clifman代数双曲复空间的刻画

clifman代数双曲复空间的刻画

cloffen是英国的一位数学家w.k.cliven于1878年创立。近年来，它广泛应用于数学、物理、工程等领域。在这项工作中，我们提出了一个基于clft函数的虚拟单元，并引入了两个n维弯曲复空间和两个n维最小低速表面的概念，以展示n维最小低速几何（n维洛根变换的n维最小低速空间）。1空气数据的类光向量形如z=x+jy的数,称为双曲复数,其中x,y∈R(实数域),j为Clifford代数的双曲虚单位,有性质j2=1,j*=-j(j*称为j的共轭元).将双曲复数全体记为则H关于如下定义的加法与乘法作成二维实交换代数其中,z1=x1+jy1,z2=x2+jy2.与双曲复数对应的平面称为双曲复平面(亦称H平面).引入内积则H平面成为Minkowski平面(二维Minkowski空间),1,j是它的一个Minkowski正交基.∀z∈H,z·z<0(>0,=0)时,称其为类时向量(类空向量,类光向量).由内积定义H中向量x=x+jy的间隔数(或称模长)为∀z∈H,σ(z)=0⇔z为类光向量.而Minkowski平面H的所有类光向量所成集,恰为二维实交换代数H的所有零因子所成集.关注这一事实,由H平面表述Minkowski平面,将为考察Minkowski平面的相关性质带来方便.为考察相对论力学中的有关问题,可将H表为H={x+jct},其中c表光速,t表时间.记H的未来类时区为H+={x+jct∈H|ct≥|x|,仅当x=0时等号成立}.(5)验证可知,H+对(6)满足封闭律及结合律,且∀0≠z+jct∈H+,∃j∈H+s.t.j。(x+jct)=j(j(x+jct))=x+jct且z有逆元z-1=σ(z)-1(-z*)∈H+.故有如下定理定理1.1(H+＼{0},。)是Abel群.推论1.2令U+={z∈H+|σ(z)=1},则(U+,。)为Abel群.定理1.3任取u=xu+jctu∈U+,定义映射则Lu为Lorentz变换.证明任取u∈U+,u可写成u=j(coshφ+jsinhφ),-u*可写成-u*=(coshφ-jsinhφ),其中φ=arctanh(xct).任取z=x+jct,令z′=x′+jct′,则有从而有故命题成立.定义1.4由σ(z-z0)=p确定的点集,称为以z0为心,以p为半径的Minkowski圆周,记为U(z0,p).其欧氏图像为两对等轴双曲线,依次记为依次称为z0为心p为半径的S+(T+,S-,T-)型圆周.对于(10),当p=1,z0=0时,T+型圆周为推论1.2中的U+,即U(0,1;T+)=U+,称其为时间单位集,而(U+,。)称为时间单位群.p=0时,其欧氏图像对应于z0为心的任意等轴双曲线的渐近线.2类时类光节距的确定由双曲复数表述Minkowski平面的方法及相关结果可向n维情形推广.令或记为其中r=(x1,…,xn-1)为n-1维实位置向量.由(13),可将Hn中的n维向量形式地看作双曲复数.类比于(3),在Hn中引入内积或表为则Hn成为n维Minkowski空间.特别地,n=2时,H2为前述Minkowski平面;n=4时,可用于考察狭义相对论力学.∀w∈Hn,w·w<0(>0,=0)时,称w为类时(类空,类光)向量.定义2.1设点集L⊂Hn,称L是Hn的类时(类空,类光)连续曲线,是指它满足如下两个条件1)L由连续实函数组:xi=xi(φ)(i=1,…,n-1,n;a≤φ≤b)确定;w=w(a),w=w(b)依次称为w的起点与终点.定理2.2设点集L由如上定义2.1中的1)确定,∀w=(x1,…,xn-1,jxn)∈L,xi=xi(φ),(i∈{1,…,n-1,n})在区间(a,b)可导,且有˙w⋅˙w＜(＞‚=)0,(17)则L为Hn的类时(类空,类光)连续曲线,其中˙w为w的一阶导向量(切向量).例2.3记前述Minkowski平面为H2取L=W{z=coshφ+jsinhφ∈H2|-1≤φ≤1},则有˙z=sinhφ+jcoshφ.由z·z=cosh2φ-sinh2φ=1>0,可知L由H2的类空点组成.由˙z⋅˙z=sinh2φ-cosh2φ=-1＜0,可知L为H2的类时曲线.记wAB为起点为A终点为B的向量,L(AB,T)为起点为A终点为B的类时曲线,L[AB;T]为起点为A终点为B的所有类时曲线所成集,则有如下定理及推论定理2.4(反向三角不等式)推论2.5∀L∈L[AB,T],从A至B顺次取点A0(=A),A1,…,An-1,An(=B)∈L,则有定义2.6∀L∈L[AB,T],在L上由A至B顺次取点A0(=A),A1,…,An-1,An,使得n→∞时,有max{σ(wA0A1),…,σ(wAn-1An)}→0,则类时曲线L的长度Lσ由下式定义由ds表曲线L的弧长微元,则(20)可由定积分表为例2.7设A=(0,0,…,0,0),B=(0,0,…,…,jxn),xn>0,在wAB上依次取点A0(=A),A1,A2,…,An-1,An(=B),使σ(wA1A1+1)=1nxn‚i=0,1,⋯‚n-1.∀L∈L[AB,Τ],在L上取点B0(=A),B1,B2,Bn-1,Bn(=B),使Bi的第n个分量与Ai的第n个分量相同(i=0,1,2,…,n).则有其中,r2i+1为Bi+1-Bi的前n-1个分量的平方和.由此可得注意到任意类时向量均可经lorentz变换化为前n-1个分量为零的类时向量.可知,例2.7所述方法可用于wAB为任意类时向量的情形.推论2.8∀L∈L[AB,T],有σ(wAB)≥Lσ.(22)(22)式对应的几何意义为:在连接两点的所有类时曲线中,线段最长.n=4时,点A,B称为四维时空的事件,L称为四维时空的世界线,(22)式可理解为:两事件间一切可能的世界线以相应于等速直线运动的世界线为最长.3关于多元线性相对应规则的解析解∀w∈H+n,σ(w)≠0时,定义其辐角为∀w=r+jct∈H+n,σ(w)≠0时,w可表为其中r°=rr.记Un(w0,p)={w∈Hn|σ(w-w0)=p},(26)称其为以w0为心,以p为半径的n维Minkowski球面.特别地,w0为零向量,且p=1时,(26)可记为称为n维Minkowski单位球面.称其为Hn的时间单位集.∀w∈U+n,当σ(w)≠0时w可表为w=j(coshφ+jr°sinhφ).(29)类比于(6),在Hn中引入二元运算则(30)不具有与(6)相对应的性质,即σ(w1。w2)与σ(w1)σ(w2)不必相等,且∀w1,w2∈H+n＼{0}不必有w1。w2∈H+n＼{0}(蕴含:∀u1,u2∈U+n,不必有u1。u2∈U+n).例如,取则有定理3.1∀w1,w2∈H+n＼{0},若r1,r2线性相关,则定理3.2H+n＼{0}对如下运算⊙封闭,且保持间隔数其中,α=√1-r21c2t21,r2∥与r2⊥分别为r2平行于r1及垂直于r1的分量.定理3.3∀u∈U+n,定义映射Lu∶H+n→H+n,w→-u*⊙w,(32)则Lu为Lorentz变换.证明令u=ru+jctu=j(coshφ+jru°sinhφ),w=r+jct.令w′=r′+jct′=-u*⊙w,可得其中α=1γ‚φ=arctanhγuctu,ru°=ruγu.令v=rutu=(v1,v2,⋯‚vn-1),v=γutu,则ru°=v°tu,r∥=(ru⋅r)ruγu2,r⊥=r-r∥,代入(19)并整理可得满足(ct′)2-(r′)2=(ct)2-r2.相应的矩阵形式为其中,vik=vivk(i,k=1,2,…,n-1).特别地,v1=v,v2=…=xn-1=0时,方程组(34)