专题10命题与证明原卷版

专题10命题与证明★知识点1：命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。（1）命题必须是一个完整的句子。（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。命题的结构每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果，那么”的形式。有的命题表面上看不具有“如果，那么”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。典例分析【例1】（2023春·福建南平·七年级统考期中）下列语句是命题的是（

）A．画线段 B．内错角相等吗？C．用量角器画 D．两直线平行，同位角相等【例2】（2022秋·甘肃白银·八年级统考期末）下列语句是命题的是（

）A．你喜欢数学吗？B．小明是男生 C．大庙香水梨 D．加强体育锻炼【即学即练】1．（2022秋·湖南怀化·八年级校联考阶段练习）下列语句中，命题的个数为（

）①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等；A．2个； B．3个； C．4个； D．5个；2．（2021秋·广西梧州·八年级校考阶段练习）下列语句是命题的是（

）①两点之间，线段最短；②如果，那么吗？③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；④过直线外一点作已知直线的垂线；A．①② B．③④ C．①③ D．②④★知识点2：真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题.真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。典例分析【例1】（2023春·山东德州·七年级统考期末）下列命题中是真命题的是（

）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行C．同旁内角互补D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【例2】（2022秋·四川遂宁·八年级射洪中学校考期中）下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（

）A． B． C． D．即学即练1（2023·全国·七年级假期作业）对于命题“若，则，”，下列能说明该命题是假命题的是（）A．， B．， C．， D．，2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）下列命题的逆命题是真命题的有（

）个①如果，则；②直角都相等；③两直线平行，同位角相等；④若，则．A．1 B．2 C．3 D．4★知识点3：互逆命题的定义一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。(1)直角三角形的两锐角互余；（2）全等三角形的对应角相等。典例分析【例1】（2023春·江苏·七年级专题练习）下列正确叙述的个数是（）①每个命题都有逆命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理⑤每个定理一定有逆命题⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题．A．1 B．2 C．3 D．4【例2】．（2023春·天津河东·八年级期中）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my即学即练1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角.其中原命题与其逆命题都是真命题的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个2．（2020春·河南信阳·八年级淮滨高中校考阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是(

)A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90°★知识点4证明1,从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。2,证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）证明的四个注意

(1)注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题：

②公理可以作为判定其他命题真假的根据.

(2)注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题.这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.

(3)注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法.只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的.但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.

(4)注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.①论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由.典例分析例1】．（2022秋·八年级课时练习）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（

）A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短【例2】（2019·八年级课时练习）下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个即学即练1．（2021秋·全国·八年级专题练习）下列叙述错误的是(

)­A．所有的命题都有条件和结论B．所有的命题都是定理­C．所有的定理都是命题 D．所有的公理都是真命题2.（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期末）下列说法中，正确的是（

）A．每一个命题都有逆命题B．假命题的逆命题一定是假命题C．每一个定理都有逆定理D．假命题没有逆命题★知识点5反证法反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反证法。反证法的基本步骤：1.假设命题的结论不成立2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。3.有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。结论的反面不止一种情形的反证法：应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论，再全面地否定结论，如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确。典例分析【例1】．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（

）A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法【例2】（2023春·山东淄博·八年级校考阶段练习）用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°即学即练1．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立．∴③假设在中，④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②2．（2021秋·河北邯郸·八年级统考期末）用反正法证明命题“如图，如果，，那么”时，证明的第一个步骤是（

）A．假设不平行于 B．假设不平行于C．假设 D．假设不平行于1．（2020秋·贵州铜仁·七年级统考阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）下列命题中是真命题的是（）A．如果，那么 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等C．同位角相等 D．如果，那么3．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）说明“若a是实数，则”是假命题，可以举的反例是（

）A． B． C． D．4．（2023春·七年级单元测试）如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）下列命题都是正确的命题，其中逆命题也正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2023春·全国·七年级专题练习）下列命题的逆命题错误的是（

）.A．对顶角相等B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．在一个三角形中，等边对等角D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等7．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（

）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等8．（2023春·山东淄博·八年级校考阶段练习）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（

）A．， B．，C．， D．，9．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（

）A．四边形中有一个内角小于90° B．四边形中每一个内角都小于90°C．四边形中有一个内角大于90° D．四边形中每一个内角都大于90°10．（2021秋·河南新乡·八年级统考期末）下列语句正确的有（

）个．①“对顶角相等”的逆命题是真命题．②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．③立方根等于它本身的数是非负数．④用反证法证明：如果在中，，那么、中至少有一个角不大于45°时，应假设，．⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是和，则周长是或．A．4 B．3 C．2 D．111．（2018秋·湖北鄂州·七年级校考期末）在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆中的某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是A．， B．， C．， D．，12．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）甲、乙、丙、丁四个篮球队进行小组单循环比赛（每两队都要比赛一场），结果甲队胜了乙队，并且甲、丙、丁胜的场数相同，则这三队各胜的场数是（

）A．0 B．1 C．2 D．313．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛，该竞赛共有十道判断题，三位同学的答题情况如下：题号选手12345678910甲√√×√×√××√×乙√√××√×√√××丙×√√×√√√×√√考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，1～10题的正确答案依次是（

）A．√、√、×、×、√、√、√、×、√、× B．√、√、×、×、√、×、√、×、√、×C．√、√、×、×、√、√、√、√、√、× D．√、×、×、×、√、√、√、√、√、×14．（2022春·河北保定·七年级统考阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成，该命题是（填“真命题”或“假命题”）．15．（2023春·山东济宁·七年级统考期中）命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反