计算方法及答案

《计算方法》练习题一填空题1．的近似值3.1428，准确数位是（）。2．满足的插值余项（）。3．设为勒让德多项式，则（）。4．乘幂法是求实方阵（）特征值与特征向量的迭代法。5．欧拉法的绝对稳定实区间是（）。6．具有3位有效数字的近似值是（）。7．用辛卜生公式计算积分（）。8．设第列主元为，则（）。9．已知，则（）。已知迭代法：收敛，则满足条件（）。单选题1．已知近似数的误差限，则（）。A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．设，则（）。Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４3．设Ａ＝，则化Ａ为对角阵的平面旋转（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（）敛速．Ａ．线性Ｂ．超线性Ｃ．平方Ｄ．三次5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（）.Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．近似数的误差限是（）。Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7．矩阵Ａ满足（）,则存在三角分解A=LR。A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．已知，则（）。Ａ．９Ｂ．５Ｃ．－３Ｄ．－５9．设为勒让德多项式，则（）。Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．计算题1．求矛盾方程组：的最小二乘解。2．用的复化梯形公式计算积分，并估计误差。3．用列主元消元法解方程组：。4．用雅可比迭代法解方程组：（求出）。5．用切线法求最小正根（求出）。6．已知数表：０１２-20４求抛物插值多项式，并求近似值。7．已知数表：０１２１３.２４.８求最小二乘一次式。8．已知求积公式：。求，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。9．用乘幂法求的按模最大特征值与特征向量。10．用予估－校正法求初值问题：在处的解。四、证明题证明：若存在，则线性插值余项为：。2.对初值问题：，当时，欧拉法绝对稳定。3．设是实方阵Ａ的谱半径，证明：。4．证明：计算的单点弦法迭代公式为：，。《计算方法》练习题二填空题1．近似数的误差限是（）。2．设|x|>>1,则变形（）,计算更准确。3．用列主元消元法解：，经消元后的第二个方程是（）。4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则()。5．已知在有根区间[a,b]上,连续且大于零，则取满足（），则切线法收敛。6．已知误差限则（）。7．用辛卜生公式计算积分（）。8．若。用改进平方根法解，则（）。9．当系数阵A是()矩阵时，则雅可比法与高斯—赛德尔法都收敛。10．若，且，则用乘幂法计算（）。二、选择题1．已知近似数的，则（）。A.10/0B.C.D.2．设为切比雪夫多项式，则（）。A.0B.C.D.3．对直接作三角分解，则（）。A.5B.4C.3D.24．已知A=D-L-U，则雅可比迭代矩阵B=（）。A.B.C.D.5．设双点弦法收敛，则它具有（）敛速。A.线性B.超线性C.平方D.三次6．,则近似值的精确数位是（）。A.B.C.D.7．若则有（）。A.B.3C.4D.08．若，则化A为对角阵的平面旋转角（）。A.B.C.D.9．改进欧拉法的绝对稳定实区间是（）。A.[-3，0]B.[-2.78，0]C.[2.51，0]D.[-2，0]计算题x012y-4-22已知数表用插值法求在[0，2]的根。2．已知数表x0123y2.89.215.220.8求最小二乘一次式。3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分，并估计误差。4．用雅可比法求的全部特征值与特征向量。5．用欧拉法求初值问题在x=0(0.1)0.2处的解。12-10026已知函数表:求埃尔米特差值多项式及其余项。7．求在[-1，1]上的最佳平方逼近一次式。8．求积公式:试求，A，B，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。9．用双点弦法求的最小正根（求出）。10．用欧拉法求初值问题：在x=0(0.1)0.2处的解。四、证明题证明：。证明：计算的切线法迭代公式为：3．设为插值基函数，证明：。4．若。证明迭代法：收敛。《计算方法》练习题一答案填空题1．2．３．４．按模最大５．6．，7.，8.，9.,10.单选题１．Ｃ２．Ａ３．Ｃ４．Ｂ５．Ｃ6．C7．D8．B9．B计算题１．，由得：，解得。２．，。３．回代得：４．因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。雅可比迭代公式为：。取计算得：。5.因为，所以，在上，。由，选，由迭代公式：计算得：。6．利用反插值法得7．由方程组：，解得：，所以。8．，。9．因为所以：10．应用欧拉法计算公式：，，。计算得。证明题１．设，有为三个零点。应用罗尔定理，至少有一个零点，。2．由欧拉法公式得：。当时，则有。欧拉法绝对稳定。3.因为A=(A-B)+B,，所以，又因为B=(B-A)+A,所以4．因为计算等价求的实根，将代入切线法迭代公式得：。《计算方法》练习题二答案填空题1．，2.，3.，4.1.2，5.6.，7.，8.，9.严格对角占优10.单选题1．C2．B3．D4．C5．A6．A7．B8．C9．D计算题1．，。2．，由得，解得：。3．由解得，取n=3，复化梯形公式计算得：。4．回代得：5．因为所以6。7．设，则所以。8．设求积公式对精确得：，解得：。所以求积公式为：，再设，则左=右。此公式具有3次代数精度。9．因为故，在[0，0.5]上，，，应用双点弦法迭代公式：计算得：。，由，计算得：。证明题1．设，则有，所以有2．因为迭代函数是，当时则有，即，所以迭代法收敛。3．设，则有，所以有。4．因为迭代矩阵为，所以，所以迭代法收敛。误差三、重、难点分析例1.近似值的误差限为（）。A．0.5B.0.05C．0.005D.0.0005.解因，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为。或，其误差限为所以答案为B.例2..已知，求的误差限和相对误差限。解：（绝对）误差限：所以（绝对）误差限为，也可以取。一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取。相对误差限：所以，相对误差限.已知求近似值的误差限，准确数字或有效数字。解由误差限为因为，所以由定义知是具有4位有效数字的近似值，准确到位的近似数。注意：当只给出近似数时，则必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。例4.已知近似数求的误差限和准确数位。解因，所以准确到位。准确到位。注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。第2章线性方程组直接解法三、重、难点分析例1用列主元消元法的方程组注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得回代解得第3、4章插值与拟合三、重、难点分析例1已知用线性插值计算，并估计误差。解取插值节点x0=4,x1=9，两个插值基函数分别为故有误差为例3已知的函数表x012y8-7.5-18求在[0，2]内的零点近似值。解因为yi关于x严格单调减少，用反插值法求f(x)零点的近似值比较简单，具体作法如下：先作反函数表x8-7.5-18y012将节点x0=8,x1=-7.5，x2=-18及对应函数值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得于是得f(x)在[0，2]内零点值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。例4已知数表：1233.87.210求最小二乘一次式。解设最小一次式为，由系数公式得：于是有法方程组解法方程组得所以最小二乘一次式例5求下列矛盾方程组的最小二乘解。解令由得法方程组解得所以最小二乘解为已知插值基函数，证明：当时，证明：令，则有因为，所以。第5章数值积分三、重、难点分析在区间上，求以为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得所以求积公式为例2求积公式的代数精确度为（）。解由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。令，代入内插求积公式得左边=，右边，所以左边=右边再令，代入内插求积公式得左边=，右边=所以左边右边所以此公式具有3次代数精度。例3用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。解（1）梯形公式因为，，代入梯形公式得则（2）复化梯形公式因为和复化梯形公式得因为，，所以注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算积分时注意系数的排列。例4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算积分，使误差小于解（1）辛卜生公式因为，，代入辛卜生公式得4（2）复化辛卜生公式因为解不等式得，用，复化辛卜生公式计算得例5设为内插求积公式系数证明证明：设，因为所以。常微分方程数值解法三、重、难点分析例1用欧拉法，预估——校正法求一阶微分方程初值问题，在（0.1）0.2近似解解（1）用欧拉法计算公式，计算得（2）用预估—校正法计算公式计算得，例2已知一阶初值问题求使欧拉法绝对稳定的步长h值。解由欧拉法公式相减得当时，时，有欧拉法绝对稳定。例3欧拉法的局部截断误差的阶为。改进欧拉法的局部截断误差的阶为。三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。非线性方程求根三、重、难点分析例1证明计算的切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解（1）因计算等于求正根，，代入切线法迭代公式得(2)设，因所以在上由，选用上面导出的迭代公式计算得例3用割线法，一般迭代法求的最小正根（求出即可）。解（1）用割线法因，，故，在上，，，，取，，用割线法迭代公式，计算得（2）用一般迭代法因，，故在上将，同解变形为则取应用迭代公式，计算得第8章线性方程组的迭代解法三、重、难点分析例1已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。解，证明证明因为所以例3已知矩阵，求矩阵A的三种常用范数。解，，例4已知方程组（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出。解（1