【数学(选修)】双曲线与直线位置关系

8.4直线与双曲线的位置关系（第一课时）椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）相离相切相交一.复习引入直线与双曲线位置关系：XYO分类：相离；相切；相交。XYO二.探究新知三.归纳总结根据交点个数判定XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点1.图象法:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.温馨提示：例1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.

4交点的一个直线XYO（1，1）。把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离2.代数法:判断直线与双曲线位置关系的操作流程图（2次系数等于0）（2次系数不等于0）（两个交点）（一个交点）（无交点）例2.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线

(1)有两个公共点;(2)与右支交于两点.(1)解：将直线代入双曲线方程化简整理得（※）要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则（※）有两个不相等的实数根，应满足的取值范围

要使直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，则应满足（2）解：将直线代入双曲线方程

化简整理（※）解得注:直线与双曲线的右支有两个交点,实际上给出了方程解的范围,涉及到二次方程的根的分布问题.解题时需要注意!由韦达定理得：变式应用:已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)只有一个公共点;(3)交于异支两点；k=±1，或k=±

-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；走向高考

曲线总有公共点，则b的取值范围是（）若不论K为何值，直线与B例3：解：双曲线中的弦长问题解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。典型例题:双曲线中的垂直问题解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.例5.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条

弦AB，求直线AB的方程。典型例题:解法一：（1）当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线

截得的弦的中点不是P点。（2）当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．

则直线AB的方程为y-8=k（x-1）双曲线的中点弦问题例5.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条

弦AB，求直线AB的方程。变式：已知双曲线x2－y2/2＝1，试问过点A(1,1)，能否作直线l，使与双曲线交于P1、P2两点，且点A是线段P1P2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。证明:(1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b典型例题:双曲线的中点弦问题证明:(1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b【分析】双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定的.利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找k、m的关系式，根据两者的约束条件"直线l与双曲线交于不同的两点"，确定k的取值范围.高考真题(2008·天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fl(-3,0)，一条渐近线方程是.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围