学习数学从认识到实践

学习数学从认识到实践

2000年3月，教育部发布了《九年义务教育全日制小学数学课程》（以下简称《方案》，修订前的方案称为《原始方案》）。大纲体现了国内外初中数学课程改革的某些成果,提出要重视培养学生的创新意识和实践能力;对教学内容和教学要求进行了调整,以合理减轻学生的负担;此外还要求改进教学测试和评估,使评估过程和结果更加有利于学生的发展。在新一轮数学课程标准颁布以前,这份大纲为新世纪初的初中数学教育提供了较之原大纲更符合时代要求、更切合实际的依据。现将学习大纲的主要体会概述如下。一、调整和可行性(一)课程的研究与改革20世纪80年代以来,国际上关于数学教育的理念不断更新,对课程的研究和改革已成为共同关注的焦点之一。综合国外和我国港台地区的有关研究,关于初中数学课程的发展有如下的共同倾向。1.数学的学习机会这一口号是1984年在第五届国际数学教育大会上形成的。它的内涵是:数学是为大众的,人人都有学习全程的学校数学的机会;学习数学是为了满足现实生活的需要,因此应该学习对于现实生活有用的数学;不同的人可以学习不同的数学,但人人都要掌握重要的、共同的核心数学。2.数学模型解决实际问题的能力计算器、计算机为数学应用提供了广泛的可能性。注意培养学生抽象数学模型解决实际问题的能力,注意通过专题性与综合性的探究过程培养学生跨学科的应用能力和创新意识。把数学应用看成必须使学生积极参与的活动的重要组成部分,注重过程,而不仅仅是结果。3.数学学习的基本理念根据近年发展起来的“建构主义学习观”,应把数学学习看成已有知识和经验为基础的主动的建构过程,从而提出了“学数学,做数学,用数学”的基本理念,并用来指导课程和教学改革。4.关于系列论证代数中的纸笔运算、繁琐技巧和特殊性质,几何中的系列论证都在削弱;反之,符号意识、符号操作、一般算法思想、运算通性,数据处理,图形讨论,多方位因果分析、开放性问题等,正在逐步加强。5.实验方法在数学教育中的重要作用第八届国际数学教育大会提出了“实验数学”这一重要概念,使得实验方法在数学教育中愈来愈受到重视。与此相应,美籍学者波利亚建立的合情推理模式,以及观察、猜想、实验、类比、归纳、化归等方法在数学发现和创新中所起的作用,逐渐形成共识。6.知识、能力、情感评估的目的是确定学生习得了什么(包括知识、能力、情感)。评估应由师生共同进行,范围应该是学生学习的全过程,并从多种方位,利用多种形式予以估量或认定。(二)第四,“位置关系”的解读和改善课程内容的方法,应注意做到“1.1998年6月,笔者看到北京等26个省、自治区、直辖市关于初中数学课程内容的调整意见,以及对数学教科书中部分教学内容和要求的处理办法。这些调整意见集中于“减轻学生负担”这一宗旨,其中对于“利用切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理进行证明”的呼声较高,并普遍感到初中一年级几何中“空间直线、平面的位置关系”的内容和要求不明确,教学中不易把握,所以或者应该强化、明朗化,或者可以移后。2.根据对国内各地1995年以来的中考数学试卷的综合分析,中考已逐渐重视对数学思想方法、运算通性通法、探索能力和解决实际问题能力的考查;繁杂的计算和证明已有所削弱,有些试卷上给出了一些难记的公式;不少试卷中设计了思维多向、答案不惟一的开放性问题。考试的改革对课程和教学的改革起到了一定的促进作用。3.近年来,一些省、直辖市的教研部门编写了供本地区实(试)验用的初中数学新教材。这些教材反映了对初中数学课程的改革要求和某些措施。例如,让学生通过课内外的探究性活动,联系周围的日常生活、生产(包括服务性行业)和其他学科中的内容,发现并提出数学问题,把它们抽象成数学模型,然后运用数学知识予以解决。在解决问题的过程中,增长学生对数学价值的认识和学好数学的感情,培养他们的创新精神、合作精神和实践能力,更加扎实地提高他们的数学素质。这些新教材在加强上述探究性活动的同时,由于考虑到合理利用课时,也对传统的代数、几何内容作了某些删节。(三)第三,要进一步明确理论基础、教学内容、现书的在内容方面的规定,主要有以下几个1.尽管原大纲反复强调“在理论要求和习题难度方面,应当适当”,在考查时,“题目要体现教学重点,难易适当;不出偏题、怪题和助长死记硬背的题目”,但由于考试指挥棒的影响,有些教师在教学或总复习中,仍让学生操练一些内容过时且难度过大的题目。例如:(1)在与二次根式有关的题目中,根号底下又套着根号(出现双重甚至三重根号);(2)在解决几何作图题后,要求学生进行证明和讨论;(3)要求学生证明一条线段的立方等于另一条线段的平方与第三条线段的乘积,或证明与此等价的比例式;(4)要求学生寻求二次函数解析式的最大值或最小值,以及把这类问题与三角形的面积或圆联系在一起;(5)设计大量综合性的“堆砌题”,并以此来扩大训练知识、技能的覆盖面。以上做法,使学生不得不沉湎于浩瀚的题海之中,大部分学生不能自拔,致使负担过重。2.应该看到,与原大纲对应的教科书,是在10年前编写的,其中有些现象与现今的数学教育改革理念已不相适应,需要进行修订。另一方面,我们应该有这样的认识:原大纲及其相应教材中,有些内容及其训练不是后续学习所必需的,或者有些训练上的要求对于后续学习是过高的。例如:(1)利用切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理进行证明,与学习高中数学和其他学科关系很少;(2)相似多边形的概念和性质,比较明显的应用是在立体几何的定理“用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得多边形与底面多边形相似,其相似比等于棱锥的高的比”的证明之中,两者学习时间的间隔太长,而且在没有前者的情况下,也可以把后者转化成通过三角形相似来证明;(3)在“整式的乘除”中讲了高次多项式的相乘,就要在“因式分解”中配置某些特殊的高次多项式的因式分解,然后就必须在“分式”中配置相应的约分、通分题目,其实前面的要求一降低,后面的训练也就可以减轻了;(4)像“十字相乘法”这样的内容,应用面很窄,能应用的情况大都是人为设计的,实在算不得一种通法;(5)在科学计算器已经在较大范围内普及,估算、近似计算的地位和作用愈来愈重要的情况下,仍然把时间过多地放在恒等变形与准确计算上。3.在节省课时、提高课堂效率的原则下,为了加强对学生创新意识和实践能力的培养,我们只有对原大纲的教学内容和教学要求作全面的审视,删去其中已经不属于基础知识和基本技能的部分,对某些内容降低其教学要求,才能让教师腾出时间和精力投入更重要的方面,以便扎实地提高数学教育教学质量。二、注重创新意识的培养(一)创新意识1.发现、创新和评估把一件客观事物或一项客观规律寻找并揭示出来,称为“发现”,被发现的事物或规律是客观存在的。在现代社会中,“发现”应以“提出”作为它的延伸;如果没有“提出”作为“发现”的后继步骤,那么此项“发现”就不会被赋予社会价值和历史价值。“发现”有正误之分,错误的“发现”不会被社会承认。“发明”是创造全新的事物或方法的一个过程。某种新的事物或方法,不被某人“发明”出来,就会被以后的别人“发明”出来;对新的事物或方法略作改进,不再视为“发明”;没有重大价值的创造,一般不能被人类社会视为“发明”。所以历史上知名的大发明家,其人数是不多的。“创新”则是几乎人人都有、人人都能进行的创造过程,一个人利用他人原有的知识和技能,创造出新的事物或方法,就可以算作“创新”。在这里,主体没有必要与他人去比较“创新”的时间先后、结果优劣、能力强弱、水平高低。“以学生发展为本”这一提法,从一定意义上来说,就是以发展学生的创新意识和实践能力为本。2.数学的观点具有高度“初中数学中要培养的创新意识主要是指:对自然界和社会中的现象具有好奇心,不断追求新知、独立思考,会从数学的角度发现和提出问题,并用数学方法加以探索、研究和解决。”(二)如何注重创新意识的培养1.提高认识把培养学生的数学创新意识当做初中数学教学的一个重要目的和基本原则,即当做初中数学教学目的和教学原则的重要组成部分。2.数学学习的过程在教学中,要激发学生学习数学的好奇心和求知欲,通过独立思考,不断追求新知,发现、提出、分析并创造性地解决问题,使数学学习成为再发现、再创造的过程。3.提供信息在必学内容中增加实习作业和探究性活动,为培养学生的创新意识提供机会,并在教学中认真实施。4.数学问题研究通过对学生创新意识的培养,积极引导学生将所学知识应用于实际,从数学角度对某些日常生活、生产和其他学科中出现的问题进行研究,或者对某些数学问题进行深入探讨,并在其中充分体现学生的自主性和合作精神,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题,以及用数学语言进行交流的能力。三、改进的教育评估和评估(一)学习效果评价大纲指出:“教学测试和评估必须以教学目标为依据,其目的不仅是评定学生的学业成绩,促进教师改进教学,更重要的是为了激励学生努力学习。”这就把测试、评估的鉴定功能和激励功能都明确地提了出来。(二)方法、方法和改革的要点1.学习情况的掌握要注意通过课堂提问、观察、谈话、学生作业和平时测验(也可称为考查),及时了解学生的学习状况,吸收教学的反馈信息。当然,年末考试和毕业考试,也都是教学测试和评估的重要手段和方法。考核则是考试、考查的统称。2.数学能力课程计划要与教学目标需求的关系考试、考查既要测量学生理解和掌握基础知识、基本技能的情况,又要测量他们的数学基本能力和综合运用数学的能力,并评估他们的创新意识和实践能力发展情况。要按照课程计划和大纲的要求,控制考试、考查的次数,设计考题要依据教学内容和教学目标。要及时做好试卷分析和教学评估工作,针对发现的问题改进教学。对于学生学习中的缺陷,要积极采取补救措施。(三)流程和结果1.这是一个强化过程教学测试和评估的过程,是师生交流的过程,应有利于学生树立学好数学的信心,充分发挥他们的才能,以获得更好的学习效果。2.结果要改进测试和评估结果的报告形式,选择能描述学生学习效果的最佳方法,鼓励他们的点滴进步,促进他们数学素养的不断提高。四、创新精神和实践能力减轻学生负担的真正目的是全面推进素质教育,努力培养学生的创新精神和实践能力,促进他们德、智、体、美等各方面的全面发展,使他们真正成为社会主义事业的建设者和接班人。现将原大纲第四部分“教学内容和教学要求”修订的主要方面归纳如下。(一)减少负荷1.科学的计算工具包括:(1)查表求一个数的平方、立方、平方根、立方根,由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角等,将科学计算器作为首选的计算工具(尚无条件的学校可以使用算表解决上述问题);(2)会将分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化;(3)掌握可化为一元二次方程且含有三个分式的分式方程的解法;(4)相似多边形及其性质;(5)会利用切线长定理、弦切角定理、相交弦定理和切割线定理进行有关的证明。2.学习可以从早到晚学习包括:(1)立方和公式与立方差公式;(2)无理方程及其解法。3.排除特定技术的内容包括:(1)将二次三项式分解因式的十字相乘法;(2)用近似方法作正五边形。4.相乘时运用乘子法包括:(1)超过6个数的有理数的混合运算;(2)含有非一次式的多项式的乘法;(3)将整式相乘时运用乘法公式超过两次,以及分解因式时多项式超过四项;(4)二次根式运算时,含有双重根号;(5)灵活运用一元二次方程的四种解法求方程的根;(6)记忆确定抛物线的顶点和对称轴的公式及其推导;(7)了解定义这一概念;(8)了解推理过程中要步步有据;(9)作图题在作法后续写证明。5.标记格式。从根类型√a2=|a|={a(a≥0),-a(a＜0)开始(相当于从初中三年级上学期提前到初中二年级下学期的后半段)。(二)加强实践1.增加练习任务在学完“轴对称”和“中心对称”后,增加一次实习作业,使学生了解对称在图形设计中的作用以及这类图形的美术价值。2.解决问题过程要求学生能够发现、提出日常生活或生产中可以利用一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程来解决的实际问题,并正确地用语言表述问题及其解决过程。(三)提高技能1.分组合作型的数量关系探究性活动主要是指对某些数学问题的深入探讨,或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行探究。探究性活动应以学生所学的数学知识为基础,并且密切结合生活、生产实际和其他学科的知识。在组织探究时,应充分地体现学生的自主活动和合作活动。课题的选择应该包含一定的容量和开放度,可以由师生自拟,并提倡教师和学生自己提出问题。大纲中提供了三个例子:(1)在初中一年级的几何内容中,插入“长方体和它的表面”,要求学生“通过对长方体和它的表面的探究,制作长方体纸盒,并在剪开纸片前先进行美术设计”;(2)在初中二年级的代数内容中,插入“a=bc型的数量关系问题”,要求“引导学生从日常生活、生产或其他学科中发现数量关系为a=bc型的数学问题,并加以探究,了解这一类型的数量关系在实际中的广泛应用”;(3)在初中三年级的几何内容中,插入“镶嵌”,要求学生“通过对镶嵌平面图形的研究,了解正多边形在镶嵌中所起的作用”,并“运用多种平面图形进行镶嵌设计,拓宽学生的数学和美术知识”。这三个例子确