具有常高斯曲率k=1的类时曲面

具有常高斯曲率k=1的类时曲面

经典的后门理论主要研究三维空间r3中通常负高斯坦率曲线之间的变换。更准确地说，后位变可以看作是一个伪球形的后位变换。随着孤立子理论的研究和发展，后门变换是探索孤立子方程的非常重要的方法，并对后位变的几何内涵的推广越来越受到重视。在文献中，作者考虑了高维空间形式下的后向理论的推广，并推广了sin-gort方程和波方程。在文献中，作者将后门变换推广到三维空间r10和1中的威尔耿顿曲线。此外，作者还讨论了r2、1中的性质（k1-m）、（k-m）=如果m=0，则有k=如果是l，则仅包括两种时间间隔内的空线组合。在这项工作中，作者通过类时线k.1的组合研究了t2、1中的常高斯坦比率k.1的类时曲线之间的后门转换。设R2,1是三维Lorentz-Minkowski空间,即在实向量空间R3上根据自然坐标(x1,x2,x3)赋予度量dx21+dx22-dx23.假设S是一个具有常高斯曲率K=1的无脐点类时曲面,且存在主方向,{r;e1,e2,e3}是曲面S上的局部标准正交Lorentzian标架场,并且使得e1,e2是主方向上的切向量,e3是法向量(e21=-e22=e23=1),则有运动方程dr=ω1e1+ω2e2,ω3=0;dei=∑3i=1ωijej(i=1,2,3),其中ω12=ω21,ω13=-ω31,ω23=ω32.考虑方程d2r=0和d2ej=0(j=1,2,3),我们得到dωi=ωj∧ωji(i=1,2,3),高斯方程dω12=ω13∧ω32和Codazzi方程dωi3=ωij∧ωj3(i=1,2).把ei的符号记为εi,即e2i=εi,曲面S的高斯曲率K可定义为dω12=-ε1Kω1∧ω2=ω13∧ω32.假设S的第一和第二基本形式分别为I=a2du2-b2dv2,II=k1a2du2-k2b2dv2,其中k1,k2为曲面S的主曲率,则我们有ω1=adu,ω2=bdv;ω13=-ω31=k1adu,ω23=ω32=-k2bdv;ω12=ω21=avbdu+buadv和Codazzi方程(k1-k2)av+k1va=0,(k1-k2)bu-k2ub=0.由于k1k2=1,且令k=k1,Codazzi方程可改写为(k-1k)av+kva=0,(k-1k)bu-(1k)ub=0,则由Codazzi方程,可以在S上局部地引入适当的参数仍记为(u,v),使得a=coshα2,b=sinhα2,因此ω1=coshα2du,ω2=sinhα2dv;ω13=-ω31=sinhα2du,ω23=ω32=-coshα2dv;ω12=ω21=12(αvdu+αudv),高斯方程dω12=-Kω1∧ω2=ω13∧ω32为αuu-αvv=-sinhα,Codazzi方程为恒等式.命题1设曲面S为R2,1中高斯曲率K=1的无脐点类时曲面且存在主方向,则可在S上选取Tchebyshev坐标(u,v)使得S的第一和第二基本形式分别为Ι=cosh2α2du2-sinh2α2dv2,(1)ΙΙ=coshα2sinhα2(du2-dv2),(2)其中α(u,v)满足方程αuu-αvv=-sinhα.(3)定理2若α(u,v)满足方程(3),τ(≠0)是任意常数,则下列关于α*(u,v)的方程完全可积:12sinτ(αu*+αv)=-coshα*2coshα2-cosτsinhα*2sinhα2,(4)12sinτ(αv*+αu)=sinhα*2sinhα2+cosτcoshα*2coshα2,(5)并且α*(u,v)满足方程α*uu-α*vv=sinhα*,(6)即方程(4),(5)给出了方程(3)和(6)之间的一个Backlund变换.证明由方程(4),(5)有12sinτ(αuv*+αvv)=-12αv*(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2)-12αv(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2),12sinτ(αvu*+αuu)=12αu*(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2)+12αu(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2),则12sinτ(-αuv*+αvu*-αvv+αuu)=12(αu*+αv)(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2)+12(αv*+αu)(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2).(7)将方程(4),(5)代入方程(7),得到12sin2τ(-αuv*+αvu*-αvv+αuu)=-12sin2τsinhα,由于α满足方程(3),故方程(4),(5)是完全可积的.类似地,根据方程(4)和(5),有12sinτ(αuu*+αvu)=-12αu*(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2)-12αu(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2),12sinτ(αvv*+αuv)=12αv*(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2)+12αv(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2),则12sinτ(αuu*-αvv*)=-12(αu*+αv)(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2)-12(αv*+αu)(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2).(8)将方程(4),(5)代入方程(8),得到α*uu-α*vv=sinhα*.定理得证.令{e=coshα*2e1+sinhα*2e2,e⊥=sinhα*2e1+coshα*2e2,e3*=sinτe+cosτe3,(9)其中α*是方程(4),(5)的一个解.设曲面S*定义为r*=r+sinτe⊥.(10)定理3e*3是曲面S*的法向量.证明由方程(9),我们有dr*=dr+sinτde⊥,de⊥=12(dα*+2ω12)e+(sinhα*2ω13+coshα*2ω23)e3,则dr*⋅e3*=sinτcoshα2coshα*2du+12sin2τ(dα*+2ω12)+cosτsinτ(sinhα2sinhα*2du-coshα2coshα*2dv)-sinτsinhα2sinhα*2dv.由方程(4),(5),我们得到dr*·e*3=0,e*3·e*3=1,因此定理得证.引理4曲面S*的第一和第二基本形式分别为Ι*=-sinhα*2du2+coshα*2dv2,(11)ΙΙ*=sinhα*2coshα*2(du2-dv2).(12)证明由方程(9),(10),我们得到Ι*=dr*⋅dr*={cosh2α2+sinτcoshα2coshα*2(αu*+αv)+14sin2τ(αu*+αv)2+sin2τsinh2α*2sinh2α2}du2+{sinτcoshα2coshα*2(αv*+αu)-sinτsinhα2sinhα*2(αu*+αv)+12sin2τ(αu*+αv)(αv*+αu)-2sin2τsinhα*2coshα*2sinhα2coshα2}dudv+{sin2τcosh2α2cosh2α*2+sin2τ(αv*2+αu2)2-2sinτsinhα*2sinhα2(αv*2+αu2)-sinh2α2}dv2,利用方程(4),(5)以及直接计算,我们得到Ι*=-sinh2α*2du2+cosh2α*2dv2.同理可得ΙΙ*=sinhα*2coshα*2(d