近似弧长参数化曲线的数据点选择

近似弧长参数化曲线的数据点选择

1比较理想的参数化检验由于曲线圆弧参数的参数转换有助于快速、准确的时空变换，因此在实际工作中提出了参数曲线圆弧参数的参数。然而，在插值和调整中常用的参数多项式曲线通常无法精确地扩展圆弧参数。因此，人们研究了三种类似于圆弧参数的参数。这些方法有各自的长，但有些方法是相同的。相对较高的参数弧参数的精度取决于数据点的密度和相互位置。例如，在文献中，mcconalgoue的“内部测量”方法是在参数间隔内形成单位截面的。文献中具体的计算表明，文献的精度是不准确的。因为中间测量参数的实际近似精度与数据点的密度和相互位置有关。在指定数据点后，为了获得足够的精度，需要合理地扩展所需的数据点是没有明确的依据的。显然，即使精度不能达到规定，也失去了接近圆弧参数的含义。盲目增加数据点是不方便的。在这项工作中，参数三的曲线提供了“双点单元化”的近似弧参数公式。当源角两端的绝对角发生变化时，在每条曲线上形成四个单位角，这比中点角的平均值更快。在这项工作中，基于双点单元化公式，我们知道如何选择上述附加数据点。在对称点的组合后，逐渐增加的数据点有效地提高了弧长参数的精度，并且三个插值对应于原型点的组。2单位切传密度法设平面三次曲线r(t)(t∈[0,L])插值P0=r(0),P1=r(L),在弦矢P1-P0两端匹配单位切矢P′0和P′1.r(t)=f0(s)P0+f1(s)P1+g0(s)LP′0+g1(s)LP′1(s=tL∈);f0(s)=1-3s2+2s3;f1(s)=3s2-2s3;g0(s)=s-2s2+s3;g1(s)=-s2+s3.McConalogue给出了中点单位化的近似弧长参数化公式其中,αi=∠(P′i,P1-P0)(i=0,1)是对应弦矢P1-P0的一对有向弦切角.由式(1)确定的L,使得[r′(L2)]2=1,即r(t)在[0,L]的中点有单位切矢.因为t=0和t=L处总有单位矢P′0和P′1,所以,按式(1)参数化时,r(t)在[0,L]上共有3个单位切矢.注意到[r′(t)]2-1是四次多项式,所以,关于L的任何选择都不可能使r(t)在[0,L]上单位切矢的个数大于4,这是三次曲线无法精确弧长参数化的根本原因.但当弦切角|α0|=|α1|时,通过选择L得到4个单位切矢是可能的.事实上,从混合函数满足f′0(13)=f′0(23)=-43;f′1(13)=f′1(23)=43;g′0(23)=g′1(13)=-13;g′0(13)=g′1(23)=0.不难得到[r′(13L)]2=169(Ρ1-Ρ0L)2-89(Ρ1-Ρ0)Ρ′1L+19;[r′(23L)]2=169(Ρ1-Ρ0L)2-89(Ρ1-Ρ0)Ρ′0L+19.由L的方程[r′(13L)]2=1和[r′(23L)]2=1,分别可解得唯一的正根Li=12(√8+cos2ai-cosai)|Ρ1-Ρ0|(i=1,0)于是,若取L=L0或L=L1(2)则|α0|=|α1|时,L0=L1=L,r(t)在t=13L和t=23L同时有单位切矢,从而r(t)在[0,L]上共有4个单位切矢.我们称式(2)为双点单位化的近似弧长参数化公式.通常,近似弧长参数化精度由切矢模与单位量的最大偏差给出ΤVd=maxt{||r′(t)|-1|}.为衡量近似弧长参数化公式的精度优劣,一种“标准化”方法是比较相应的参数曲线对于单位圆的逼近程度.然而,当数据Pi和切矢P′i(i=0,1)取自单位圆时,总有|α0|=|α1|(实际上,α0=-α1).因此,双点单位化式(2)导致单位切矢的个数比中点式(1)多1个.为了实际比较式(2)与式(1)的精度,对三次曲线逼近单位圆,我们做了相应的数值计算,如表1所示.当圆周等份数n较小(n=4,6),即弦切角约大于等于30°时,式(2)的近似弧长参数化精度TVd约为式(1)的3—4倍,说明在相邻型值点之间折转程度较大时,式(2)关于精度的改善是明显的.随着n的增加,二者的精度逐渐接近,但对所有的n,式(2)总是优于式(1).若α0,α1为相反数,即α0=-α1≠0,且P0,P1处切线交于点P.设λ,μ满足LΡ′0=λ(Ρ-Ρ0);LΡ′1=μ(Ρ1-Ρ).则λ=μ=2Lcosα0/|P1-P0|,将式(2)代入,可得λ=μ=(√8+cos2α0-cosα0)cosα0≤2.因此,按式(2)参数化时,根据参数三次曲线拐点分布理论,从P0到P1,曲线r(t)无拐点.3新的弦切角pj的等值在构造近似弧长参数化曲线时,如果近似弧长参数化精度不能被接受,则必须增加某些额外的数值点.双点单位化公式形成4个单位切矢的前提是|α0|=|α1|,因此,式(2)为如何添加这些所需的数据点提供了理论依据,避免了增加数据点的盲目性,将三次组合曲线的段数控制在尽可能少的数目.给定平面型值点组Pj(j=0,1,…,n-1),Pj处切矢取Pj=(Pj+1-Pj-1)/|Pj+1-Pj-1|(j=1,2,…,n-2).P0,Pn-1依型值变化趋势取单位矢.弦矢Pj+1-Pj两端的弦切角αj0,αj1∈(-π,π).初始,若|αj0|≠|αj1|,按式(1)参数化;否则,按式(2)参数化,构造C1连续的三次组合插值曲线.对于任何当前相邻的两个数据点Pj和Pj+1,如果相应曲线段的精度TVd不能接受,根据式(2)的要求,添加新的数据点,使得新的弦矢两端的一对弦切角的绝对值相等.为此,按当前弦切角αj0和αj1的值,分3种情况讨论.(1)αj0αj1<0的情形.从Pj到Pj+1应无拐点.设过点Pj,Pj+1且分别平分角αj0,αj1的二直线交于Qj,Qj为新的数据点(如图1所示).因P′j旋转αj02后与弦矢Qj-Pj同向,P′j+1旋转αj12后与Pj+1-Qj同向,不难求得Qj=Ρj+λjRj,其中,λj=det[Ρj+1-Ρj,Rj+1]det[Rj,Rj+1];Rj+1=[cosaji2-sinaji2sinaji2cosaji2]Ρ′j+1(i=0,1).(2)当αj0,αj1恰有一个为0时(如图2所示),Pj到Pj+1曲线段应有一个拐点.设ajq≠0(0≤q≤1.图2中,q=0),Qj为过Pj+q且平分角ajq的直线与PjPj-1垂直平分线的交点,即Qj=Ρj+q+λjRq,其中,λj=(-1)q|Ρj+1-Ρj|2cos(ajq/2);Rq=[cosajq2-sinajq2sinajq2cosajq2]Ρ′j+q.(3)αj0αj1>0的情形(如图3所示).相应曲线段应有一个拐点.为此,增添两点Qj和˜Qj,其中˜Qj为PjPj+1的中点.设|ajq|=min{|aj0|,|aj1|},(0≤q≤1.在图3中,q=1).令˜Q′j=[cos2ajq-sin2ajqsin2ajqcos2ajq]Ρ′j+q.以˜Qj与Pj+r(r≠q,0≤r≤1)为端点的弦矢两端的一对弦切角为-ajq和air.因此,依情形(1)确定Qj.至于αj0=αj1=0的情形,三次曲线r(t)退化为直线段PjPj+1,此时,由式(2)给出L=|P1-P0|,因而弧长参数化总是精确的,TVd=0.在上述3种情形中,点Qj处的切矢总取为与Pj+1-Pj同向的单位矢,即Q′j=(Ρj+1-Ρj)/|Ρj+1-Ρj|.于是,检查每种情形可知,在Pj,Pj+1,Qj和Q˜j4个点中,对于任何相邻两点,其弦矢两端的弦切角或为相反数,或相等.相等的情况出现在情形(2)中(如图2中弦矢Pj+1-Qj);若为相反数,根据第1节最后的讨论,相应曲线段无拐点;若相等,即两切矢同方向,根据三次曲线拐点分布,则存在一个所需的拐点.情形(3)所需拐点显然是Q˜j.以上分析表明,添加数据点后,按式(2)参数化时,对于原型值点组,三次插值是保形的.4弧长参数化精度我们设计了17个型值描述鞋样轮廓,它们位于图4中空圆圈的中心,实圆圈中心为增加的数据点.图4是逐步增加14个点后的图形,此时,TVd=0.0048,如表2所示.切矢模最大偏差TVd可用来给出近似弧长参数的相对误差界.对于任何2个参数t1,t2,t1<t2,从点r(t1)到r(t2)的弧长s(t1,t2)=∫t1t2|r′(t)|dt=|r′(t˜)|(t1-t2),t˜∈[t1,t2].令Re(t1,t2)=s(t1,t2)-(t2-t1)s(t1,t2)=|r′(t˜)|-1|r′(t˜)|,R