经典测量平差模型的内在联系

经典测量平差模型的内在联系

一、附限制条件的条件平差模型测量差异基础是测量专业的重要一门课程，此外，它还提供了gis和航测实践的课程，这些课程还包括gis、航测实践和遥感。而在一般的教材讲述中都是将四种平差模型分别进行讲述。於宗俦教授早在20世纪80年代末就提出旨在统一四种经典平差模型的概括模型——附有限制条件的条件平差模型。王新洲教授最近又论证了附有限制条件的间接平差模型本身就是其余四种模型的概括模型,并详细地证明了其他四种模型都是该模型的特例。显然这两种概括模型都很好地揭示了平差模型之间的关系,为进一步阐明这五种模型之间的内在联系,本文讨论间接平差模型与条件平差模型之间、附有参数的条件平差模型与附有限制条件的间接平差模型之间的关系,以期作为上述两种概括模型的补充。二、条件差模型与间接差模型之间的等效性1.t、n-t矩阵条件平差的函数模型为Ar,nˆLn,1+A0r,1=0(1)Ar,nLˆn,1+A0r,1=0(1)间接平差的函数模型为ˆLn,1=Bn,tˆXt,1+dn,1(2)Lˆn,1=Bn,tXˆt,1+dn,1(2)其中,n为观测值个数;t为必要观测个数;r=n-t为多余观测个数。矩阵的含义同文献。将式(2)中的独立参数选为t个独立观测值,则式(2)变为[ˆL1t,1ˆL2r,1]=[Ιt,tB1r,t]ˆXt,1+[0t,1d1r,1](3)⎡⎣⎢⎢⎢⎢Lˆ1t,1Lˆ2r,1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢It,tB1r,t⎤⎦⎥⎥Xˆt,1+⎡⎣⎢⎢0t,1d1r,1⎤⎦⎥⎥(3)式(3)进行变量替换得ˆL2r,1=B1r,tˆL1t,1+d1r,1(4)Lˆ2r,1=B1r,tLˆ1t,1+d1r,1(4)令A=[-B1r,tΙr,r],A0=-dr,1A=[−B1r,tIr,r],A0=−dr,1,式(4)便变为式(1),即条件平差是间接平差当选取t个独立观测值时其余r个观测值与所选取的独立观测值之间满足的条件。2.间接平差模型法上述推导过程步步可逆,故很容易从条件平差模型导出以独立观测值为参数的间接平差模型来。以下从条件平差模型推导以t个独立待定量作为参数的间接平差。从式(1)作变量替换可得式(3),其中ˆXt,1=ˆL1t,1‚Xˆt,1=Lˆ1t,1‚即有[ˆL1t,1ˆL2r,1]=[Ιt,tB1r,t]ˆL1t‚1+[0t,1d1r,1](5)⎡⎣⎢⎢⎢⎢Lˆ1t,1Lˆ2r,1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢It,tB1r,t⎤⎦⎥⎥Lˆ1t‚1+⎡⎣⎢⎢0t,1d1r,1⎤⎦⎥⎥(5)参照间接平差模型的建立方法,易知t个独立观测值ˆL1t,1Lˆ1t,1可用t个独立待定量ˆXt,1Xˆt,1来表示,即ˆL1t,1=B2t,tˆXt,1+d2t,1(6)Lˆ1t,1=B2t,tXˆt,1+d2t,1(6)将式(6)代入式(5)可得[ˆL1t,1ˆL2r,1]=[B2t,tB1r,tB2t,t]ˆXt,1+[d2t,1d1r,1B1r,td2t,1](7)⎡⎣⎢⎢⎢⎢Lˆ1t,1Lˆ2r,1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢B2t,tB1r,tB2t,t⎤⎦⎥⎥Xˆt,1+⎡⎣⎢⎢d2t,1d1r,1B1r,td2t,1⎤⎦⎥⎥(7)显然式(7)与式(2)是完全相同的。至此便从条件平差模型推出以t个独立待定量作为参数的间接平差模型。由此可以看出,间接平差模型与选取参数的类型没有关系,即选取观测值与选取待定量作为参数是等价的。综上可以看出,任何间接平差模型都可以由条件平差模型导出,而任何条件平差模型都可以从间接平差模型导出,即条件平差模型与间接平差模型是等价的。三、附条件的条件平差模型附有参数的条件平差的函数模型为Ac,nˆLn,1+Bc,uˆXu,1+A0c,1=0(8)Ac,nLˆn,1+Bc,uXˆu,1+A0c,1=0(8)其中,0<u<t,u为增选的独立参数;c=r+u,c为总条件方程个数。附有限制条件的间接平差的函数模型为ˆLn,1=Bn,uˆXu,1+dn,1(9)Lˆn,1=Bn,uXˆu,1+dn,1(9)Cs,uˆXu,1-Wxs,1=0(10)Cs,uXˆu,1−Wxs,1=0(10)其中,u>t,且包含t个独立参数;s=u-t为约束参数的条件方程个数。文献已详细推导了附有参数的条件平差模型是附有限制条件的间接平差模型的一个特例,即附有参数的条件平差就是参数的个数大于观测值的个数,且选择观测值的真值为前n个参数,而剩余参数相互独立时的附有条件的间接平差模型在消去前n个参数以后的中间形式。反过来,由附有参数的条件平差模型可以导出附有限制条件的间接平差模型,推导过程如下:由文献知式(8)可分解为A1r,nˆLn,1+A01r,1=0(11)A1u,nˆLn,1+B2u,uˆXn,1+A02u,1=0(12)式(11)就是条件平差函数模型,由前讨论该式可以导出间接平差模型式(2),将其另写为ˆLn,1=B1n,tˆXt,1+dn,1(13)将式(13)代入式(12)得A1u,nB1n,tˆXt,1+B2u,uˆXu,1+A1u,ndn,1+A02u,1=0(14)令Cu,t+u=[A1u,nB1n,tB2u,u]‚ˆXt+u,1=[ˆXt,1ˆXu,1]‚Wxu,1=-(A1u,ndn,1+A02u,1)且令s=u,式(14)便变为式(10)。由式(13),令Bn,u=[B1n,t0n,s]‚ˆXu,1=[ˆXt,1ˆXs,1]便得式(9)。至此便由附有参数的条件平差模型推出了附有限制条件的间接平差模型。可见这两种模型有密切的联系,但由于附有参数的条件平差模型要求0<u<t,所以总条件数c=r+u<n,而附有限制条件的间接平差模型只要求u>t,其中包含t个独立参数,u的个数可以大于n。因此只有当附有限制条件的间接平差模型的u<n时,才能被附有参数的条件平差模型导出,而当u>n时,则不能。四、条件平差模型的生成1.条件平差模型与间接平差模型是等价的,二者是可以互相导出的;2.间接平差模型中未知参数的选取与参数类型无关,即选取观测值还