2021艺体生数学试题（学生版）

2021艺体生

目录

专题1集合、简易逻辑、不等式......................................1

专题2复数........................................................7

专题3平面向量....................................................12

专题4三角函数....................................................18

专题5数列.......................................................41

专题6基本不等式.................................................57

专题7函数与导数.................................................61

专题8排列组合与二项式定理.......................................82

专题9概率、统计.................................................88

专题10立体几何...................................................97

专题11平面解析几何...............................................105

附录《高考考点》.................................................119

高中数学知识架构

(1),基本概念及图像性质

(2),三角恒等变换

1,三角函数与平面向量■

(3),解三角形

(4),平面向量

―,统计

2,统计与概率4

[(2),概率图散随机变量分布列

...............「⑴，几何体的体积表面积

大板块4立体JL何4

〔(2),几何证明大题空间向量解决证明或夹角问题

[(1),直线的方程

(2),圆的方程

4,解析几何(3),椭圆

(4),双曲线

(5),抛物线

<3Al⑴，基本概念、基本性质、基本函数

(2),导数、函数综合

'(1),基本概念求通项公式

1,数列(2),等差等比数列的性质

[(3),数列求和

小板块2,不等式[⑴,篦式管质及解法

<[(2),基本不等式

3,选修计数原理、排列组合、二项式

4,其他。集合、复数等

数学学科核心素养

数学抽象、逻辑推理、数学建模、

直观想象、数学运算、数据分析

专题1集合、不等式、简易逻辑

【知识梳理】

知识点1集合基本概念

1.定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

集合中的元素具有：确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{}•

2.集合的表示法：列举法、描述法、图示法；

3.集合的分类：有限集、无限集和空集（记作0,0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；

4.元素〃和集合A之间的关系：aJA,或。史A；

5.常用数集：自然数集：N；正整数集：N*；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R»

♦正整数找

,自然数N

整数Z<0

有理数

'实数R、负整数

分数

无理数0

、虚数

知识点2集合间基本关系

1.子集

（1）定义：A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集；记作：AqB,

注意：AqB时，A有两种情况：A=0与A，0

（2）性质：①AqAOqA；②若则A=C；③若Aq6,8qA则A=B；

2.真子集

（1）定义：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A；记作：Au3；

（2）性质：①4工。,。=4；②若A==则A=C；

注：一个集合有〃个元素，则他有2：个子集、有空二1个真子集

3.集合相等

知识点3集合的基本运算

1.交集：AfiB={x|xeA且xe8}

性质：①AnA=A,AClO=。②若408=8,则8=A

2.并集：AU8={x|xeA或xeB}

性质：①AUA=A,AU0=A②若AU8=8,则AqB

3.补集：记作：。04={wX€。,月/£4}；

性质：AnCuA=。，AU，A=U，Cu（CuA）=A；

知识点4区间

设a、b是两个实数，而。<从我们规定：

（1）满足不等式*6实数x的集合叫闭区间，表示为［a,勿；

（2）满足不等式实数x的集合叫开区间，表示为（a力）;

（3）满足不等式实数x的集合叫半开半闭区间，表示为口力）;

（4）满足不等式。〈g6实数x的集合叫半开半闭区间，表示为（a⑸；

知识点5一元二次不等式的解法（口诀：开口向上，大于号取两边，小于号取中间.）

（1）将不等式右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式62+次+c>0（a>0）或ax2+hx+c<0（a>0）.

（2）计算相应的判别式.

⑶当/K）时，求出相应的一元二次方程的根.

（4）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

1数学加分宝

【必考题型】

题型1只含有实数

【例1】（2020•全国卷n理1）U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},贝11电（4口3）=（）

A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

【变式1-1]（2020•海南1）设集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则AnB=（）

A.{1,8}B.{2,5}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,8}

【变式1-2]（2020•天津1）设全集U={-设一2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3）,则

AD（电0=（）

A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}

【变式1-3]（2020•江苏1）已知集合4={-1,0,1,2},8={0,2,3},则Ap3=.

题型2含有一次不等式

【例2】（2020•浙江1）已知集合尸={》|1<》<4},。={2<无<3},则尸八《2=（）

A.{x|l<x<2}B,{x|2<x<3}C.{x|3<x<4}D,{x|l<x<4}

【变式2-1]（2020•全国卷HI文1）已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则MB中元素的个数为

（）

A.2B.3C.4D.5

【变式2-2]（2020•山东1）设集合力=01勺区3},B={R2<v<4},则）

A.{X|2<A<3}B.{x|2<r<3}C.{x|l<r<4}D.{x|l<x<4）

【变式2-3]（2020•北京1）己知集合人={-1,0,1,2},8={x|0<x<3},则.

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}

2数学加分宝

题型3二次不等式

【例3】(2020•全国卷I文1)已知集合4=*|*2一3*-4<0},8={-4,1,3,5},则403=()

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

【变式3-1](2020•全国卷I理2)设集合4={小2-4W0},B={x12x+a<0},S.AHB={x\-2<x<\],则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

【变式3-21(2019全国1理,1)已知集合Af=[x\-4<x<2},N={大苗-x-6<0},则AfP|N=()

A.{XH<X<3}B.{X[T<X<-2}C.{X|-2<X<21D.{X[2<X<3)

【变式3-3](2019全国2理，1)设集合A={Mf-5x+6>0},8={小-1<0},贝i]408=()

A.(TO,I)B.(-2,1)C.(-3,-I)D.(3,+oo)

题型4绝对值不等式

【例4】(2020•全国卷fl文1)已知集合A={XR<3,xGZ},8={邓|>1,x&Z},则4nB=()

A.0B.{-3,-2,2,3)C.{-2,0,2}D.{-2,2}

【变式4-1](2017山东，I)设集合M={x卜—U<l},N={x|x<2},则Mp|N=()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)

【变式4-2]解下列不等式

0|x+l|>3®|-2x+3|<2③卜x-1|>1

@|x-l|>|2x-3|(6)|2x—1|<|x+2|

3数学加分宝

题型5分式不等式

【例5】不等式的解集为

【变式5-1］使函数y=有意义的x取值范围为

【变式5-2】已知关于x的不等式Efix＜-1°的解集是、＜一1曲＞一1：,则“

【变式83】不等式言43的解集是--------------

题型6其他

【例6】(2020•全国卷HI理1)已知集合A={(x,y)|x,yeN*,y»x},B={(x,y)|x+y=8},则4^5中元

素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

【变式6-1］（2017江苏，1）已知集合人={1,2},B={a,a2+3},若Ap|B={l}则实数。的值为.

【变式6-2](2015•陕西,1)设集合M={xF=x},N={x|lg;cSO}aMUN=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-oo,l]

【变式6-3］（2020•浙江10）设集合S,T,SCN",TIN*,S,7中至少有两个元素，且S,T满足:

①对于任意x,y€S,若都有孙eT②对于任意x,yeT,若贝！］）eS；

x

下列命题正确的是（）

A.若S有4个元素，则SU7有7个元素B.若S有4个元素，则SUT有6个元素

C.若S有3个元素，则SUT有4个元素D.若S有3个元素，则SUT有5个元素

4数学加分宝

题型7充要条件

【例7】（2020•天津2）设aeR,则是"/>。，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式7-1】设a,b&R,则<0”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式7-2】设点P（x,y）,则“x=2且y=-l”是“点p在直线/：x+y-1=0上”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式7-3】下列命题中，是真命题的是（）

A.“/>0”是“x>0”的充分条件B.“刈=0”是“x=0”的必要条件

C."|〃|=屹|”是“。=。”的充分条件D.是“V不小于1„的必要条件

【变式7-4】下列命题中，〃是4的充分条件的是（）

A.P：ab^G,q：。工0B.P：a2-^b2>0^q：a>0^b>0

c.p：x2>nq：x>\D.P：a>b,Q：Ja>4b

【课堂检测】

1.(2019全国1文,2)已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},3={2,3,6,7},则5世4=()

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

2.(2019浙江)全集U={-1,0,1,2,3},A={0,1,2},B={-1,0,1},贝iJ(aA)nB=()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

3.(全国2文1)已知集合4={%|%>-1},8={x|x<2},则ACB=()

A.(—1,+oo)B.(—oo,2)C.(—1f2)D.0

4.(全国3文、理1)已知集合4=(-1,0,1,2},8={划/41},则4nB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2)

5.(北京文1)已知集合A={xH<x<2},B={xQl},则AUB=()

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+8)D.(I,+oo)

6.(天津)设集合A={-1,1,2,3,5},3={2,3,4},C={XGR|1<X<3},则(AnC)UB=()

A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

7.(浙江1)已知全集。={-1,0集2,3},集合A={0,l,2},B={-1,0,1},则04)05=()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3)

8.(2015•北京,1)若集合A={x|-5<x<2},B={x]-3<x<3},则408=()

A.{x|-3<x<2}B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}

9.(2019上海)已知集合4={1,2,3,4,5},B={3,5,6},则AAB二.

10.(江苏1)已知集合4={-1,0,1,6},8={X|X>0,XGR},则408=.

5数学加分宝

【真题汇编】

1.(2018全国1,1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则Af]B=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}

2.(2018全国2,2)已知集合4={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则AD3=()

A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}

3.(2018全国3,1)已知集合4={刈工一120},8={0,l,2},则()

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

4(2017全国卷1,1)已知集合4={中<2},B={x|3-2x>0},则()

A.An2="|x<*B,AQB=0C.AUB={MX<|}D.AUB=R

5.(2017全国卷II,1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4}则AUB=()

A,{1,23,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}

6.(2017全国卷3,1)已知集合人={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则4门5中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

7.(2016・新课标全国I,1)设集合4={1,3,5,7},8=*|2—5},则4仆8=()

A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}

8.(2016•新课标全国H,1)已知集合A={l,2,3},B={x*<9},则ACB=()

A.{-2,—1,0,123}B.{-2,-l,0,l,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

9.(2016•新课标全国HI』)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}』IJCAB=()

A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}

10.(2015・全国I,1)已知集合4={小=3"+2,〃€用,3={6810,12,14},则集合4破中元素的个数为()

A.5B.4C.3D.2

11.(2015•新课标全国H,1)已知集合A={川-1<x<2},8={x|0<x<3},则4U8=()

A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)

12.(2017天建，1)设集合A={1,2,6},8={2,4},C={1,2,3,4},则(AUB)C|C=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

13.(2017北京，1)已知U=R,集合A={x[x<-2或x>2},则CuA=()

A(-2,2)B(-oo,-2)U(2,+oo)C[-2,2]D(f,-2]U[2,”)

14.(2017浙江，1)已知P=Q={0<x<2},则PUQ=()

A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)

15.(2016•四川,2)设集合A={x|lSE5},Z为整数集,则集合ACZ中元素的个数是()

A.6B.5C.4D.3

16.(2016•山东,1)设集合U={1,2,345,6},A={1,3,5},B={3,4,5}，则Cu(AUB)=()

A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}

17.(2016•浙江,1)已知全集U={l,2,3,4,5,6},集合P={l,3,5},Q={l,2,4},则(CuP)UQ=()

A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}

18.(2016•北京,1)己知集合4={M2<x<4},B={4r<3或x>5},则ACB=()

A.{x|2<x<5}B.{xk<4或x>5}C.{x|2<x<3)D.{x|x<2或x>5}

19.(2015•重庆,1)已知集合4={1,2,3},8={1,3},则的8=()

A.{2}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3)

20.(2015•山东,1)已知集合A={x|2cx<4},8={疝*一1)(》一3)<0},则408=()

A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

21.(2015•浙江,1)已知集合尸={加2—2入23}©={x|2<x<4},则PCQ=()

A.[3,4)B.(2,31C.(-1,2)D.(-1,3]

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专题2复数

【知识梳理】

j复数的概念

(1)虚数单位;，满足i2=-l；i和实数在一起进行四则运算时原有的加法、乘法运算律仍然成立.

(2)复数的概念：形如。+万(a,beR)的数叫复数，其中4,8分别是它的实部和虚部.若b=O,则a+历

为实数；若分0,则〃+历为虚数；若4=0且厚0,则。+为为纯虚数.把复数表示为。+为3人eR)的形

式，叫做复数的代数形式.

(3)复数相等：a+bi=c+di<=«=c1且b=d(a,b,c,deR).

(4)共轨复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共朝复数，即“+bi与c+di共聊u?=c,b=~

d(a,b,c,R).

(5)复数的模：设复数z=a+6i(a、beR),z在复平面内对应点为Z,则向量显的长度叫做复数z的模(或

绝对值)，记作团或|“十如，即|z|=|a+6i|=d不百.

2.复平面

从复数的定义可以知道，任何一个复数z=a+bi(“，6WR)都可以用一个有序实数对(a,b)唯一确定，这样

我们可以用建立了直角坐标系内的点来表示复数.当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直

角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.实轴上的点都表示实数，除了原点，虚轴上的点都表

示纯虚数.在复平面内，表示两个共输复数的点关于实轴对称.

3.复数的几何意义

复数、点、向量之间有一一对应的关系，复数的模表示复数对应的点到原点的距离.

(1)复数z=a+用-—一对应■复平面内的点Z(a,b\a,h^R).

(2)复数z=a+历.—一对应.平面向量也_____

(3)复数z=a+抚的模或绝对值：|z|=^a2+/?2.

4.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则，设zi=a+历，Z2=c+di(a,b,c,dCR),则

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(“+c)+S+</)i；

②减法：Z,—Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(/>—i/)i；

③乘法：zrZ2—(a+bi)\c+di)—(ac—bd)+(a<J+bc')i；

zia+〃ia+历。一diac+bd,be—ad..

④除法:5=7T^=c+dic—"i=c2+4+/+才i(c+小和)•

复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何入、Z2、有

(2)z3ec,

Z1+Z2=Z2+Z”(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

5.复数的运算常用结论

,1+i1-i

(l)(l±i)*—±2i；[_।_|_j~-i；

(2)—b+ai=i(a+bi)；

(3)i4,,=1,i4n+l=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,"GN*；

(4)i4,,+i4,,+1+i4,,+2+i4n+3=0,nSN,.

(5)设(o=—；+乎i,则|s|=l；1+<o+ct>2=0；co=a>2.

6.复数的几点注意事项

(1)两个虚数不能比较大小.

(2)利用复数相等a+6i=c+di列方程时，注意a,h,c,d《R的前提条件.

注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若才+»=就

(3)zi,Z2ec,0,

不能推出Z|=Z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.

7.数系的发展

自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R以及复数集C之间关系为N&ZWQWR5c

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【必考题型】

题型1虚数单位

【例De=-\,称i为虚数单位。户=_—；产=—；...,2021=_—

【变式1-1］（2015・湖北，l）i为虚数单位，i607=（）

A.iB.-iC.1D.-l

题型2复数乘法运算Z|,Z2=(ac-Z?d)+Sc+ad)i

【例2】（2020•全国卷H文2）（1-i）4=（)

A.YB.4C.-4iD.4i

【变式2-1］（2016•四川，1）.设i为虚数单位,则复数(l+i)2=()

A.OB.2C.2iD.2+2i

【变式2-2］（2015•安徽，1）设i是虚数单位，则复数(1—i)(l+2i)=()

A.3+3iB.—l+3iC.3+iD.-l+i

【变式2-3］（2014•福建，2）复数（3+2i）i等于（:)

A.12—3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i

【变式2-4](2017课标II,文2)(l+i)(2+i)=()

A.l-iB.l+3iC.3+iD.3+3i

题型3复数除法运算

【例3】(2020•山东2)*7=()

1+21

A.1B.-1C.iD.-i

【变式（•新课标全国丁」

3-1］201411,2）.=（C)

A.l+2iB.—l+2iC.l-2iD.-l-2i

【变式3-2］（2016•北京,2）.复数安】-（

)

A.iB.l+iC.-jD.l-i

后将：3i2i/、

【变式3-3］（2014.安徽，1）设i是虚数单位，复效i十］+1（）

A.-iB.ic.-iD.l

题型4实部、虚部、纯虚数

【例4】（2020•江苏2）已知i是虚数单位，则复数z=（l+i）（2-i）的实部是一

【变式T（2。2。•全国卷ID理2）复数二3113

:的虚部是（）A.-——B.-----C.—D.—

I10101010

【变式4-2］（2020•浙江2）己知adR,若a-l+（a-2）源为虚数单位）是实数，贝ija=()

A.1B.-1C.2D.-2

【变式4-3］（2017课标1,文3）下洌各式的运算结果为纯虚数的是（()

A.i(l+i)2B.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(l+i)

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题型5共辗复数

【例5】（2020.全国卷HI文2）若Z（l+i）=l-i,则（）

A.1-iB.1+iC.-iD.i

Z

【变式5-1］（2015•山东，2）若复数z满足==i,其中i为虚数单位，则z=（）

A.l—iB.l+iC.-l-iD.-l+i

2_

【变式5-2］（2016.山东，2）.若复数z=言，其中i为虚数单位，贝上=（）

A.l+iB.l—iC.一1+iD.一1一i

【变式5-3](2016•新课标全国II,2).设复数z满足z+i=3—i,则z=()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

题型6求模长

【例6】（2020•全国卷I文2）若z=l+2i+i3,则团=（)

A.0B.1C.y［2D.2

【变式全国文，设==二，则

6-1］（1911）2|z|=（)

1+21

A.2B.V3C.72D.1

z

【变式6-2］（2016•新课标全国III,2）若z=4+3i,则百=（)

43

A.lB.-1C.^+^i51

【变式6・3】（2014•新课标全国I,3）.设z=*j+i,则|z|=（）

A1R也「立D2

【变式6-4］（2017江苏，2）已知复数z=（l+i）（l+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是.

【变式6-5］（2015♦江苏，3）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为

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题型7复数的几何意义

L复数z=a-\-b\所在象限由点（mb）来确定.2.|2-（4+初）|=广以（凡方）为圆心，r为半径的圆

【例7】（1）（2020•北京2）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则，・z=（）.

A.l+2iB.—2+iC.1—2iD.—2—i

（2）（19全国1理，2）设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为（x,y）,则（）

A.（x+1）2+y2=lB.（x-l）2+y2=1C.x2+（^-l）2=1D.x2+（y+l）2=1

【变式7-1］（2017课标3,文2）.复平面内表示复数z=i（—2+i）的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式7-2］（2017北京，文2）若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数”的取值范

围是（）

A（—℃/）B（―co,-1）C（1,+co）D（-1,-t-co）

【变式7-3］（2014.重庆，1）.实部为一2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限.D.第四象限

题型8复数相等：a+bi=c+di^i=cJI.b=d（a,b,c,JeR）.

【例8】（2015•福建,1）若（l+i）+（2-3i）=〃+Z?i（mi是虚数单位）,则小♦的值分别等于（）

A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-l,4

【变式88］（2014.山东，1）已知小b£R,i是虚数单位.若a+i=2一历,则（〃+万）2=（）

A.3-4iB.3+4iC.4~3i,D.4+3i

GI,

【变式8-2］（2015•新课标全国H,2）若。为实数，且不胃=3+i，贝巾。=（）

A.-4B.-3C.3D.4

【变式8-3］（2017浙江，12）已知（。+万＞=3+4i（i是虚数单位）则/+〃=，出k

【课堂检测】

1.(2020•海南2)n+2i)(2+i)=<)A.—5iB.5iC.-5D.5

8-i

2.(2020•天津10)i是虚数单位，复数*一=.

2+i

3.(2019全国2文，2)设z=i(2+i),则乞=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.一l-2i

4.(2019全国3理、文，2)若z(l+i)=2i,则,z=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

5.（2019北京，理、文2）已知复数z=2+i,则z■z-()

A.V3B.V5C.3D.5

（2019天津理、文9）i是虚数单位，则帚

6.的值为___________

（2019浙江11）复数z=」-（i为虚数单位）

7.,则1Z1=___________•

1+i

8.（2019江苏2）已知复数3+2。（1+。的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是.

9.（2019上海5）设i为虚数单位，3z-i=6+5i,则|z|的值为

10.（2019全国2理2）设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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【真题汇编】

1.(2020•全国卷I理1)若z=l+f,则|z2-2z|=()

A.0B.1C.y/2D.2

2.(2020•全国卷n理15)设复数Z],Z2满足片|=陆|=2,Z1+z,=^+i,则|Z1-Z2|=.

1-i-

3.(2018全国1第2)设2=—;+2i,则同=(

l+i

1

OC

A.B.-21D.72

4.(2018全国2第1)z(2+Z)=()

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

5.(2018全国3第2)

(l+i)(2-i)=()

A.—3—iB.—3+iC.3-iD.3+i

6.（2014•浙江，11）已知i是虚数单位，计算

7.（2017山东，文2）已知i是虚数单位,若复数z满足力=l+i,则z2=()

A.-2iB.2iC.-2D.2

8.（2016•新课标全国I,2）设（l+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中,7为实数，则。=（)

A.-3B.—2C.2D.3

9.（2015・新课标全国I,3）已知复数z满足（z—l）i=l+i,则z=（)

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

(1—i)2

10.（2015•湖南，1）已知z=1十1（1为虚数单位），则及数z一（)

A.l+iB.l-iC.-l+iD.-l-i

11.（2017天津，9）已知aeR,i为虚数单位，若上匚为实数，则a的值为

2+i

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专题3平面向量

【知识梳理】

1.向量的概念

（1）定义：既有大小又有方向的量.

（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！如：Q.（3）向量的模（长度）：|薪|或面

（4）①零向量：长度为0,方向任意.规定：零向量和任意向量都平行。②单位向量：长度为I的向量.

③相等向量：大小相等，方向相同的两个向量.④相反向量：大小相等，方向相反的两个向量.

2.向量的运算

（1）三角形法则平形四边形法则

（2）计算法则加法：~AB+~BC=~AC减法：~AB-^AC=CA

（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律

小练习：化简：①（•石一丽）一（衣一丽尸___.（2）（AC+BO+OA）-（7）C-Dd-OB^.

®AB-CB+CD-ED=----------④AE+FC+EF^----------⑤OE+AB+EA=-----------

3.向量共线（平行）：方向相同或相反的向量。三唯一实数4,使得Z=（可证平行、三点共线问题等）

4.向量的内积（数量积）

（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围[0,划.（2）内积公式：D=|%113cos>

注：八个公式

①设A（x”>|）,8（X2，y2）>贝|J4B=（X2—X1，"一）'1），|AB|="\/（X2—乃）2+任2—yi）2.

②设a=（xi，yi）,b—{xz，yi）,则a+>=（xi+x2，力+竺），a~b=（x\—X2,y\~y2）>

③若a=（x,y）,则〃肛）；\a\—y]x2+y2.&.：求模长先平方

®a-b=©版。sfX2+.⑤COS。=儒=/谭卷市

©b在a方向上的投影为步|cos夕=繇而。在力方向上的投影为⑷cos。=胃

⑦。//