一类具有可乘适当断面的青蛙群

一类具有可乘适当断面的青蛙群

群比群更广泛。我知道群集是一个比群更广泛的代际体系。许多关于半群的结论来自群集理论。正半组是最接近群集的半组。群集理论的许多结论都得到了积极的结论。格林关系是研究正则半群的一个重要工具.设S是一个半群,S上元素常用的格林关系如下:定义1设S是一个半群,S上元素常用的格林关系如下:L={(a,b)∈S×S|∃x,y∈S1,xa=b,yb=a}.R={(a,b)∈S×S|∃u,v∈S1,au=b,bv=a}.对于正则半群S来说,若a∈S,则a的每一个L类和R类都至少含有一个幂等元.富足半群是正则半群的推广,很多学者将正则半群的许多结论推广到了富足半群上.为了定义富足半群,我们需要用到推广了的格林关系,称之为格林*关系.Pastijn将格林关系推广为格林*关系,定义如下:L*={(a,b)∈S×S|∃x,y∈S1,ax=ay⇔bx=by}.R*={(a,b)∈S×S|∃x,y∈S1,xa=ya⇔xb=yb}.定义2如果S的每一个L*和R*类均含有幂等元,我们就称S为富足半群.定义3如果S的每一个元素都是幂等元,我们就称半群S为一个带.常用的一些带:交换带称为半格.左正则带:B是一个带,且满足∀e,f∈B,ef=efe;右正则带:B是一个带,且满足∀e,f∈B,fe=efe;左正规带:B是一个带,且满足∀e,f,g∈B,efg=egf;右正规带:B是一个带,且满足∀e,f,g∈B,efg=feg.定义4如果正则半群S的幂等元集合E(S)构成左正则带,则称S为右逆半群.定义5如果富足半群S的幂等元组成一个半格,称S为适当半群.从定义可以看出适当半群类似于正则半群中的逆半群.可以证明适当半群S中元素a的每一个L*类和R*类中均只含有一个幂等元.我们分别记适当半群S中元素a的每一个L*类和R*类中的惟一的幂等元为:a*和a+.定义6设S是一个富足半群,幂等元集合为E,U是S的一个富足子半群.如果∀a∈U,∃e∈U∩E,使得aL*e,称U是一个左*-子半群.对应的,可以定义右*-子半群.如果U即是左*-子半群,又是右*-子半群,就称U为*-子半群.在半群的研究中,断面是研究半群结构的一个很重要的工具.自从Blyth和McFadden于1982年引入逆断面的概念以来,国内外许多学者研究了该类半群,得出了一些很好的结论.在正则半群S中,我们用V(a)表示元素a的逆元的集合.S0表示S的子逆半群,且和所有的集合V(a)都相交,即:∀a∈S,|V(a)∩S0|≥1.于是,∀a∈S,a0∈V(a)∩S0有a=aa0·a0a0·a0a.这就是说,S中的任何一个元素都可以表示为exf的形式,其中e,f是S中的形如aa0,a0a这样的幂等元,x∈S0.定义7如果∀a∈S,|V(a)∩S0|=1,我们就称S0是正则半群S的一个逆断面.类似于正则半群中的逆断面,El-Qallali在富足半群中定义了适当断面.定义8设S是一个富足半群,幂等元集合为E.若S0是S的一个适当*-子半群,E0是S0的幂等元半格.称S0是S的适当断面,如果∀x∈S,∃!x0∈S0,使得x=ex0f.其中e,f∈E,eLx0+,fRx0*,x0+,x0+∈E0.事实上,e,f由x所惟一确定.我们记e=ex,f=fx.定义9如果∀x∈S,fx·ey∈E0,我们就称适当断面S0是可乘的.文中出现而没有详细说明的其它一些记号,可参考文献.我们已经知道,富足半群是正则半群的推广,而关于正则半群的逆断面的一些结论在富足半群上也得到了很好的推广.下面,笔者给出一类具有可乘适当断面的富足半群的结构定理,这一定理推广了具有类似结构的正则半群的相关结果.引理设S0是一个逆半群,幂等元半格为E0.I是一个带有逆断面为的左正则带.L是一个右逆半群,逆断面为S0.∀a,b∈L,e,f∈I,定义映射φa:I→I为:faφaf.∀e∈I,定义映射ψe:L→L为:babψe.若下列条件满足:(1)(φae)0=(aψe)(aψe)0,(2)(φae)(φ(aψe)bf)=φa(e(φbf)),(aψe(φbf))(bψf)=((aψe)b)ψf,(3)φae0=ae0a0,φe0f=e0f,a0ψe=a0e0,aψe0=ae0,(4)aa0(φae)=φae,aa0(aψe)e=aψe0.我们定义集合I|×|L={(e,a)∈I×L|e0=aa0}上的运算乘法为:(e,a)(f,b)=(e(φaf),(aψf)b).则I|×|L是一个正则半群,它的逆断面同构于S0.反之,任何这类逆断面的正则半群均可以这样来构造.类似的,在富足半群中,我们利用定义的可乘适当断面,可以得到相应的推广定理:定理设S0是一个适当半群,幂等元半格为E0,I是一个带有可乘适当断面E0的左正规带,L是一个带有可乘适当断面S0的富足半群,它的幂等元组成一个右正规带.∀a,b∈L,e,f∈I.定义映射φa:I→I为:faφaf.∀e∈I,定义映射ψe:L→L为:babψe.若下列条件满足:(1)(φae)0=eaψe,(2)(φae)(φ(aψe)bf)=φa(e(φbf)),(aψe(φbf))(bψf)=((aψe)b)ψf,(3)φae0=eae0,φe0f=e0f,a0ψe=a0e0,aψe0=ae0,(4)ea(φae)=φae,ea(aψe)e=aψe0.我们定义集合I|×|L={(e,a)∈I×L|e0=ea}上的运算乘法为(e,a)(f,b)=(e(φaf),(aψf)b).则I|×|L是一个富足半群,它的可乘适当断面同构于S0.反之,任何这种类型的带有可乘适当断面的富足半群均可以这样来构造.证明我们分三步来证明.第一步从条件(2)易见合I|×|L是一个半群.令E0|×|S0={(e,a)∈I×L|e∈E0,a∈S0},我们将说明E0|×|S0≅S0.在S中,我们知道E0|×|S0={(a+,a)|a∈S0}.∀x,y∈S,由条件(3)得(a+,a)(b+,b)=(a+(φab+),(aψb+b))=(a+e(ab+),ab+b).注意到a+和e(ab+)属于E0,E0是一个半格,则a+e(ab+)=e(ab+)a+.另一方面,a+e(ab+)ab=e(ab+)a+ab=e(ab+)ab,e(ab+)(ab+)=ab+.于是我们有(ab+)+=e(ab+)=(ab)+.这就说明E0|×|S0≅S0.第二步证明半群I|×|L有一个可乘适当断面.对于(e,a)∈I|×|L,有a=eaa0fa,a0∈S0,ea=a0+.a0+,a0*∈S0.从条件(3),(4)可以得到(eea)(a0+,a0)(a0*,fa)=(eea(φeaa0+),(eaψa0+)a0)(a0*,fa)=(eeaeeaa0+,eaa0+a0)(a0*,fa)=(eeaeea,eaa0)(a0*,fa)=(eea,eaa0)(a0*,fa)=(eea(φeaa0a0*),((eaa0)ψa0+)fa)=(eeaea0,eaa0fa)=(e(a0+)ea0,a)=(e,a).由上,我们证明了对于每一个(e,a)∈I|×|L,都惟一存在元素(a0+,a0)∈E0|×|S0,使得(e,a)=(eea,ea)(a0+,a0)(a0*,fa).易见,(eea,ea)和(a0*,fa)是I|×|L中的幂等元.且∀(e,a)∈I|×|L,(eea,ea)R*(e,a),(a0*,fa)L*(e,a).这样,半群I|×|L就是一个富足半群.于是,富足半群I|×|L就有一个可乘适当断面E0|×|S0.令I|×|E0={(e,a)∈I×L|a∈E0},E0|×|L={(e,a)∈I×L|e∈E0}.我们可以得到I(I|×|L)=I|×|E0≅I,L(I|×|L)=E0|×|L≅L.于是I(I|×|L)是一个左正规带,L(I|×|L)是一个富足半群,它的幂等元E(I|×|L)组成一个右正规带.第三步反过来,假设S是一个带有可乘适当断面S0的富足半群,I(S)是一个有可乘适当断面E0的左正规带,L(S)是一个富足半群,可乘适当断面为S0,且L(S)的幂等元组成一个右正规带.∀a∈L(S),e∈I(S),定义映射φa:I→I为:φae=eae,映射ψe:L→L为aψe=(ae)0+.则φa和ψe显然满足条件前提条件(1)、(2)、(3)、(4).于是,我们构造了一个半群I(S)|×|L(S),且I(S)|×|L(S)≅S.从上面的证明,很容易得出:推论设S0是一个逆半群,幂等元半格为E0.I是一个带有逆断面为E0的左正则带,L是一个右逆半群,它的可乘逆断面为S0.∀a,b∈L,e,f∈I,定义映射φa:I→I为:faφaf.∀e∈I定义映射ψe:L→L为:babψe.若下列条件满足:(1)(φae)0=(aψe)(aψe)0,(2)(φae)(φ(aψe)bf)=φa(e(φbf)),(aψe(φbf))(bψf)=((aψ