大学物理：第四章 流体的运动

第四章流体的运动内容提要流体的主要物理性质连续性方程、伯努利方程及其应用粘性流体的两种流动状态、哈根-泊肃叶定律斯托克斯定律静止流体在任何微小的切向力作用下都要发生连续不断的变形，即流体的一部分相对另一部分运动，这种变形称为流动。

流动性连续介质模型设想流体是由连续分布的流体质点组成的的连续介质，流体质点具有宏观充分小，微观充分大的特点。根据流体的连续介质模型，任一时刻流动空间的每一点都被相应的流体质点占据，把占据该点的流体质点的物理性质定义为该空间点性质，这样，任何时刻、在任何空间点都有确定的物理量。物理量表示成空间坐标和时间的连续函数。

第一节流体的主要物理性质一、惯性惯性是物体保持原有运动状态的性质，表征某一流体的惯性大小可用该流体的密度。

单位：kg/m3均质流体：液体的密度随压强和温度的变化很小，气体的密度随压强和温度而变化。

可压缩性(compressibility)：在一定的温度下，实际流体的体积随压强升高而缩小的性质称为流体的可压缩性。实验指出，液体的可压缩性比较小，气体的可压缩性比液体大得多。黏性(viscosity)：黏性是流体抵抗剪切变形的一种属性。它表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在着沿切向的黏性阻力（即内摩擦力）。二、压缩性流体受到压力作用后体积或密度发生变化的特性称为压缩性。通常采用体积压缩率表示流体的压缩性。单位：m2/N体积弹性模量

：单位：N

/m2或Pa

不可压缩流体，即在压力作用下不改变其体积的流体。当流体的压缩性对所研究的流动影响不大，可以忽略不计时，可视为不可压缩流体。液体的体积弹性模量都很大，通常把液体看作不可压缩流体；气体的体积弹性模量都较小，通常把气体看作可压缩流体。三、粘性粘性是运动流体内部所具有的抵抗剪切变形的特性。它表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在着沿切向的粘性阻力（即内摩擦力）。由于内摩擦力，平板和壁面间各流层速度沿流层法线方向变化，呈速度梯度分布。yUFxhu+duudyy牛顿粘性公式

为动力黏度，单位。黏度的大小取决于流体本身的性质。液体的黏度随温度的升高而减小，气体黏度随温度的升高而增大。yUFxhu+duud

dyyu+duududtdy理想流体(idealfluid)：绝对不可压缩的、完全没有粘性的流体。实际流体都是具有粘性的和可压缩性的。粘性较小的液体和在流动过程中几乎没有被压缩的气体都可以视为理想流体。在一些实际问题中，可压缩性和粘性只是影响运动的次要因素，只有流动性才是决定运动的主要因素，因此往往可以采用理想流体模型。例1

如图所示为一旋转圆筒黏度计，外筒固定，内筒由同步电机带动旋转，内外筒间充入实验液体。已知内筒半径r1=1.93cm，外筒半径r2=2cm，内筒高h=7cm。实验测得内筒转速n=10r/min，转轴上扭矩M=0.0045N·m。试求该实验液体的黏度。解r1r2h

u内筒壁的粘滞切应力角速度扭矩黏度S四、作用在流体上的力1表面力所取定的流体之外的流体或物体通过直接接触，施加在接触表面上的力，表面力的大小与封闭边界面的面积及表面应力分布有关。

SA

Fs

T

P法向应力切向应力应力的单位是帕斯卡，简称帕，以符号Pa表示，1Pa=1N/m2。pA习惯上称为A点的压强V2质量力质量力是流体所处的外力场作用在取定流体的每个质点上的非接触力，质量力的大小与外力场的强度及流体的质量分布有关。

VB

F单位质量力单位质量力的单位为m/s2。在直角坐标系内，习惯以X，Y，Z来表示单位质量力的分量。若作用在流体上的质量力只有重力，则单位质量力第二节理想流体的定常流动一、描述流体运动的两种方法拉格朗日法拉格朗日法着眼于流体质点，研究各个流体质点的运动及物理量随时间变化，再综合所有流体质点的运动后便可以得到整个流体的运动规律。欧拉法欧拉法着眼于空间点，研究流动空间点上各种物理量的变化。

▽二、流体运动的基本概念1定常流动空间的每一点都有不随时间而改变的物理量，即速度、压强和密度等物理量仅是空间点坐标的函数。

lMM

如果水箱较小以致液面随时间增长而下降，各点的速度将随时间而变，故此管路为非定常均匀流，如果水箱中的水位保持恒定，则整个管流为定常均匀流。

2迹线、流线和流管迹线：流体质点在空间运动的轨迹。

流线：空间曲线，曲线上任何一点的切线方向都与流体通过该点时的速度方向一致。

（1）流线不相交，也不能是折线，而是光滑曲线或直线。（2）定常流动，流线的形状和位置都不随时间而改变。（3）定常流动时，流线和迹线重合。流管：如果在运动的流体中标出一个横截面，那么经过横截面周界的流线就组成一个管状体，这个管状体就称为流管。v1S1v2S2流体作定常流动时，空间每一点的流速都与该点的流线相切，所以，流管中的流体只能在流管中流动而不能流出管外，流管外的流体也不能流进流管内。三、连续性方程单位时间内通过某一过流断面的流体量称为该断面的流量。若通过的量以体积计量则称体积流量

，用QV表示。若通过的量以质量计量，则称为质量流量，记为Qm。

流量udSS体积流量

单位：m3/s质量流量

单位：kg/svu

(r)平均流速连续性方程（质量流量）不可压缩的流体作定常流动时，流管上两个截面处的流量相等。流管有分支时：连续性方程

设理想流体在重力场中作定常流动，t

时刻之间的流体，经过时间，移动到。四、伯努利方程及其应用1伯努利方程在时间内，、处流体分别移动、。伯努利方程如，具体对水平流管有：理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，或者同一根流线的不同位置处，单位体积内流体的动能、势能与该处的压强之和是常量。2伯努利方程的应用1水平管2空吸作用(suction)，水流抽水机3汾丘里流量计(Venturimeter)4流速计(tachometer)5虹吸管(siphon)(2)空吸作用水空气水和空气水流抽水机12水平管2伯努利方程的应用(1)水平管h1h2h12S1S2文丘里流量计(3)流量计hh1h2液体h气体气体密度ρ液体密度ρ'皮托管测量液体和气体的流速(4)流速计ADBC流体流速压强与高度的关系粗细均匀的虹吸管中，高处液体的压强小于低处的。例如水：(5)虹吸管12例1

已知：水平管中液体密度1处：2处：求：2处的流速和压强。由连续性方程可得：计算可得:水平管，应用伯努利方程可求得2处压强：解例2

如图所示，水库通过宽度B=0.7m，高度D=1.5的闸门泄水，闸门中心的水下深度H=2.0m。（1）试计算通过大孔口的流量，（2）与按小孔口出流的流量作比较。

解（1）选水库自由表面为1-1断面，并以该处为基准面，大孔口水下深度为h处为2-2断面。HDBhdh1-1断面

P1=Pa,v1≈0，h1=02-2断面

P2=Pa,流速v2，h2=-h

应用伯努利方程可得大孔口总的流量H（2）闸门处中央的流速按小孔出流处理，可看作闸门处的平均流速通过闸门的的流量相对误差当H>D时，闸门通常可以看作“小孔口”。

第三节粘性流体的运动一、粘性流体的两种流动状态1两种流态粘性流体在管中分层流动，各流层之间仅作相对滑动而不混合，叫层流。当层流被破坏，各个流层混淆，甚至可能出现涡漩，叫湍流。AA′BB′CvC′PDEQ(1)(2)(3)实验结果表明：当流速增大到某一临界值后，层流转变为湍流；当流速降低到某一临界值υc后，湍流转变为层流。2雷诺数通常用雷诺数(Reynoldsnumber)来确定流体的流动形态是层流还是湍流。流层和湍流的转变速度与流体的密度ρ、流体的黏度

和过流断面的形状(例如管径d)等因素有关。层流湍流过渡流对于圆管流来说，实验得出：一般把下临界雷诺数作为层流、湍流的判别标准。例3

水在内径d=100mm的管中流动，流动速度u=0.5m/s，水的运动黏度（

=

/

）

=1×10-6m2/s，试问水在管中呈何种流动状态？如果管中的流体变为油，流动速度不变，但运动黏度

=31×10-6m2/s，试问油在管中又呈何种流动状态？

解对于水：湍流对于油：层流二、粘性流体的运动规律粘性流体在流动过程中，对所选流管内的流体存在着粘滞阻力，因此对流管内的流体作负功w，伯努利方程变为：上式中w是指单位体积的不可压缩的粘性流体，从一处运动到另一处时，克服粘性力所做的功或损失的能量！三、能量损失有两种能量损失：沿程能量损失、局部能量损失沿程能量损失沿程能量损失均匀分布在整个流段上，与流段的长度成比例。局部能量损失在边壁沿程急剧变化（边壁形状、尺寸、过流方向等有变化），流速分布发生变化的局部区段上，集中产生的流动能量损失称为局部能量损失。如断面的突然扩大或突然缩小、喷管、异径管、弯管、三通、阀门等各种管件处的能量损失，都是局部能量损失。在不可压缩的粘性流体作定常流动时的伯努利方程中，w应该等于沿流程上各段的沿程能量损失与所有局部能量损失之和。12h1例4水通过直径为20.0cm的管子从塔底部流出，塔内水位高出出水口25.0m，并维持其水位不变。已知管路中的沿程能量损失和局部能量损失之和为24.5mH2O。求每小时由管口排出的水量。每小时流量：粘性流体的定常流动。对图中1、2两处有：h2=0,v1<<v2,p1=p2=p解四、圆管中的层流运动1流动特征Rv（r）

drr不可压缩的牛顿粘性流体在均匀水平管中作定常流动时，如果雷诺数不大，流动的形态是层流，各流层为从圆筒轴线开始，半径逐渐增大的“薄皮”圆筒形。流速从轴线处向外逐渐减小，在管壁处为零。2流速分布流体元两端压力差：流体元侧面受粘性力：定常流动时：牛顿流体的速度分布v（r）3流量流阻：哈根-泊肃叶定律表明：牛顿粘性流体在均匀水平管中流动时，流量与管两端的压强差成正比，与其流阻成反比。dr哈