r31中有逐点1型高斯映射的时间轴旋转曲面

r31中有逐点1型高斯映射的时间轴旋转曲面

0旋转曲面的确定20世纪70年代，有限子流形的概念出版后，它被应用于流形研究。B.Y.Chen将流形的有限型概念推广到微分映射中,特别是给出有限型高斯映射的概念。设M是欧氏空间或非欧空间中的子流形,如果M上的高斯映射G满足ΔG=λ(G+C),(0.1)其中,λ∈R,C为向量,Δ为M的度量上诱导出的拉普拉斯算子,此时称M具有1型高斯映射G,并且当C=0时,称G是第一类的,当C≠0时,称G是第二类的。F.Dillen等学者证明了三维欧氏空间R3中的旋转曲面M满足ΔG=ΛG,Λ∈R3×3,当且仅当M或是平面或是球面或是圆柱面。C.Baikoussis证明了R3中的直纹面M满足ΔG=ΛG,Λ∈R3×3,当且仅当M或是平面或是圆柱面。S.M.Choi将此结果推广至三维Minkowski空间R31中,并得到本质上相同的结果,即ΔG=ΛG(Λ∈R3×3)⇔(1)R21,S11×R1,R11×S1,(2)R2,H1×R1,其中R21,S11×R1,R11×S1分别表示洛伦兹平面、洛伦兹双曲柱面和洛伦兹圆柱面。另一方面,B.Y.Chen等讨论了更一般的情形ΔG=f(G+C),(0.2)其中f是G上的函数,C为向量。如果f是非常值函数,当M满足式(0.2)时,M称为具有逐点1型高斯映射的流形。同时,B.Y.Chen等给出了R3中的旋转曲面若满足式(0.2),当且仅当该曲面或是平面或是圆柱面或是圆锥面。本文将对三维Minkowski空间中类似于欧氏空间的问题进行讨论,即R31中具有逐点1型时间轴的旋转曲面M,若满足式(0.2),当且仅当该曲面M或是欧氏平面R2或是洛伦兹圆柱面R11×S1或是非类光洛伦兹圆锥面。1旋转曲面的解析设R31是三维Minkowski空间,对任意两个x=(x1,y1,z1),y=(x2,y2,z2)∈R31定义两个运算〈x,y〉=-x1y1+x2y2+x3y3,x×y=(-|x2x3y2y3|,|x3x1y3y1|,|x2x2y1y2|),并分别称为x和y的伪内积和伪向量积。设x∈R31是非零向量,若〈x,x〉>0,〈x,x〉=0或〈x,x〉<0,则分别称x为类空向量、类光向量或类时向量。x的模定义为∥x∥=√|〈x,x〉|。设γ:I→R31,γ(t)=(x(t),y(t),z(t)),是R31中正则曲线,I是R中开区间,若〈γ′,γ′〉>0、〈γ′,γ′〉=0或〈γ′,γ′〉<0,则分别称γ(t)是类空曲线、类光曲线或类时曲线。记S21(1)={x∈R31|〈x,x〉=1}称为半径为1的2维deSitter空间,H2(-1)={x∈R31|〈x,x〉=-1}称为半径为1的2维Hyperbolic空间。设M是R31中的曲面,则高斯映射G将M上每一点映成单位向量。g=(gij)是由M上度量构成的矩阵,g-1=(gij)和Γ=detg分别代表g的逆矩阵和行列式,Δ是M上的拉普拉斯算子,Δ=-1√|Γ|∑∂∂xi(√|Γ|gij∂∂xj)。设Π是R13中一平面,γ和l是Π中不相交的正则曲线和直线,当γ围绕l一周时得到R13中的一个旋转曲面。其中曲线γ称为该旋转曲面的母线,直线l为轴。因为类时向量在欧氏空间是不存在的,因此本文只对当轴l是类时轴的情形进行讨论,此时可通过洛伦兹变换将l平移到x轴上。不失一般性,选定xoy平面为Π,并以x轴为旋转轴构造类时轴旋转曲面。在xoy平面中选一条正则曲线L:{x=ψ(v)y=φ(v),当l以x轴旋转一周得到旋转曲面M,此时M为M:x(u,v)=(ψ(v),φ(v)cosu,φ(v)sinu),(1.1)其中,0<u<2π,a<v<b,φ(v)>0。下面无特别指明时,函数均是光滑的,旋转曲面均指正则时间轴旋转曲面。引理1.1如上旋转曲面具有逐点1型高斯映射,则式(0.2)中的f只依赖于v,并且向量C平行于x轴。证明假设母线γ取弧长参数,即要求-ψ′2+φ′2=ε(±1),当γ是类空曲线时,ε取1,类时曲线时,ε取-1,则通过计算得到xu=(0,-φ(v)sinu,φ(v)cosu),xv=(ψ′,φ′cosu,φ′sinu),g11=φ2,g12=g21=0,g22=ε,g=(φ200ε),g-1=(φ-200ε),Γ=detg=εφ2,G=xu×xv|xu×xv|=(φ′,ψ′cosu,ψ′sinu),Δ=-1φ2∂2∂u2-εφ′φ∂∂v-ε∂2∂v2,ΔG=(-εφ′φ″φ-εφ‴,(ψ′φ2-εφ′ψ″φ-εψ‴)cosu,(ψ′φ2-εφ′ψ″φ-εψ‴)sinu),满足式(0.2),则有fψ′=ψ′φ2-εφ′ψ″φ-εψ‴,f(φ′+c)=-εφ′φ″φ-εφ‴,C=(c,0,0),说明f只与变量v有关,并且向量C平行于x轴。2逆市场维护率定理2.1R13中旋转曲面M有第一类逐点1型高斯映射,当且仅当M有常值平均曲率。证明旋转曲面方程仍采用(1.1)形式。不失一般性,假设-ψ′2+φ′2=ε(±1),则xuu=(0,-φcosu,-φsinu),xuv=(0,-φ′sinu,-φ′cosu),xvv=(ψ″,φ″cosu,φ″sinu),E=φ2,F=0,G=ε,L=-φψ′,M=0,N=-φ′ψ″+ψ′φ″。因此,平均曲率为Η=12EΝ-2ΜF+GL|EG-F2|=12-εψ′+φ(-φ′ψ″+ψ′φ″)φ。(2.1)另一方面,ΔG=fG意味着等式〈ΔG,G〉=-εf成立。因此-εf=εφ′(φ′φ″φ+φ‴)+ψ′(ψ′φ2-εφ′ψ″φ-εψ‴),由引理1.1可知fψ′=ψ′φ2-εφ′ψ″φ-εψ‴。结合上面两式,得-φ′ψ′(φ′φ″φ+φ‴)-εψ′2(ψ′φ2-εφ′ψ″φ-εψ‴)=ψ′φ2-εφ′ψ″φ-εψ‴。(2.2)当ε=1,即-ψ′2+φ′2=1时,假设φ′(v)=secθ,ψ′(v)=tanθ,其中,θ是关于t的函数θ=θ(t)。代入(2.1),得Η=-tanθ+φsecθ⋅θ′2φ,代入(2.2),得tanθsecθφ2-sec2θ⋅θ′φ-secθtanθ⋅θ′2-secθ⋅θ″=0。这说明平均曲率H=α常数,其逆显然成立。当ε=-1,即-ψ′2+φ′2=-1时,假设φ′(v)=tanθ,ψ′(v)=secθ,其中,θ是关于t的函数θ=θ(t)。代入(2.1),得Η=12(secθφ+secθ⋅θ′),代入(2.2),得tanθφ2-tanθ⋅θ′φ-tanθ⋅θ′2-secθ⋅θ″=0。而Η′=-secθ2(tanθφ2-tanθ⋅θ′φ-tanθ⋅θ′2-secθ⋅θ″),说明平均曲率H=α常数,其逆显然成立。证毕。3多项式类旋转曲面的生成理法假设旋转曲面M的方程如下:x(θ,t)=(g(t),tcosθ,tsinθ)。(3.1)其中,t>0,0<θ<2π。这与B.Y.Chen的命名类似,在R13中仍采用如下概念,当g(t)为多项式函数(有理函数)时,称M为多项式类(有理类)旋转曲面,此时母线方程为γ(t)=(x,y,z)=(g(t),t,0)。显然,-g′2+1>0时γ为类空曲线,-g′2+1<0时γ为类时曲线。不妨设γ为类时曲线,即g′2>1,则xθ=(0,-tsinθ,tcosθ),xt=(g′,cosθ,sinθ),G=(1(g′2-1),g′cosθ(g′2-1),g′sinθ(g′2-1)),(3.2)Δ=-1t2∂2∂θ2+(1t-g′g″g′2-1)∂∂t-11-g′2∂2∂t2。(3.3)若M具有第二类逐点1型高斯映射,利用(0.2)、(3.2)、(3.3)及引理1.1,得到1t2g′(g′2-1)3-g″t(g′2-1)-g‴(g′2-1)+4g′g″2=fg′(g′2-1)3,(3.4)-1tg′g″(g′2-1)+3g′2g″2+g″2-g′g‴(g′2-1)=f(g′2-1)3(1+c(g′2-1)),(3.5)其中,C=(c,0,0),c≠0。结合(3.4)和(3.5),得tg″(g′2-1)2+t2g‴(g′2-1)-3t2g′g″2(g′2-1)+g′(g′2-1)3=c(g′2-1){tg″(g′2-1)+t2g‴(g′2-1)-4t2g′g″2+g′(g′2-1)3}。(3.6)不妨将(3.6)写成如下形式:Ρ(t)=c(g′2-1)Q(t)。(3.7)其中,P(t)=tg″(g′2-1)2+t2gue087(g′2-1)-3t2g′g″2(g′2-1)+g′(g′2-1)3,Q(t)=tg″(g′2-1)+t2gue087(g′2-1)-4t2g′g″2+g′(g′2-1)3。假设M是多项式类旋转曲面,即g(t)为多项式,并用detg(t)来表示g(t)的阶数。若detg(t)≥2,则detP(t)=detQ(t)≥7,这与式(3.7)矛盾,因此式(3.7)只能对detg(t)=1时成立。进一步假设g′(t)=a,|a|>1常数,应用(3.7)易得c=1a2-1。当γ为类空时,即g′2<1,同理可得detg(t)=1,c=11-a2,0<|a|<1。由此满足式(0.2)的多项式类旋转曲面M的方程如下:M:x(θ,t)=(at,tcosθ,tsinθ),(3.8)其中,t>0,0<θ<2π,|a|≠1常数,曲面为非类光洛伦兹圆锥面。综上可得到下面定理。定理3.1多项式类旋转曲面M具有第二类逐点1型高斯映射,当且仅当M是非类光洛伦兹圆锥面。当(3.1)中g(t)为有理函数时,g′(t)均为有理函数。假设g′(t)不等于常数,则令g′(t)=r(t)q(t),其中r(t)和q(t)为互素的有理多项式,即r(t)和q(t)不含有阶数大于等于1的公共多项式。假设detr(t)=n,detq(t)=m,(3.7)中g′2-1也是有理函数,说明存在多项式p(t),使得r(t)2-q(t)2=p(t)2,其中p(t),r(t),q(t)均互素。令P1(t)=tg″(g′2-1)2,P2(t)=t2gue087(g′2-1),P3(t)=t2g′g″2(g′2-1),P4(t)=g′(g′2-1)3;Q1(t)=tg″(g′2-1),Q2(t)=t2gue087(g′2-1),Q3(t)=t2g′g″2,Q4(t)=g′(g′2-1)3,这里Pi和Qi(i=1,…,4)均为有理函数。情况1当m=0,此时g(t)是多项式函数,由(3.1)可知,M是非类光洛伦兹圆锥面。情况2当m≥1,(3.7)两端同时乘以q(t)7,则对每个i=1,…,4,q(t)7Pi(t)均为多项式,对每个i=1,…,3,q(t)6Qi(t)也都是多项式,而q(t)6Q4(t)=q(t)6r(t)q(t)p(t)6q(t)6=r(t)p(t)6q(t),与(3.7)矛盾。说明m≥1情况是不存在的。从而得以下定理。定理3.2具有第二类逐点1型高斯映射的有理类旋转曲面不存在。定理3.3M是具有逐点1型高斯映射的有理类旋转曲面,当且仅当M或是欧氏平面R2或是洛伦兹圆柱面R11×S1或是非类光洛伦兹圆锥面。证明设旋转曲面M有(1.1)形式,如果φ(v)是常数,则M将是洛伦兹圆柱面,若φ(v)不是常值函数,则式(1.1)可重新定义为,x(θ,t)=(g(t),tcosθ,tsinθ),其中t>0,0<θ<2π,a≠1常数。此时,由平均曲率公式,当g′2>1时,Η=α⇔g″-g′t(g′2-1)+2α(g′2-1)32=0(3.9)有解;当g′2<1时,Η=α⇔g″+g′t(1-g′2)+2α(1-g′2)32=0(3.10)有解。下面对(3.9)和(3.10)右端分别进行求解。当g′2>1时,母线L为类时曲线,令coshy=g′,则g″=sinhy·y′,g′2-1=sinh2y,代入(3.9),得y′-1tsinhycoshy+2αsinh2y=0。(3.11)再令y=coth-1ω,则y′=ω′1-ω2,sinhy=1ω2-1,coshy=ωω2-1,代入(3.11),得tω′+ω-2αt=0。(3.12)解(3.12)微分方程,得ω=c+αt2t,c为任意常数。因此,g′=cosh[coth-1(c+αt2t)],进一步得g=∫0tc+αt2(c+αt2)2-t2dt,其中,c和α不能同时为零。若c=0,α=0,则g是常数且M是欧氏平