高中数学 解三角形中的基本问题 练习题（含答案）

专题23解三角形中的基本问题【热点聚焦与扩展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：变式：（1）①此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角当时，，即为锐角；当（勾股定理）时，，即为直角；当时，，即为钝角学/科-+网②观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出（2）此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）（为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：（5）向量方法：（其中为边所构成的向量，方向任意）证明：，而坐标表示：，则4、三角形内角和（两角可表示另一角）.5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形：①已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角②已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角③两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形①已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：②已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则（知三求一）证明：在中①②为中点①②可得：（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则证明：过作∥交于为的角平分线为等腰三角形而由可得：【经典例题】例1.【2017北京，理15】在△ABC中，=60°，c=a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】例2.【2017天津，理15】在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(1).(2)【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，[来源:学_科_网Z_X_X_K].故.例3.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得；(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为.试题解析：（1）由已知得，所以.在△ABC中，由余弦定理得，即.解得：(舍去)，.例4.【2018年佛山市高三检测（二）】如图,在平面四边形中，.(Ⅰ)若,求的面积；(Ⅱ)若，求.【答案】（1）（2）【解析】分析：(Ⅰ)由余弦定理求出，再用公式求得面积；(Ⅱ)设，在中用正弦定理表示出，然后在中把用表示后，再由正弦定理得的等式，从而可求出.详解：(Ⅱ)设，在中，由正弦定理得，,即，所以.在中，，则，即，即，整理得.联立，解得，即.例5.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.【答案】(1)；(2).【解析】例6.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出.学-科+-网例7.【2018届吉林省梅河口市第五中学高三下学期二模】在中，角的对边分别为，已知，，.（1）求角的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由条件及三角变换可得，从而，解得，于是可得．（2）由正弦定理可得，又，于是得，然后根据余弦定理求得，于是可得结论．详解：（1）∵，∴，∴，∴，在中，由根据余弦定理得，∴.点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．例8．【2018届四川省南充市高三第三次联合诊断】在中，内角的对边分别为，已知.（Ⅰ）若，，求边；（Ⅱ）若，求角.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理代入可得边；（Ⅱ）由正弦定理得，将代入，结合可得的方程，解方程即可得解.详解：（Ⅰ）由及余弦定理，得，所以，所以，解得.（Ⅱ）因为因为，所以.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.例9.【2018届广东省佛山市高三检测（二）】如图，在平面四边形中，.(Ⅰ)若,求；(Ⅱ)若,求.学-科-*网【答案】（1）（2）3【解析】试题分析：（1）根据正弦定理直接可得；（2）设，根据得，由余弦定理可得，在直角三角形中求得，最后解方程得.整理得，解得或（舍去），即例10.【2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺卷（三）】在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，点在线段上，，,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角可得，利用和角公式可得，进而得角；（2）将平方可得，进而利用面积公式求面积即可.详解：（1）因为，由正弦定理得：点睛：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．【精选精练】1．【2018届贵州省凯里市第一中学高三下学期《黄金卷》第三套】已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则该三角形为（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.直角三角形【答案】D【解析】由，即，化简得，所以为直角三角形．学&科&网故选：．2．【2018届山东省潍坊市高三二模】在中，,,分别是角，，的对边，且，则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由已知及正弦定理可得，结合余弦定理可得，由余弦定理解得，结合的范围，即可求得的值.详解：∵∴由正弦定理可得，即.故选C.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.3．【2018届河北省衡水金卷一模】已知的内角的对边分别为，且，，点是的重心，且，则的外接圆的半径为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】分析：由正弦定理条件可简化为，从而得到A值，再结合重心的向量公式可得，进而利用余弦定理得，从而由正弦定理得到的外接圆的半径.详解：由正弦定理，得又∴∴.由，得，∴.故选：A4．【2018届湖南省益阳市高三4月调研】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，则的周长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，根据三角形面积公式，得，即，解得，根据余弦定理得，即，，所以的周长为.故选B.5．【2018届重庆市（非市直属校）高三第二次调研】在中，角所对应的边分别是，若，则角等于A.B.C.D.【答案】D6．【2018届百校联盟高三TOP20四月联考全国一卷】如图，在中，分别为的中点，，若，则______.【答案】【解析】分析：由正弦定理可得，结合向量垂直的充要条件和向量的线性运算法则可得，据此结合余弦定理可得.学/科？网详解：设，由可得：，由可得：，整理可得：，即，即，，，据此可得：.7．【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】在中，角所对的边分别为.若，，若，则角的大小为__________．【答案】【解析】分析：由，两边平方可求的值，进而可求角的值，然后利用正弦定理，可求，进而可求.在中，由正弦定理得，，解得，又。，故答案为.8．【2018届安徽省“皖南八校”高三第三次（4月）联考】四边形中，,当边最短时，四边形的面积为__________．【答案】的面积，故答案是.点睛：解决该题的关键是先确定边最短时对应的结果，之后将四边形分成两个三角形，利用余弦定理求得对角线，利用差角余弦公式将直角三角形中的一个锐角确定，之后应用相应的公式求得结果.9．【2018届广东省高三下学期模拟考试（二）】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）若点，是线段的两个三等分点，，，求的值；（2）若，求的面积.学/科/-网【答案】（1）（2）.【解析】分析：第一问根据题意得出两个点的位置，从而设出对应的边长，在三角形中，应用余弦定理求得所满足的等量关系式，求得对应的值，再放在三角形中应用余弦定理求得对应的边长，第二问根据正弦定理找出角所满足的条件，最后利用面积公式求得三角形的面积.详解：（1）由题意得，是线段的两个三等分点，设，则，，又，，在中，由余弦定理得，又，所以，则为锐角，所以.则，所以的面积.10．【2018年天津市十二校高三二模】在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，进而可得结果；（２）利用（1），由已知及正弦定理可得，结合的面积为，可得，由余弦定理可得结果详解：（1）由已知得，由正弦定理得，∴，又在中，，∴点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.11．【2018届山西省孝义市高三下学期一模】在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，为边上一点，且，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换公式化简，即得A的值.（2）先利用已知条件和余弦定理得到，，，再利用余弦定理求AD的值.学*科*网∴，∴.（2）∵，，∴.由，得，∴，又，∴.则为等边三角形，且边长为，∴.在中，，，