2021中考数学系统复习28讲：第25讲 图形的相似

火速出击第25讲图形的相似

【试试火力】

1.（2017山东临沂）已知ABIICD,AD与BC相交于点。.若弛=Z,AD=10,

0C3

2.（2017缓化）如图，AABU是AABC以点O为位似中心经过位似变换得到

的，若△A'B'U的面积与AABC的面积比是4:9,贝！JOB':OB为（）

A.2:3B.3:2C,4:5D.4:9

3.（2017张家界）如图，D,E分另！］是SBC的边AB,AC上的中点，如果△

ADE的周长是6,则AABC的周长是（）

A.6B.12C.18D.24

4.（2017.湖南怀化）如图，已知BC是。O的直径，点D为BC延长线上的一

点，点A为圆上一点，且AB=AD,AC=CD.

(1)求证：AACABAD;

(2)求证：AD是。。的切线.

【把握火苗】

火点1相似图形的有关概念

相似图形①_________相同的图形称为相似图形.

相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别②_______，边

③__________,那么这两个多边形叫做相似多边形.

相似比相似多边形对应④_________的比叫做相似比.

相似三角形两个三角形的三个角分别⑤__________，三条边⑥____，则这两

个三角形相似.当相似比等于1时，这两个三角形⑦_____•

火点2比例线段

定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的

比例线段比，那么这四条线段叫做成比例线段.

基本性质若：二:，则ad二be.

ba

当b=c时,b2=ad，那么b是a、d的比例中项.

黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC是线段AB

和BC的比例中项，且9二LO.618,那么点C叫做线段

ABAC2

AB的黄金分割点.

【易错提示】求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位.

火点3平行线分线段成比例

基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑧__________.

推论⑨

_______________•

火点4相似三角形的判定

判定⑩__________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三

1角形相似.

判定三边⑪_________的两个三角形相似.

2

判定两边⑫且夹角⑬__________的两个三角形相似.

3

判定两角分别⑭__________的两个三角形相似.

4

判定满足斜边和一条直角边⑮__________的两个直角三角形相似.

5

火点5相似三角形的性质

性质1相似三角形的对应角⑯__________,对应边里___________.

性质2相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等

于当__________.

性质3相似三角形面积的比等于相似比的丝__________.

火点6位似

定义如果两个图形不仅是丝____________图形，而且对应顶点的连线相交于

尊_____________,那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似

尊__________,这时的相似比又称为a____________比.

性质1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比).

2.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形

上的对应点的坐标的比等于典__________.

【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部、外部、边上或顶点上.

【掌握火候】

判定三角形相似的几条思路：

(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理.

(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定4)或再找夹边成比例(用判定

3).

(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等.

(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例.

(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对

应成比例.

【突破火点】

燃点1相似三角形的判定

例1(2017湖北随州府SBC在,AB=6,AC=5，点D在边AB上，且AD=2,

点E在边AC上，当AE=后或？时，以A、D、E为顶点的三角形与^ABC

相似.

【考点】S8:相似三角形的判定.

【分析】若A,D,E为顶点的三角形与SBC相似时，则黑=普或普，分

AUAvAl.»Av

情况进行讨论后即可求出AE的长度.

【解答】解：当祟需时，

,.zA=zA,

.•.△AEDSAABC,

此时AE=些泮6X2.12

5~~5

,.zA=zA,

「.△ADEs^ABC,

叱口+AUAC-AD5X25.

故答案为：后■或擀.

53

方法归纳：证明两三角形相似时，要善于结合已知条件来选择最恰当的判定方法.

燃点2相似三角形的性质

例2⑴如图，点D,E分别在AB、AC上，且NABC=NAED.若DE=4例E=5,

BC=8,则AB的长为.

（2）（2013•聊城）如图，点D是"ABC的边BC上任一点,已知AB=4,AD=2,z

DAC=NB.若AABD的面积为a,则AACD的面积为（）

11?

A.aB.-aC.-aD.-a

235

【思路点拨】（1）从条件看可以证明AAEDSAABC,然后根据相似三角形的性质

就可求出AB的长；

（2油NDAC=NB,可知AABCSADAC,根据相似三角形的性质可求△ACD的面

积.

方法归纳：求线段的长，利用相似三角形对应边的比相等来计算；求面积，利用

相似三角形面积比等于相似比的平方来计算.

燃点3相似三角形的应用

例3（2017甘肃天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距

离灯的底部（点。）20米的A处，则小明的影子AM长为5米.

4

【考点】SA:相似三角形的应用.

【分析】易得：^ABM-AQCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.

【解答】解：根据题意，易得AMBAiMCO,

根据相似三角形的性质可知黑二岛，即甘=薪，

解得AM=5m.则小明的影长为5米.

方法归纳：利用三角形相似解决实际问题关键扣住两点：一是构造三角形相似；

二是灵活地利用相似三角形的性质.

燃点4位似变换

例4（2017山东烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1,△

AOB与AA'OB'是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为3:2,点A,B

都在格点上，则点B的坐标是（-3,族）.

【考点】SC:位似变换；D5:坐标与图形性质.

【分析】把B的横纵坐标分别乘以-1■得到B，的坐标.

【解答】解:由题意得:AA'OB'与"AOB的相似比为2:3,

又.B（3,-2）

••.B'的坐标是［3x（4）,-2x（4）］,即B'的坐标是（-2,口）;

故答案为：（-2,?）.

方法归纳：已知一个图形和位似中心作位似图形时，要注意运用分类讨论思想，

考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心两侧两种情况，避免出现遗漏.

【冰火不容】

1.（2017重庆B）已知AABJADEF,且相似比为1:2,则-ABC与「DEF的

面积比为（）

A.1:4B.4:1C.1:2D.2:1

2.（2017哈尔滨）如图，在AABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEII

BC,点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是

（）

.ADAEDAGAEBDCEnAGAC

AB-ECGF-BD,AD-AEAF-EC

3.如图，把AABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是

△ABC面积的一半，若BC=V3,则SBC移动的距离是（）

A.返B.在C.逅D.«-逅

2322

4.（2017深圳）如图，在RbABC中,zABC=90°,AB=3,BC=4,RfMPN,

NMPN=90°,点P在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF

时,AP=3.

5.（2017山东滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2,3\

D（l,0）,现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对

应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为（4,6）或（-4,

-6）.

6.（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分

成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形另外一个三角形和原三角形相似，

那么把这条线段定义为原三角形的"和谐分割线”.如图，线段CD是AABC的

"和谐分割线"，AACD为等腰三角形，ACBD和3BC相似，NA=46。，贝（U

ACB的度数为113°或92°.

7.(2017内江)如图，四边形ABCD中，ADIIBC,CM是/BCD的平分线，

且CMLAB,M为垂足，AM=|AB.若四边形ABCD的面积为竽，则四边形

O।

8.(2017毕节)如图，在口ABCD中过点A作AE^DC,垂足为E,连接BE,

F为BE上一点，且NAFE=ND.

(1)求证：AABF-ABEC;

(2)若AD=5,AB=8,sinD=4,求AF的长.

5

9.(2016广西南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知^ABC三个顶点的坐标

分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4)

(1)请画出AABC向左平移6个单位长度后得到的;

(2)以点。为位似中心，将MBC缩小为原来的a，得到AA2B2c2，请在y轴

右侧画出AAZB2c2,并求出NA2c2B2的正弦值.

10.(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，ABIIDC,E是BC的中点，

若AE是NBAD的平分线，试判断AB,AD,DC之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法涎长AE交DC的延长线于点F，易证MEB¥FEC,

得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.

AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC;

(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，ABIIDC,AF与DC的延长线交

于点F,E是BC的中点，若AE是NBAF的平分线，试探究AB,AF,CF之间

的等量关系，并证明你的结论.

(3)问题解决：如图③，ABllCF,AE与BC交于点E,BE:EC=2:3,点D

在线段AE上，且NEDF=NBAE,试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明

你的结论.

图③

【展示火情】

【试试火力】

1.（2017山东临沂）已知ABIICD,AD与BC相交于点O.若世=2,AD=10,

0C3

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【解答】解：.•.ABIICD,

,即一A。-=2,

0D0C310-AO3

解得，AO=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系

是解题的关键.

2.（2017绥化）如图，AABC'是SBC以点O为位似中心经过位似变换得到

的，若AABC'的面积与AABC的面积比是4:9,则OB':OB为（）

A.2:3B.3:2C.4:5D.4:9

【考点】sc:位似变换.

【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于

相似比的平方即可.

【解答】解：由位似变换的性质可知，ABIIAB,A'C'llAC,

・•.△A'B'CJABC.

・・・△ABC'与AABC的面积的比4:9,

.・.△ABC'与AABC的相似比为2:3,

.QBy_2

"0B__3

故选：A.

3.（2017张家界）如图，D,E分别是"BC的边AB,AC上的中点，如果△

ADE的周长是6,则AABC的周长是（）

A.6B.12C.18D.24

【考点】S9:相似三角形的判定与性质；KX:三角形中位线定理.

【分析】根据线段中点的性质求出AD=^AB、AE=-1-AC的长，根据三角形中位

线定理求出DE=1AB,根据三角形周长公式计算即可.

【解答】解：也、E分别是AB、AC的中点，

.-.AD=4AB，AEJAC，DE=|BC,

・•.△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2(AD+AE+DE)=2x6=12.

故选B.

4.(2017.湖南怀化)如图，已知BC是。。的直径，点D为BC延长线上的一

点，点A为圆上一点，且AB=AD,AC=CD.

(1)求证：EACDSABAD;

(2)求证：AD是。。的切线.

【考点】S9:相似三角形的判定与性质；MD:切线的判定.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到NCAD=NB,由于ND=ND,于是得到

△ACD-^BAD;

(2)连接OA,根据的一句熟悉的性质得到NB=NOAB，得到NOAB=NCAD,

由BC是。。的直径，得到NBAC=90。即可得到结论.

【解答】证明：(1)；AB=AD,

.•.zB=zD,

•.AC=CD,

.,.zCAD=zD,

.,.zCAD=zB,

1.zD=zD,

」.△ACDSABAD;

(2)连接OA,

>.OA=OB,

.1.zB=zOAB,

.1.zOAB=zCAD,

・；BC是OO的直径,

.-.zBAC=90°,

.,.OA±AD,

二•AD是。。的切线.

A

【把握火苗】

①形状②相等③成比例④边⑤相等⑥成比例⑦全等⑧成比例

⑨平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比

例

⑩平行碗比例刨比例色相等睡等色成比例顿目等E成比

例

比相似比如平方20相似温一点22中心石位似24k或-k

【冰火不容】

1.（2017重庆B）已知3BJDEF,且相似比为1:2,则SBC与SEF的

面积比为（）

A.1:4B.4:1C.1:2D.2:1

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解:“ABCSADEF,且相似比为1:2,

・・.△ABC与ADEF的面积比为1:4,

故选A

【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的

关键.

2.（2017哈尔滨）如图，在AABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEII

BC,点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是

.ADAE„AGAErBDCEnAGAC

'AB-EC'GF-BD'AD-AE-AF'EC

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案.

【解答】解：（A）；DEllBC,

「.△ADESAABC,

••・黑笔，故A错误;

ADAU

(B)-.DEllBC,

二%，故B错误;

GFEU

(C)-.DEllBC,

黑喑，故C正确；

(D))-.DEllBC,

.•.△AGESAAFC,

.喑=普，故D错误;

故选（c）

3.如图，把AABC沿着BC的方向平移到ADEF的位置，它们重叠部分的面积是

△ABC面积的一半，若BC=V3,则AABC移动的距离是（）

A岑BqC岑D.技喙

【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知AABC与阴影部

分为相似三角形，且面积比为2:1,所以EC:BC=1:近，推出EC的长，利

用线段的差求BE的长.

【解答】解：•"ABC沿BC边平移到2EF的位置,

.,.ABIIDE,

.•.△ABJHEC,

.SAHEC,EC）

2_1_

■■SAABC=（BCj=2'

.,.EC:BC=1:V2,

••-BC=V3,

.・EC等，

.-.BE=BC-EC=V3~.

故选：D.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证AABC

与阴影部分为相似三角形.

4.（2017深圳）如图，在RUABC中,zABC=90°,AB=3,BC=4,RfMPN,

NMPN=90°,点P在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF

时,AP=3.

【考点】S9:相似三角形的判定与性质.

【分析】如图作PQ±AB于Q,PR_LBC于R.由pPE^RPF,推出枭普=2,

可得PQ=2PR=2BQ，由PQllBC,可得AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:

5,设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,可得2x+3x=3,求出x即可解

决问题.

【解答】解：如图作PQ^AB于Q,PR，BC于R.

•.zPQB=zQBR=zBRP=90°,

二四边形PQBR是矢巨形，

.1.zQPR=90°=zMPN,

.1.zQPE=zRPF,

・•.△QPESARPF,

.PQ=PE=?

"PRPF'

.-.PQ=2PR=2BQ,

,.PQllBC,

.-.AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5,设PQ=4x,贝!]AQ=3x,AP=5x,

BQ=2x,

.,.2x+3x=3,

•<-x=-|,

.*.AP=5x=3.

故答案为3.

5.（2017山东滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2,31

D（l,0）,现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对

应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为（4,6）或（-4,

-6）.

【考点】SC:位似变换；D5:坐标与图形性质.

【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解.

【解答】解：如图，

由题意，位似中心是0，位似比为2,

.".OC=AC,

•.C（2,3）,

・•.A（4,6）或（-4,-6）,

故答案为（4,6）或（-4,-6）.

6.（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分

成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形另外一个三角形和原三角形相似，

那么把这条线段定义为原三角形的"和谐分割线”.如图,线段CD是AABC的

"和谐分割线"，AACD为等腰三角形，ACBD和3BC相似，NA=46。，贝（U

ACB的度数为113。或92°.

【考点】S7:相似三角形的性质；KH:等腰三角形的性质.

【分析】由AACD是等月要三角形，zADC>zBCD,推出NADC>NA,即ACW

CD,分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可.

【解答】解：■,-ABCD-ABAC,

.1.zBCD=zA=46°,

・sACD是等腰三角形，・.NADC>NBCD,

.,.zADC>NA,即AC/CD,

①当AC=AD时，zACD=zADC=-1=67°,

・•.NACB=67°+46°=113°,

②当DA=DC时，zACD=zA=46°,

，NACB=46°+46°=92°,

故答案为113。或92。.

7.（2017内江）如图，四边形ABCD中，ADIIBC,CM是/BCD的平分线，

且CM±AB,M为垂足，AM=|AB.若四边形ABCD的面积为等，则四边形

OI

AMCD的面积是1.

【考点】S9:相似三角形的判定与性质；KJ:等腰三角形的判定与性质.

【分析】延长BA、CD,交点为E.依据题意可知MB=ME.然后证明VADi

EBC.依据相似三角形的性质可求得AEAD和AEBC的面积，最后依据S四迦^

AMCD=7；SAEBC•SAEAD求解即可.

【解答】解：如图所示：延长BA、CD,交点为E.

E

・・CM平分/BCD,CM±AB,

.-.MB=ME.

又.AM：4AB,

.-.AE=|AB.

o

・•.AE=)BE.

4

,.ADllBC,

」.△EADSAEBC.

,SAEAD1

^AEBC16

-15。15

lbr

」.SAEBC=4^•

SEAD-了16-7•

181

••S四边形AMCD=亍SAEBC-SAEAD=Y-y=l-

故答案为：1.

8.(2017毕节)如图，在口ABCD中过点A作AE_LDC,垂足为E,连接BE,

F为BE上一点，且NAFE=ND.

(1)求证：AABF^BEC;

(2)若AD=5,AB=8,sinD=4,求AF的长.

b

【考点】S9:相似三角形的判定与性质;L5:平行四边形的性质;T7:解直角

三角形.

【分析】(1)由平行四边形的性质得出ABllCD,ADIIBC,AD=BC,得出ND+

zC=180°,zABF=zBEC,证出NC=NAFB,即可彳导出结论;

(2)由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE,再由相似三角形的性质求出AF

的长.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.ABllCD,ADllBC,AD=BC,

.-.zD+zC=180°,zABF=zBEC,

■.zAFB+zAFE=180°,

.,.zC=zAFB,

..△ABFSABEC;

(2)解:-.AE±DC,ABIIDC,

.-.zAED=zBAE=90°,

在RfABE中，根据勾股定理得：BE=VAE2+AB2=V42+82=4V5,

在RfADE中，AE=AD・sinD=5x2=4,

5

•.BC=AD=5,

由(1)得:AABF-ABEC,

.AF.AB日口空8

z即5一十'

解得：AF=2V5.

•.・△ADF-ADEC,

9.(2016广西南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标

分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4)

(1)请画出AABC向左平移6个单位长度后得到的AAIBIJ;

(2)以点O为位似中心，将3BC缩小为原来的5，得到M2B2c2，请在y轴

右侧画出AA2B2c2,并求出NA2c2B2的正弦值.

【考点】作图-位似变换"乍图-平移变换.

【分析】(1)将庆、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的^AiBiCi；

(2)连接。人、OC,分别取OA、OB、OC的中点即可画出“\2B2c2,求出直

线AC与OB的交点，求出NACB的正弦值即可解决问题.

【解答】解：(1)请画出AABC向左平移6个单位长度后得到的AAIBICI,如

图1耐，

X

(2)以点。为位似中心，将△ABC缩小为原来的*,得到32B2c2，请在y轴

右侧画出2c2，如图2所示,

图2

•••A(2,2),C(4,-4),B(4,0),

二直线AC解析式为y=-3x+8,与x轴交于点D(|,0),

••1zCBD=90°,

•<-CD=7BC2+BD2=4^，

4一&r-

.1.sinzDCB=-^=-_-=^.

CD4l10

,「NA2c2B2=NACB,

」.sinNA2c2B2=sin/DCB=^^.

【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关

键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考

题型.

10.(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，ABIIDC,E是BC的中点，

若AE是NBAD的平分线，试判断AB,AD,DC之间的等量