《数学归纳法》教学设计(安徽省县级优课)-数学教案

课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是北师大版高级中学教科书数学选修2-2第一章第4节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。教学中通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。（2）会证明简单的与正整数有关的命题。2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：归纳猜想：任何形如（n∈）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）情境2、数列通过对前4项归纳，猜想——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。第二阶段：搜索生活实例，激发学习兴趣1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式的猜想。“多米诺骨牌”原理①第一块骨牌倒下；②若第k块倒下，则使得第k+1块倒下验证猜想↓↓①验证猜想成立②如果时，猜想成立。即，则当时，即时猜想成立3、引导学生概括,形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1)证明当n取第一个值时结论正确；（归纳奠基）(2)假设当n＝k(k∈，k≥)时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：巩固认知结构，充实认知过程例1. 师生共同总结：1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。等式不成立等式不成立课堂小结：1.数学归纳法可以解决哪一类数学问题的证明?2.本节课涉及哪些数学思想方法?答：1.数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题。2.本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、归纳思想、辩证思想。3.数学归纳法基本思想是递推思想，使用要点为：递推奠基不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉课堂作业：1.用数学归纳法证明:2.选作:已知数列设Sn为数列前n项和，计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。解:可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n+1,可以猜想证明过程由学生自主完成。课后作业习题1.4A组1.2.3思考：平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设f(n)为n条直线的交点个数，求证：证明：(1)n=1时，f(1)=1等式成立(2)假设n=k时,等式成立即成立那么当n=k+1时，即当n=k+1时等式也成立。即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立板书设计：§2·3数学归纳法(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；（归纳奠基）(2)假设当n＝k时