关于smarnsge可乘函数的讨论

关于smarnsge可乘函数的讨论

1smrandge可乘函数的定义对于任意正整数n，著名的f.smaradachclm函数的sl（n）定义为最小正整数m，并将n设置为n。其中，[1.2].m表示1、2和……sl（n）的第一个值是sl（1）1，sl（2）2，sl（3）3，sl（4）4，sl（5）5。许多科学家研究了sl（n）的基本特征，并获得了许多结果。当代表n时，它们是可靠的。通常将满足的算术函数f(n)称为Smarandache可乘函数.因此SL(n)是一个Smarandache可乘函数.可参阅文献.由Smarandache可乘函数的定义得到启发,本文定义了一个新的Smarandache型函数如下:,当n>1且为n的标准分解式时定义:研究发现函数与函数SL(n)有许多类似的性质,参阅文献,例如当n为素数的方幂时,.对于函数显然存在无限多个正整数n使得.事实上,由(1)式知,当n=pα为素数方幂时,我们有同时又存在无限多个正整数n,使得.例如当n为两个不同奇素数的乘积时,即n=p·q,其中3≤P<q为素数,那么于是我们想到,对于哪些自然数n,会有方程成立?本文的主要目的是研究一类包含方程的可解性,即寻求所有正整数n,使得方程成立,其中表示对n的所有正因数求和.也就是证明了以下的2m为3.1.m为了完成定理的证明.首先需要一个简单引理.引理当m≥13时,m≥3d(m),这里d(m)为除数函数.证明设m≥13且表示m的标准素因数分解式,我们分以下几种情况来进行讨论:i)如果有一个αi≥4(1≤i≤k),则有即m≥3d(m).参阅文献.ⅱ)如果,则当pj≥3时有而当Pj=2时,m至少有两个不同的素因子,于是有即w>3<i(/w).ⅲ)如果,若pj≥3,则,若Pj=2,由于n(≥13)至少还有另一个素因子q≥5,则;即都有m≥3d(m).若k=2,当m含有素因子2时必有另一个素因子q≥7,此时;当m含有素因子3时必有另一个素因子q≥5,此时;当m含有两个≥5的不同素因子,此时;若k≥3,我们有,即对任何情形都有m≥3d(m).结合以上情况立刻完成引理的证明.3当m为13时,解析m3.当m现在我们利用这个引理来给出定理的证明.容易验证n=1是方程的解。设n>1且是n的标准素因数分解式,因为n=pα不满足方程,所以当n满足方程时有k≥2.现在设为方便起见设n=mpα满足方程,此时应有:因为当d|m时,,所以上式两边同除以pα,并注意到当d|m时SL(d)≤Pi,所以有即若n=mpα满足方程,应有m<3d(m),也就是当m≥3d(m)时,n=mpα不是方程的解,由引理可知此时m≥13.下面只需讨论当m<13时,哪些n=mpα满足方程即可.1)当m=7,9,11时,容易验证m≥3d(m),此时n=mpα不是方程的解.2)当m=2时,n=2pα,此时p≥3.若α=1,解1+p+2(1+1)=2p得p=5,此时n=2p=10显然是方程的解.若α=2,假如p=3,则,即.假如p≥5,.,即.若α≥3,对正整数α(≥3)用数学归纳法易证不等式1+p+p2+…+pα+2(α+1)<2pα成立,即。3)当m=3时,n=3pα,此时p=2,α≥2或p≥5,若p=2时,,假如α=2,3,则,假如α≥4,则2α+1+3α+1<3·2α,即.4)当m=4时,n=4pα，则p≥3,若p=3,则,即。若p≥5,则,即.5)当m=5时,n=5pα,若p=2,α≥3,则,若p>5时,则.6)当m=6时,则p≥5,.7)当m=8时,8)当m=10时,若p=3,则α≥2,.9)当m=12时,则P≥5综上所述,只有n=1,10是方程的解.定理方程有且仅有两个正整数解n=1,10.iv)如果αi=1(i=1,2,…,k),若k=1