2021中考数学：知识点35 相似、位似及其应用

一、挑选题

10.（2021•苏州）如图所示，在ZUBC中，点。为BC边上的一点.且AO=AB=2,AD1.AB,过点。作

DELAD,DE交AC于点F.若DE=1,则△ABC的面积为（）

A.472B.4C.2#>D.8

【答案解析】B

【试题解答】'.'AB-LAD,AD1DE,：.ZHAD=ZADE=90a,：.DE//AB,：.ZCED=ZCAB,VZC=Z

C,:.△CEDsMAB,'：DE=\,A8=2,BPDE：AB=1：2,：.SADEC-SA4C«=1：4,：.SmumAHDE-5A

4cB=3：4,*.•S|JW&AB£>E=5Z\ABD+SAAZ)E=HX2X2+HX2X1=2+1=3,**«SAACB=4,故选B.

10.（2021•绍兴）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水

面高为6,绕底面一棱长进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面

高度为（）

321273420734

A.丝D.---C.---------D.

551717

【答案解析】A

【试题解答】如图所示：设DM=x,则CM=8-Jr,

根据题意得：1（8-x+8）x3x3=3x3x5,

2

解得：x=4,：.DM=6,

'：ZD=90°,由勾股定理得：BM=dBD?+DM）=>/42+32=5,

过点B作BH±AH,VZHBA+ZABM=ZABM+ZABM=90o,

AZHBA+=ZABM,所以RtZ\ABHs^MBD,

:.电=吧.即处3解得BH=24t,即水面高度为24

ABBM8555

6.（2021•杭州）如图所示，在AABC中，点D,E分别在AB和AC边上，DE〃BC,M为BC边上一.点、

（不与点B,C重合）连接AM交DE干点N,则)

A,丝=四B.吗=型DN_NEcDNNE

D.----=----

ANAEMNCEBM-MCMCBM

【答案解析】C

【试题解答】根据DE〃BC,可得△ADNSAABM与△ANES^AMC,再应用相似三角形的性质可得结论.•・・DN

.DN_AN_.NEAN.

〃BM,:.AADN^AABM,NE//MC,/.△ANEs△AMC,.•=

,BM一AM，MCAM

DNNE-、,，

-----故选C.

BMMC

7.（2021•常德）如图所示，在等腰三角形△4BC中，Afi=AC,图中所有三角形均相似，其中最小的三角

形的面积为1,△ABC的面积为42,则四边形。8CE的面积是（）

A.20B.22C.24D.26

【答案解析】D

【试题解答】•.•图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为I,AABC的面积为42,最小的

三角形与△ABC的相似比为VAADE-AABC,鼠些•.•变=4/」=二

742S.ABCyBC)BC742742

S.ADE_16_8

SA.BC4221

0

，S<MDE=—义42=16,；.四边形O3CE的面积=5人诋一5人血=26,故选项D正确.

21

将图形用放大镜放大，应该属于（)

相似变换C.旋转变换D.对称变换

【答案解析】B

【试题解答】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选:B.

1.（2021咚庄）如图，将aABC沿BC边上的中线AD平移到△ABC'的位置，已知AABC的面积为16,阴

影部分三角形的面积为9,若AA&1,则AD等于

3

A.2B.3C.4D.-

【答案解析】B

2

【试题解答】由平移可得,△ABCsaAMN,设相似比为k,VSAABC=16,SAA，MN=9,.-.k=16:9,.,.k=4:3,

因为AD和A'D分别为两个三角形的中线，；.AD:AD=k=4:3,；AD=AA，+AD,，AA':AD=1:3,；

AA'=I,则AD=3,故选B.

B

B'

2.(2021•淄博)如图所示，在AABC中，AC=2,BC=4,。为BC边上的一点，且/C4O=NB.若

△AOC的面积为a,则△A8O的面积为()

22

【答案解析】c.

Be

【试题解答】在ABAC和△AOC中，是公共角，ZCAD=ZB.,：./\BAC^^ADC.：.—=2,

AC

SBC

...甘亚=（）2=4,又的面积为a,.•.△ABC的面积为4a,.♦.△48。的面积为3a.

^△DACAC

3.（2021•巴中）如图所示，口ABCD,F为BC中点，延长AD至E,使DE:AD=1:3,连接EF交DC于点G,

则SADEG.SACFG=（）

A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9

E

B

【答案解析】D

【试题解答】因为DE:AD=1:3,F为BC中点，所以DE:CF=2:3,口ABCD中,DE〃CF,所以△DEGs^CFG,

相似比为2:3,所以SADEG：SACFG=4:9.故选D.

4.（2021•乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）

【答案解析】A

AD

第8题答图

【试题解答】；四边形A8CO与四边形CEFG都是正方形，...AD-OCn,CE=2,AD//CE,

ECF.—=—,解得£>〃=，,...阴影部分面积为'X2><1=L,故选A.

CECH2[-DH3236

5.（2021•乐山）如图所示，在边长为百的菱形ABCD中，ZB=30°,过点A作AE_L3C于点E,

现将△ABE沿直线AE翻折至△AF'E的位置，Ab与8交于点G.则CG等于（）

A.V3-1B.IC.-D.

2

第9题图

【答案解析】A

【试题解答】：AE_L5C,...NAEB=90°,菱形A5CD的边长为百，NB=30°,.\AE=-AB=i73,

22

BE=CF=7AB2-AE2=1.5,BF=3,CF=BF-BC=3->/3,VAD^CF,AAAGD^AFGC,—=—,

CGCF

布一也.=^^,解得CG=H-1,故选A.

CG3-Q

6-（2021•凉山）如图所示，在△ABC中，。在AC边上，AD：DC=l：2,。是8。的中点，连接

40并延长交BC于E,则BE：EC=（▲）

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【答案解析】H

EFAD1

L试题解答】过点。作DF//AE,则处=巳上：.BE：EF：FC=l：1：2,：.BE：

EFODFCCD2

EC=1：3.故选B.

7.（2021•眉山）如图所示，一束光线从点A（4,4）出发,经y轴上的点。反射后，经过点

B（1,0）,则点C的坐标是

B.(0,g)C.(0,1)D.(0,2)

【答案解析】B

【试题解答懈：过点A作ADJ_y轴于点D,VZADC=ZCOB=90°,ZACD=ZBCO,/.AOBA^ADAC,

.OCDC.OC4-OC4：）,故选B.

•--•-------=-____,•_•____-------------,解得：oc=m，.,.点C(0,

OBAD14

8.（2021•眉山）如图所示，在菱形ABCO中已知AB=4,ZABC=60°,ZE4F=60°,点E在

CB的延长线上，点尸在0c的延长线上，有下列结论：①BE=CF,②NE4B=/CEa③4

ABES^EFC,④若NBAE=15°,则点尸到BC的距离为26-2,则其中正确结论的个数是

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案解析】B

【试题解答】连接AC,在菱形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,...△ABC是等边三角形，.*.AB=AC,

ZBAC=60°,VZEAF=60",ZEAB+ZBAF=ZCAF+ZBAF=60°,即NEAB=NCAF,VZABE=Z

ACF=120°,AAABE^AACF,.*.BE=CF,故①正确；由aABEgZkACF,可得AE=AF,VZEAF=60°,

.♦.△AEF是等边三角形，.,.ZAEF=60",AZAEB+ZCEF=60°,VZAEB+ZEAB=60°,.,.ZCEF=Z

EAB,故②正确；在AABE中，NAEBV60。，ZECF=60°,.,.③错误；过点A作AG^BC于点G,过

点F作FH±EC于点H,VZEAB=15°,ZABC=60°,/.ZAEB=45°,在RtAAGB中，•:2

ABC=60",AB=4,

.\BG=-AB=2,AG=6BG=26,在R3AEG中，VZAEG=ZEAG=45",.,.AG=GE=2^,

2

.*.EB=EG-BG=2>/3-2,VZBAC=ZEAF=60°,/.ZBAE=ZCAF,VZABC=ZACD=60°,/.ZABE=

ZACF=120°

ZEAB=ZFAC

在AAEB和AAFC中，AB=AC,/.△AEB^AAFC,AAE=AF,EB=CF=2>/3-2,

ZABE=ZACF=120°

在RtACHF41,VZHCF=1800-ZBCD=60°,CF=2>/3-2,；.FH=CF-sin60°=(2^-2)•—=3-73.

2

.•.点F到BC的距离为3-73.故④错误.故选B.

A.加入两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3

B.加入两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9

C.加入两个三角形相似相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3

D.加入两个三角形相似相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9

【答案解析】B

【试题解答】加入两个三角形相似，那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相

似比的平方.即加入两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9;

面积比是相似比的平方，即16:81.故选B.

10.(2021•重庆A卷)如图所示，若80=6,00=3,CD=2,则AB的长是()

A.2B.3C.4D.5

【答案解析】C.

【试题解答】v^ABO^/XCDO,.•.空=空.；BO=6,DO=3,CD=2,；.AB=4.故选

CDDO23

C.

11.

12.

13.

14.

15.

16-

17.

18.

19-

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26-

27.

28.

29-

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36-

37.

38.

3%.

二、填空题

16.(2021•滨州)在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A(—2,4),8(—4,0),O

1

(0,0).以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的万，得到△C。。，则点4的对应点C

的坐标是.

【答案解析】(-1,2)或(1,-2)

1111

【试题解答】点A的对应点C的坐标是(-2XQ.4X-)或(-2X(-5),4X(--)),即

(—1,2)或(1,—2).

2.(2021•滨州)如图所示，的对角线AC,8。交于点O,CE平分/BCD交AB于点E,交8。于

点尸，且NABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①EOJ_AC；②SA4OO=4S^OCF；③AC：80=收:

7；④FB2=OF，DF.其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)

【答案解析】①③④

【试题解答】在YABCD中，AB〃DC,ZABC=60°,；./BCD=120°.平分/BCD,.*.ZBCE=60o,

△BCE是等边三角形，.*.BE=BC=CE)ZBEC=60°.VAB=2BC,.*.AE=BE=CE,AZEAC=ZACE=30°,AZ

ACB=90°.在YABCD中，AO-CO,BO-DO,AOE是AACB的中位线，；.OE〃BC,Z.OE1AC,故

1

①正确：：0E是4ACB的中位线，AOE=yBC,V0E/7BC,AOEF^ABCF,AOF:BF=OE:BC=I:2,

.,•SAAOD=SABOC=3SAOCF,故②错误；在RtAABC中，VAB=2BC,.\AC=V3BC,：.OC=^~BC.在RtA

?jy

BCO中，OB=JfiC2+^-BC±=—BC,.\BD=A/7BC,；.AC:BD=6BC:近BC=V^1：7,故

③正确；VOF:BF=1:2,二BF=2OF,OB=3OF,VOD=OB,DF=4OF,BF2=（2OF）2=40^,

OF•DF=OF•4OFFOF2,BF2=OF•DF,故④正确.

3.（2021•凉山）在&4BC。中，E是AD1.一点,且点E将AO分为2：3的两部分，连接BE、AC

相交于F,则S^AEF:S&CBF是▲.

【答案解析】4:25或9：25

【试题解答】在O48CD中，"."AD//BC,：./\AEF^/\CBF.如答图1,当AE：£>E=2：3时，AE：AD=2：

5,,：AD=BC,：.AE：HC=2：5,：SAC/=4：25；如答图2,当AE：OE=3：2时，4E：AD=3：5,；

AD^BC,：.AE:8c=3:5,：.SA,AEF:SMB产9:25.故答案为4：25或9：25.

（第16题图答图1）（第16题图答图2）

4.（2021•自贡）如图所示，在R/A4BC中，NACB=90：AB=10,BC=6,CD//AB,NABC的平

分线8。交4c于点E,DE=.

第17题图

【答案解析】g6.

【试题解答】・.・8。平分NA8C

NABD=/CBD,

9

：AB//CDy

：.ZD^ZABD,

：.ZCBD^ZD,

：.CD=BD=6.

在Rt^ABC中，AOy/AB2-BC2=V102-62-8.

9

：AB//CDf

：.XABESRDCE,

.CEDECD63

**AE~BE~AB~10~S'

33

：.CE=jAEfDE^BE.

即C£=-AC=-X8=3.

88

在Rt^XBCE中，BE=>JBC2+CE2=V62+32=375.

.".DE=|B£=|X3V5-|V5.

第17题图

5.（2021•衢州）如图所示，由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1）将一个"7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x

轴上，顶点B,D位于y轴上，0为坐标原点，则出的值为

0A

（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个"7”字图形得顶点B,摆放第三个“7”字图形得顶点F2.

依此类推，……摆放第n个“7”字图形得顶点F.」……则顶点F2021的坐标为

【答案解析】(1)1(2)(60626405V5)

25

【试题解答】(1)因为ZDBC+ZBDC=90°,NDBC+NOBA=90°,NDCB=NBOA=90°,所以NBDC=

所以△CDBSZUJBA,所以OB:OA=CD:CB=L.

ZOBA,

2

OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得08=当，因为ZCDH=ZABO,ZDHC=Z

（2）因为

,CD二AB,所以△DHC^^BOA,所以四边形OACH为矩形，DH=专,HC=-^-,同理△

BOA-90°

,.3y/sGyfs.士―—.-nv.3A/5I—

MAF^AOBA,由AF=3得，AM=-^-,FM=^-,在直角二角形NCF中，CN=AM=-^-,CF=V2,

NF=>/CF2—CN2=-^y-,在直角三角形ABC中，AC=>/5,F点的坐标为,石+害J;

根据规律P比F的横坐标增加竽单位、纵坐标增加竽，F,B点的坐标为（半+誓X2,V5

+--X2）;F?比Fi的横坐标增加之'叵单位，纵坐标增加5^单位，F2点的坐标为（2石+3’X3,

55^55

匚非、触、二、I2小3#>匚亚、6062逐

y5+—^―X3）;所以F2021的坐标为（--—卜一--X2021,\/5+—^―X2021）,即（,

405V5)

6.

7.

8.

9-

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16-

17.

18.

19-

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26-

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36-

37.

38.

39-

三、解答题

24.（2021•长沙）（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边

形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上

填写“真”或"假”）.

①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）

③两个大小不同的正方形相似.（命题）

（2）如图1,在四边形ABCD和四边形A]B]C】D]中，ZABC=ZAiBiCi,ZBCD=ZBjCiDi,

但-=里=空'求证：四边形ABCD与四边形AIBCQI相似.

A.B]B]C|CR

第24题图1第24题图2

(3)如图2,四边形ABCD中，AB〃CD,AC与BD相交于点0,过点O作EF〃AB分别交AD,BC于点

E,F.记四边形ABFE的面积为Si,四边形EFDE的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD

相似,求■的值.

Si

【解题过程】(1)解：(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；②三个角分别

相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；③两个大小不同的正方形相似.是真命题.故

答案为假，假，真.

(2)如图所示，分别连接BD、BQi,

BCCD

•.ZBCD=ZB|C|D|,-------=--------,.•.△BCD^-AABiCiDi,

BGC,D,

BCBD

AZCBD=ZCiB,Di,ZCDB=ZC|D,B|,------=--------

,ABBCABBD

又；NABC=/ABC|,——.,.ZABD=ZAiB,Di,

A4而福丽

ABAD

ZADB=ZAiDB,,/DAB=ND|AB,

.AB〕AQ1

.ABBCCDAD

ZABC=ZA,B1Ci,ZBCD=ZB|C,Di,ZADC=ZAiD|CbZDAB=Z

A与B£C\D]AtDt

D]AB,

四边形ABCD与四边形AJBICIDI相似.

EF

AB

DEOE+OF

VEF=OE+OF,；.——

AEAB

.DEOEDEPCOF

：EF〃AB〃CD,

'~AD~~ABAD-Afi-Afi

•_D__E__I__D__E_=__O_E__I__O__F_,_____2_D__E_=__D_F_

,ADADABAB'"ADAE

21

VAD=DE+AE,-----------=——,

DE+AEAE

s

；.2AE=DE+AE,即AE=DE,—L=1

S?

23.(2021•黄冈)如图所示，RtAABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交AB于点。过点。作。。

的切线交BC于点E,连接OE.

(1)求证:AOBE是等腰三角形;

⑵求证:△COE^/\CAB.

【解题过程】

证明：（D连接0D

「DE是。。的切线，.•./0£>E=90°,

：.4D0+/BDE=90°,

又「403=90°,：.ZA+ZB=W°.

•：0A=0B,；./A=/AD。,

：.^BDE=ZB,

：.EB=ED,

「.△DBE是等腰三角形.

（2）-：ZACB=9O0,HC是O。的的直径，

二.CB是0。的切线，

又•「DE是。。的切线，

：.DE=EC.

\'DE=EB,

：.EC=EB.

'：OA=OC,

：.OEII.4B.

:.也COEs丛CAB

23.(2021安徽)如图所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC.P为AABC内部一点，且

ZAPB=ZBPC=135°.

(1)求证：△PABS^PBC；

(2)求证:PA=2PC；

(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为hi,h2,h3.求证:h『=h?•h3.

AeB

【解题过程】解：(1)证明：在AABP中，ZAPB=135°,AZABP+ZBAP=45°,

又AABC为等腰直角三角形，ZABC=45°,BPZABP+ZCBP=45°,

；.NBAP=/CBP,又NAPB=NBPC=135°,AAPAB^APBC；.............4分

DApD4D-

(2)由(1)知△PABS^PBC,所以上=££=仝=及.

PBPCBC

于是'〃噌器=2,即PA=2PC；

.............9分

如图3,过点P作BC,CA的垂线，垂足分别为Q,R,S,则PQ=hh

PR「p।卜।

PR=h，,PS=h3,在Rt^CPR中，一=tanZPCR=一=-,—即hq=2h，，

CRAP2h2

又由△PABs^PBC,且”=正，故&=即h尸&h2,

BCh2

于是hi2=h2•hs.14分

ASRB

1.（2021•重庆B卷）在必38中，5E平分乙43c交AO于点£.

（1）如图1,若/£>=30。，AB=y[6,求△ABE的面积；

（2）如图2,过点A作AFLQC,交。C的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,J.AB=AF,

求证：ED~AG=FC.

解：（1）过点E作硒L48,交弦延长线于点N,垂足为N,

在UABCD中,AD//BC,AD//CB,ZD=ZABC=30°,:.NABC=NEAN=30°；

平分/ABC:"ABE=NCBE,'JAD//BC,:.NAEB=NCBE,ZAEB=ZABE,，A8=AE=#；

在RtaAEN中，cos30°=—,EF=—,：.SMBE=-AB-EF=-x4bx-=—.

AE22222

（2）延长BE交C力延长线于点M,设AG=x,AB^a,DE=b,CF=c,

...在O4BC。中，AS//CD,AD//BC,且CD=AB=a,

\"AB^AF,：.AF=AB=a,:.GF=a—x,

'：AB//CD,:.NABM=NM,NCBE=NAEB,

平分乙48C,:.NABM=/CBE,：.ZABM=ZAEB.，4E=AB=a；

■:NAEB=NDEM.：.ZDEM=ZM,:.DM=DE=b,：.FM^a+h+c,

2

.AGABx_a

'：\B//CD,解得：X=-------------

~FG~~FMa-xa+Z?+c2a+b+c

VAA±DC,/.ZF=90°,VAE=a,DE=b,DF=a+c.AF=a.

：.AF2+DF2=AD2.

I./+(〃+C)~=(〃+/?),

a2+2ac+c2=lab+b2,

a2a22ac+be+c2

.'./4G+CF=x+c=--------FC=--------1-----------

2a+6+c2a+"+c2。+》+。

a2+2ac+bc+c2(^2+2tzc+c2)+Z?c2ab+b2+bc.八厂

----------------------___________/—__________—ij—Jjft：.DE-AG=CE

2a+Z?+c2a+b+c2。+。+。

2.(2021•台州)如图，正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点，连接PC交

AD于点F,AP=FD.

(1)求竺的值；

AP

(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM=EB,连接MF,求证:MF=PF;

(3)如图2,过点E作EN1CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ=AP,连接BQ,BN,将4AQB绕点

A旋转，使点Q旋转后的对应点Q，落在AD上.请判断点B旋转后的对应点B是否落在线段BN上，

并说明理由.

第24题图

【考点剖析】(1)通过相似构造等量解得对应线段AF与FD的长度，来求解它们之间的比例;(2)通过连接PD,

构造全等转化N3与/I相等，再利用第一问求得的AP的长度得至IJEP=EC,从而得到NI=N4,故转化N3

=Z4,从而证明APFD丝△FMC;©)构造三角形，通过证明相似，求得对应线段长度，进行比较，从而得到结

论.

解：⑴设AP=x,则FD=x,AF=2-x,

;在正方形ABCD中,AB〃CD,.♦.△PAFs/XCDF,

.AFPF_AP.2x_x

x2-4-2x,

~FD~~CF~~CD'T-2

解得玉-y/5-l,x2=-V5-1.

(2)连接DP,：PA=DF,/PAD=/ADC,AD=CD,

APAD^AFDC,A/3=Z2,PD=FC.

又,；AB〃CD,；.Nl=/2.

又；EC=y/5,EB=EM=1.

.\MC=V5-1=FD=AP.

.*.PE=PA+AE=61+1=6=EC.

，N1=N4,二/4=/3.

又：FD=MC,PD=FC,.♦.△PFD部△FMC,；.PF=FM.

图⑴

(3)如图2,在AD上取一点Q',使AQ』AQ,在BN上取一点B',使AB』AB,连接BQ：作BC,AD于点

G,交EN于点K,

VtanZNBE=2,AB=AB'=2,

二BB，=后2=-\/5B'N=BN=BB'=1^

12

:ANB'K^ANBE,ABK=§,KN=二,

62

.•.BG=g,DG=g,

.213六

.•.Q，G=3-V>一二=不一".

66-2575

在RtZSB'GQ'中，ZB'GQ'=90°,利用勾股定理可得BQ'=；

而像可?中,BQ孚BQ.•.点B不在BN上.

图⑵

3.（2021•衢州）如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6.NBAC=60°,AD平分NBAC交BC于

点D,过点D作DE〃AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE,AC于点

F,G.

（1）求CD的长。

⑵若点M是线段AD的中点，求”的值。

DF

⑶请问当DM的长满是什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P,使得NCPG=60°?

解：（1）；AD平分NBAC,ZBAC=60°,

/.ZOAC=-ZBAC=30°。…2分

2

在RtZXADC中，DC=AC・tan30°=273,.......4分

(2)易得，BC=6百，BD=4#........5分

由DE〃AC,得ZEDA=ZDAC,NDFM=NAGM.

：AM=DM,

/.△DFM^AAGM,

DF=AG.

(i|DE〃AC.得△BFEs/XBGA,

.EFBEBD

••---------------，・•・7分

AGABBC

EFEFBD4732八

..——=——=———,…8分

DFAGBC6G3

(3)VZCPG=60°,过C,P,G作外接圆，圆心为Q

.,.△CQG是顶角为120°的等腰三角形。

①当。。与DE相切时，如图1,过Q点作QHJ_AC,并延长HQ与DE交于点P,连接QC,QGo

设OQ的半径QP=r,!)!ijQH=—r,r+—r=2\/3,解得r=—,

223

ACG--6XG=4,AG=2.

3

易知△DFMs^AGM,可得----=——=一，则-----=一.

AMAG3AD7

16月八

；.DM=--------....9分

7

②当。Q经过点E时，如图2,过C点作CKLAB,垂足为K.

B

C、/GA

设OQ的半径QC=QE=r,则QK=36-r.、----"

在RtAEQK中，12+(3A/3-r)2=r2,解得尸为8.

.c1473/-14

・♦CG=--------x，3二—

93.

易知ADFMSAAGM,可得DM=Y*.........10分

③当OQ经过点D时，如图3,此时点M与点G重合，且给好在点A处，可得DM=4，^……11分

8人

o_/

综上所述，当DM=—--或―――<DMW45/3时，满足条件的点P只有一个....12分

75

4.(2021•金华)如图所示，在等腰RtZ\ABC中，NACB=90。，AB=14&,点£>,E分别在边AB,BC

上，将线段绕点E按逆时针方向旋转90。得到E尸.

(1)如图1,若40=87),点E与点C重合，A产与。C相交于点。，求证:B£>=2OO.

(2)已知点G为A尸的中点.

①如图2,若AO=8£>,CE=2,求OG的长.②若40=682是否存在点E,使得aOEG是直角三角

形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由.

（第24题图）

解：（1）由旋转的性质得：CD=CF,ZDCF=90°,

「△ABC是等腰直角三角形，AD=BD,

：.ZADO=90°,CD=BD=AD.

；.NDCF=ZADC.

在△ADO和△fCO中

ZAOD=ZFOC,

"ZADO=ZFCO,

AD=FC,

△AQO会"CO.

：.DO=CO.

：.BD=CD=2DO.

(2)①如答图1,连结8足分别过点£>,F作DNLBC于点N,FALLBC于点

:.NDNE=NEMF=90°.

又NNDE=NMEF,DE=EF,

：.△DNEmAEMF.：.DN=EM.

又YBD=1亚、ZABC=45°,:.DN=EM=7,

，BM=BC—ME—EC=5,；.MF=NE=NC-EC=5.

：.BF=5>/2.

•.•点D,G分别为AaAF的中点.

：.DG^~BF=-y/2.

22

②过点D作DH±BC于点H.

"：AD=6BD,AB=14及，:.BD=2&.

I）当乙DEG=90。时，有如答图2,3两种情况，设CE=t.

ZDEF=90°,N=DEG°,

...点E在线段AF上.

：.BH=DH=2,BE=H,HE=BE-BH=12-t.

,:△DHESXECA,即2=乜二£,解得-6±2&,

ECCAt14

.•.CE=6+2&或CE=6-2&.

F