2024届新教材一轮复习北师大版 　数列的概念 课件（45张）

必备知识预案自诊【知识梳理】

1.数列的有关概念及一般形式

概念含义数列按照

排列的一列数

数列的项数列中的

数列的项数组成数列的

一般形式a1,a2,a3,…,an,…,简记为

通项数列一般形式中

表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为正整数),称为数列的通项

一定次序每一个数数的个数{an}an2.数列的分类

类别含义按项的个数有穷数列项数

的数列

无穷数列项数

的数列

按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都

它的前一项的数列

递减数列从第2项起,每一项都

它的前一项的数列

常数列各项都

的数列

有限无限大于小于相等3.数列的通项公式一般地,如果数列的第n项an与

之间的关系可以用

来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称此关系式为这个数列的一个通项公式.

4.数列与函数的关系数列{an}可以看成定义域为

的函数,数列中的数就是自变量

取正整数值时对应的函数值,而数列的

也就是相应函数的解析式.

nan=f(n)正整数集的子集

从小到大依次通项公式5.数列的递推公式如果已知数列的

(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用

来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).

首项一个公式温馨提示

数列递推公式与通项公式的关系

递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法;(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式6.数列的前n项和(1)一般地,给定数列{an},称Sn=

为数列{an}的前n项和.

(2)Sn与an的关系a1+a2+a3+…+an

S1Sn-Sn-1常用结论【考点自诊】

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.(

)(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.(

)(3)若数列用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点.(

)(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.(

)(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(

)××√××2.已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是(

)A.21 B.33 C.152 D.153答案

C

解析依次令an=21,33,152,153,如果能得到正整数解,则是数列中的项,否则不是.对于选项A,21=9+12n,得n=1;对于选项B,33=9+12n,得n=2;3.已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式不可能是(

)答案

C

5.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2-n+1,则数列{an}的通项公式为

.

解析

由题意,可知当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+n-1=4n-3.关键能力学案突破考点1由数列的前几项求数列的通项公式【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;解

(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故所求数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).解题心得1.根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.2.若此类问题为选择题,则可以利用给出数列的前几项进行检验排除,即可得到正确的选项.答案

(1)C

(2)C

(3)D

解析(1)方法一(直接法)

先将各项统一为分式,由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,故a1的分母为1,an的分母为2n-1.由第2,3,4项的分子可知,通项公式的分子为偶数0,2,4,6,…,故a1的分子为0,an的分子为2(n-1).考点2由an与Sn的关系求通项公式an【例2】

(1)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则an=

.

(2)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=

.

(3)已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为

.

解析

(1)∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.∴数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,∴an=-1×2n-1=-2n-1.(2)当n=1时,由已知,可得a1=21=2.∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1.(3)由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,显然当n=1时,不满足上式.解题心得1.已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.对点训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=4-(n∈N*),则数列{an}的通项公式为

.

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1,则a10=(

)A.128 B.256C.512 D.1024(2)∵Sn+1=2Sn-1,当n≥2时,Sn=2Sn-1-1,两式相减得an+1=2an.当n=1时,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.则a10=a2×28=1×28=256,故选B.考点3利用递推关系求通项公式【例3】

在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则an=

.

(4)∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2,故an+2-an=2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.∵an+1+an=2n,a1=1,∴a2=1.解题心得由数列的递推关系求通项公式的常用方法

(2)已知数列{an}满足a1=2,an+1=(an>0,n∈N*),则数列{an}的通项公式an=

.

(3)(2020山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则an=

.

(4)若a1=1,an+1=2nan,则数列{an}的通项公式an=

.

考点4数列的性质 (多考向探究)考向1

数列的周期性

答案0

解题心得解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.考向2

数列的单调性【例5】

(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且an=2n+λ,若数列{Sn}(n≥7,n∈N*)为递增数列,则实数λ的取值范围为

.

答案(1)(-16,+∞)

(2)D

解析

(1)当n≥7时,数列{Sn}为递增数列,设Sn+1>Sn,即Sn+1-Sn=an+1>0,∴an+1=2(n+1)+λ>0,则λ>-2n-2.又n≥7,∴-2n-2≤-16,即