2024届新教材一轮复习北师大版 　等差数列 课件（45张）

必备知识预案自诊【知识梳理】

1.等差数列的概念一般地,如果数列{an}从第

项起,每一项与它的前一项之差都等于

,即

恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的

.

2.等差数列的通项公式及其推广若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=

.该式可推广为an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).

2同一个常数dan+1-an=d

公差

a1+(n-1)d3.等差数列通项公式与函数的关系an=a1+(n-1)d可化为an=nd+a1-d的形式.如果记f(x)=dx+a1-d,则an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);(2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.4.等差中项如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的

,且A=

.

在一个等差数列中,中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项.5.等差数列的性质一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at=

.

①特别地,当p+q=2s时,ap+aq=2as.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的

,即等差中项

ap+aq

和

6.等差数列的前n项和公式

已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn=

Sn=

7.等差数列前n项和Sn的性质(1)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn,

,S3n-S2n,

,…构成等差数列.

(2)数列{an}是等差数列⇔Sn=

(A,B为常数).

S2n-SnS4n-S3n

An2+Bn常用结论【考点自诊】

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈

N*

,都有2an+1=an+an+2.(

)(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(

)×√×√√×2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(

)A.31 B.32 C.33 D.34答案

B

3.(多选)(2021山东威海高三一模)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则(

)A.d<0 B.a16<0C.Sn≤S15 D.当且仅当n≥32时,Sn<0答案

ABC

解析因为S10=S20,所以a11+a12+…+a19+a20=5(a15+a16)=0.又因为a1>0,所以a15>0,a16<0,所以d<0,Sn≤S15,故A,B,C正确;S31==31a16<0,故D错误.故选ABC.4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则

=

.

答案

4

5.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=

,Sn的最小值为

.

答案

0

-10

解析

在等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.关键能力学案突破考点1等差数列中基本量的求解【例1】

(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.15(3)(2020全国2,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=

.

答案

(1)C

(2)B

(3)25

解析(1)(方法1)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.(方法2)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1.(方法3)∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,(3)设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.∴S10=10a1+d=-20+45=25.解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.对点训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=(

)A.9 B.10 C.11 D.15(2)(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是

.

答案

(1)B

(2)16

(2)∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.考点2等差数列的判定与证明(1)证明

当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,变式发散(1)本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.(2)将本例条件“an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=”变为“Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2”,问题不变,试求解.(2)①证明

当n≥2时,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,

对点训练2(2017全国1,文17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.考点3等差数列的性质及应用 (多考向探究)考向1

等差数列项的性质及应用【例3】

(1)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前9项的和S9等于(

)A.66 B.99 C.144 D.297答案

(1)B

(2)BC

解析(1)由等差数列的性质得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,(2)由题意可得,因为数列{an}是等差数列,所以设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=(

)A.60 B.56 C.12 D.4答案

A

解析∵在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,∴(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.考向2

等差数列前n项和的性质答案

(1)C

(2)A