布郎粒子间的粘滞阻力与布郎运动

布郎粒子间的粘滞阻力与布郎运动

布兰运动的数学模型是爱因斯坦通过对这种“不规则运动”的宏观抵抗分析建立的。一个布郎粒子所受的力有两种,一是重力,另一是周围分子的作用力。周围分子通过碰撞作用于布郎粒子的力又可以分为三部分:第1部分是浮力;第2部分是粘滞阻力γv;第3部分是一种涨落很快、引起粒子无规则运动的随机力Fs.一般考虑粒子的运动在水平面力方向的投影,则重力和浮力都不出现,运动方程为mBd2xdt2+γdxdt=Fs(1)mBd2xdt2+γdxdt=Fs(1)这就是布郎运动著名的郎之万(Langevin)方程。最近几年显微技术的发展已经使得研究个体分子的行为成为可能。例如,利用原子力显微镜(AFM)和光学捕获技术对分子间作用力的直接测量,以及利用共轭激光扫描显微镜和近场扫描光学显微镜对单个分子荧光的测量。实验技术的发展客观上要求对单个分子的动力学行为及微观涨落机制有更深入的理解。Gillespie建立了一个由马尔柯夫过程导出粘滞阻力的微观模型。本文将从分析布郎粒子与周围分子的碰撞过程出发,导出涨落系统的基本特征。并且证明微观碰撞机制直接导致布郎粒子的两种宏观作用力的特征:粘滞阻力正比于粒子的速度,随机涨落力宏观平均值为零。1布郎粒子及分子碰撞的情况导出郎之万方程考虑布郎运动的一维模型,其中布郎粒子的质量为mB,周围分子的质量为m,并且mB≫m.假设分子间的碰撞是弹性的,我们首先考虑粒子间独立的某一次碰撞过程。设布郎粒子碰撞前后的速度分别为vB和v′B,分子碰撞前后的速度为v和v′.由碰撞过程中的动量守恒和能量守恒定律出发,我们可以给出碰撞之后粒子速度和碰撞之前粒子速度的关系v´B=mB-mm+mvB+2mmB+mv‚(2)v′=m-mBm+mv+2mBmB+mvB.v′B=mB−mm+mvB+2mmB+mv‚(2)v′=m−mBm+mv+2mBmB+mvB.对于大量粒子系统,我们有以下两个先决条件:分子的速度v的分布与布郎粒子速度vB无关;两次碰撞之间的时间间隔不依赖于布郎粒子的速度vB.对于由大量分子组成的系统而言,第1个条件是充分满足的。第2个条件看似不太明显,由于我们前提假设mB≫m,平均而言v≫vB,若布郎粒子和将要碰撞的分子相向运动,并且其间距为l,则碰撞间隔Δt=lv+vB≈lvΔt=lv+vB≈lv.第2个条件隐含时间的平均值与大量多次碰撞平均结果相同。v2B=limΤ→∞1ΤΤ∫0vBi2(t)dt=limΝ→∞Ν∑i=1Δtiv2BiΝ∑i=1Δti=limΝ→∞¯ΔtΝ∑i=1v2iΝ∑i=1Δti=limΝ→∞1ΝΝ∑i=1v2Bi=ˉv2B.v2B=limT→∞1T∫0TvBi2(t)dt=limN→∞∑i=1NΔtiv2Bi∑i=1NΔti=limN→∞Δt¯¯¯¯∑i=1Nv2i∑i=1NΔti=limN→∞1N∑i=1Nv2Bi=v¯2B.其中,vi和Δti是第i和第i+1次碰撞前布郎粒子的速度以及碰撞过程中的时间间隔,N是在时间间隔t内布郎粒子和分子碰撞次数。两次碰撞之间的平均时间间隔为ˉΔt=limx→∞1ΝΝ∑i=1Δti.Δ¯¯¯t=limx→∞1N∑i=1NΔti.将方程(2)两边平方,并取N次碰撞后的平均值,并且取N→∞时的极限,我们有v´2B=(mB-m)2(mB+m)2ˉv2B+4m2(mB+m)2ˉv2+2(mB-mmB+m)(2mmB+m)¯vBv.v´2B=(mB−m)2(mB+m)2v¯2B+4m2(mB+m)2v¯2+2(mB−mmB+m)(2mmB+m)vBv¯¯¯¯¯.对于稳定系统而言ˉv´2B=ˉv2Bv¯´2B=v¯2B,而前面的先决条件(1),隐含着¯vBv=ˉvBˉv=0vBv¯¯¯¯¯=v¯Bv¯=0,因此我们有mBˉv2B=mˉv.可以看出,给定前述两个条件,布郎粒子的平均动能和分子平均动能是相等的,这和能均分定理一致的。现在我们可以进一步从微观碰撞机制推导Langevin方程,由于mB≫m,我们有mB-mmB+m≈1-2mmB+Ο(mmB)2‚mBmB+m≈1-mmB+Ο(mmB)2‚mmB+m≈mmB+Ο(mmB)2.于是方程(2)可写作v´B=(1-2mmB)vB+2mmBv.(3)由方程(3)我们可以得到布郎粒子在单次碰撞过程中动量的变化Δp=2mv-2mvB.(4)方程(4)显示布郎粒子动量的变化有两项构成,其中第1项可正可负,而且分子从左右两侧碰撞的几率相同,这一项的平均值为零。第2项的贡献与布郎粒子的运动速度成正比而且反向,其作用倾向于减缓布郎粒子的速度.我们再来考虑某一个小的时间间隔Δt内布郎粒子的动量变化。我们假设时间间隔Δt足够的小,以至于布郎粒子的速度不发生明显的变化。但同时由于mB≫m.,我们仍然可以认为这一时间间隔内包括很多次的碰撞过程,由方程(4)我们可以给出N次碰撞后布郎粒子的动量改变:ΔpΝ=2mΝ∑i=1vi-2mΝ∑i=1vBi.(5)由方程(3)再做一阶近似我们有vBi+1≈vBi,并且碰撞时间间隔Δt足够的小,我们可以认为这一时间内布郎粒子的运动速度没有明显的变化,方程(5)中第2项可近似写成2mNvB=2mnvB(t)Δt,其中vB(t)是t时刻布郎粒子的速度,n是每秒内的平均碰撞次数N=nΔt.于是ΔpΝ=2mΝ∑i=1vi-2mnvB(t)Δt.(6)在方程(6)的两侧同时除以Δt,并取Δt→0的极限,我们可以得到布郎粒子的运动方程mBdvBdt=Fs-γvB.(7)其中随机力定义为Fs=limΔt→01ΔtnΔt∑i=12mvi.粘滞阻尼系数γ=2mn.(8)方程(7)即为郎之万方程的标准形式,并且给出阻尼系数和随机力的微观物理意义。应用维里定理和能均分定理,可以给出著名的粘滞系数γ和位移涨落(Δx2)之间的关系Δx2=2kBΤγt.(9)其中kB是波耳兹曼常数,T是系统的绝对温度。2布郎粒子与分子的能量均是以最小量来界限我们通过布郎粒子与周围分子一维碰撞模型的研究,给出了郎之万方程中宏观表现力的微观来源,并且证明了布郎粒子与分子的能量均分定