))q2dx]1/2q2≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/2p(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/2p=C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β(∫Rn|f(x)ω(x)|pdx)1/p.定理2得证.定理3的证明思路来源于文献.我们首先定义Τ¯|Ω|,α(|f|)(x)=∫Rn|Ω(x-y)||f(y)||x-y|n-αdy,Τ¯|Ω|,αA(|f|)(x)=∫Rn|Ρm(A;x,y)||Ω(x-y)||f(y)||x-y|n-α+m-1dy.用与文献相同的方法,我们可得如下引理.引理8在引理3的条件下,对任意λ>0和f∈L1(|x|t(n-α)/n),成立∫{x:|Τ¯|Ω|,α(|f|)(x)>λ}|x|tdx≤C(1λ∫Rn|f(x)||x|t(n-α)/ndx)n/(n-α).我们通过二进方体的分解首先证明如下的点态估计.引理9设0<α<n,0<β<1,且0<α+β<n,Ω∈Ls(Sn-1),其中s≥nn-(α+β),DγA∈Λ˙β.则存在仅与m,n,α,β有关的常数C,使得|ΤΩ,αAf(x)|≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΤ¯|Ω|,α+β(|f|)(x).证对任意x∈Rn,以Q表示中心在x直径为l的二进方体,其中l>0,则ΤΩ,αAf(x)=(∫Q+∫Qc)Ω(x-y)Ρm(A;x,y)|x-y|n-α+m-1f(y)dy∶=Η1+Η2.下面估计H1:|Pm(A2-jQ;x,y)|≤C(2-jl)β|x-y|m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β.注意到|x-y|≥2-j-1l,可得|x-y|β≥2-β(2-jl)β.从而下面估计H2.由于0<α+β<n,则A2j+1Q(y)=A(y)-∑|γ|=m-11γ!m2j+1Q(DγA).则由引理4和5可得|Pm(A2j+1Q;x,y)|≤C(2jl)β|x-y|m-1∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β.注意到|x-y|≥2jl,可得|x-y|β≥(2jl)β,从而综合可得|ΤΩ,αAf(x)|≤|Η1|+|Η2|≤C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΤ¯|Ω|,α+β(|f|)(x).定理3的证明对于任意的λ>0及f∈L1(|x|t(n-(α+β))/n),由引理8及引理9可得∫{x:|ΤΩ,αAf(x)|>λ}xtdt≤∫{x:C∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙βΤ¯|Ω|,α+β(|f|)(x)>λ}xtdx≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∫Rn|f(x)||x|t(n-(α+β))/ndx)n/(n-(α+β)).定理3得证.定理4证明由定理1的证明过程得到ΜΩ,αAf(x)≤C∑|γ|=m-1∥DrA∥Λ˙βΜΩ,α+βf(x).从而由引理3可得∫{x:ΜΩ,αAf(x)>α}|x|tdt≤∫{x:C∑|γ|=m-1∥Dγr∥Λ˙βΜΩ,α+βf(x)>λ}|x|tdt≤C(1λ∑|γ|=m-1∥DγA∥Λ˙β∥f∥L1(|x|(t(n-(α+β)/n)))n/(n-(α+β)).定理4得证.3[2]xb2bbbbbbbbbbbbbb.p.定理5.p.pe.pb3.p.pe.pe.pe.pb3.pb3.pb3.pb3.p.n-bbb.p.n-bbbbbbbbbbbbb.p.pb3.p.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb3.pb由算子Τ¯|Ω|,αA的定义及运用定理1和2的证明技巧可以推出