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华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形全等三角形问题中常见的辅助线的作法专题检测题1.在△ABC中,AB=8,AC=6,则BC边上的中线AD的取值范围是()A.6<AD<8B.2<AD<14C.1<AD<7D.无法确定2.如图,在△ABC中,AD为BC上的中线,E为AC的一点,BE与AD交于点F,若AE=EF.求证:AC=BF.3.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G.若BG=CF,求证:AD为△ABC的角平分线.4.如图,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.5.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC,∠ACB的平分线AD,CE交于点F,试猜想AE,CD,AC三条线段之间的数量关系,并加以证明.6.已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:BE+DF=AE.7.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=60°.证明:BE+CF=EF;(2)求△AEF的周长.三、过角平分线上一点向角两边作垂线8.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,BD平分∠ABC,求证:AB=BC+CD.9.如图,AB<BC,BD平分∠ABC,AD=DC,求证:∠BAD+∠BCD=180°.10.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD.11.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,且AD⊥BC于D.求证:CD=AB+BD.7.(1)延长AB到N,使BN=CF,连接DN,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°,∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD,∵在△NBD和△FCD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD=CD,∠NBD=∠FCD=90°,,BN=CF))∴△NBD≌△FCD(S.A.S.),∴DN=DF,∠NDB=∠FDC,∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,∴∠EDB+∠FDC=60°,∴∠EDB+∠BDN=60°,即∠EDF=∠EDN,在△EDN和△EDF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE=DE,∠EDF=∠EDN,DN=DF)),∴△EDN≌△EDF(S.A.S.),∴EF=EN=BE+BN=BE+CF,即BE+CF=EF(2)∵△ABC是边长为2的等边三角形,∴AB=AC=2,∵BE+CF=EF,∴△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=48.过点D作DE⊥AB于点E,∵BD平分∠ABC,∴CD=DE,在△BCD与△BED中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBC=∠DBE,∠C=∠BED=90°,BD=BD)),∴△BCD≌△BED(A.A.S.),∴BC=BE,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=45°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴DE=AE=CD,∴AB=BE+AE=BC+CD9.过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC于F,∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,∠AED=∠CFD=90°,∵在△AED和△CFD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD=CD,DE=DF)),∴△AED≌△CFD(H.L.)∴∠DAE=∠BCD,∵∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°10.方法1:在AB上取AE=AC,连接DE,∵AE=AC,∠1=∠2,且AD=AD,∴△ACD≌△AED(S.A.S.),∴ED=CD,∠AED=∠C=2∠B,又∵∠AED=∠B+∠BDE,∴∠B=∠BDE,∴EB=ED,即△BED为等腰三角形.∴BE=ED=CD,∴AB=AE+EB=AC+CD.方法2:延长AC到E,使CE=CD,连接DE.则∠CDE=∠E,∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E,∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△AED,∴AB=AE=AC+CD11.如图,在DC上取DE=BD,∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠B=∠AEB,在△ACE中,∠AEB=∠C+∠CAE,又∵∠B=2∠C,∴2∠C=∠C+∠CAE,∴∠C=∠CAE,∴AE=CE,∴CD=CE+DE=AB+BD12.过B作BG
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