三维merrand曲线的性质

三维merrand曲线的性质

由于e31是一个3dmink室，其内部积被定义为。〈,〉=-dx21+dx22+dx23[JX*4]⋅[JX-*4]对于E31中的非零向量α,若〈α,α〉>0,则称α为类空向量;若〈α,α〉=0,则称α为类光向量;若〈α,α〉<0,则称α为类时向量·特别地,规定零向量为类空向量·在E31空间中,当曲线的Frenet标架含有类光向量时,标架是由两个类光向量和一个类空向量组成的伪正交标架·本文主要讨论伪正交标架下Bertrand曲线的性质·1伪正交标架曲线的fenet标架的性质定义1若两条曲线的点之间建立一一对应,使对应点处曲线的主法线重合,称它们为Bertrand曲线,每一条称为另一条的侣线·设r(s):I→E31是E31中的一条曲线,令α表示曲线的切向量,这样便可以引入曲线的主法向量β和副法向量γ·{α,β,γ}构成了E31中曲线的Frenet标架·引理1在E31空间中,当曲线的Frenet标架含有类光向量时,标架{α,β,γ}是由两个类光向量和一个类空向量组成的伪正交标架·曲线的Frenet标架有下面3种情况:标架Ⅰ:α为类光向量,β为类光向量,γ为类空向量;标架Ⅱ:α为类光向量,β为类空向量,γ为类光向量;标架Ⅲ:α为类空向量,β为类光向量,γ为类光向量·对应的Frenet公式分别为˙α=kγ,˙β=τγ,˙γ=-τα-kβ;}(1)˙α=kβ,˙β=-τα-kγ,˙γ=τβ;}(2)˙α=-kγ-τβ,˙β=kα,˙γ=τα[JX*4]⋅[JX-*4]}(3)其中:k(s),τ(s)分别为曲线的曲率和挠率,s为弧长参数·引理2在E31空间中不考虑类光向量,且只考虑非直线的情况,曲线的Frenet标架{α,β,γ}是由两个类空向量和一个类时向量组成的正交标架·曲线的Frenet标架有下面3种情况:标架Ⅳ:α为类空向量,β为类空向量,γ为类时向量;标架Ⅴ:α为类空向量,β为类时向量,γ为类空向量;标架Ⅵ:α为类时向量,β为类空向量,γ为类空向量·对应的Frenet公式分别为α˙=kβ,β˙=-kα+τγ,γ˙=τβ;}(4)α˙=kβ,β˙=kα+τγ,γ˙=τβ;}(5)α˙=kβ,β˙=kα+τγ,γ˙=-τβ[JX*4]⋅[JX-*4]}(6)其中:k(s),τ(s)分别为曲线的曲率和挠率,s为弧长参数·2伪正交标架的性质设Γ:r=r(s)是E13空间中的任意一条Bertrand曲线,Γ1:r1=r1(s1)是与其对应的Bertrand侣线,{α,β,γ},{α1,β1,γ1}分别为曲线Γ和Γ1的Frenet标架,即切向量、主法向量和副法向量·下面分别讨论3种伪正交标架下的Bertrand曲线的性质·2.1标架与所对应的茗线的关系当Bertrand曲线的Frenet标架为引理1中的标架Ⅰ时,与其对应的侣线有以下两种情况:①α1为类光向量,β1为类光向量,γ1为类空向量;②α1为类空向量,β1为类光向量,γ1为类光向量·2.1.1bertrand曲线的拟合定理1标架Ⅰ下,当Bertrand曲线的侣线为①时,原曲线及其侣线的曲率与挠率均相等,且挠率为零·(证明略)在欧氏空间中有Bertrand曲线对对应点之间的距离为定值的结论,而在Minkowski空间的标架Ⅰ下,当Bertrand曲线的侣线为①时有如下结论:定理2标架Ⅰ下,当Bertrand曲线的侣线为①时,Bertrand曲线对对应点之间的距离为弧长的线性函数·(证明略)2.1.2第二种婚姻线的情况定理3标架Ⅰ下,不存在侣线为②的Bertrand曲线对·(证明略)2.2应的茗线的情况当Bertrand曲线的Frenet标架为Ⅱ时,与其对应的侣线有以下3种情况:①α1为类光向量,β1为类空向量,γ1为类光向量;②α1为类空向量,β1为类空向量,γ1为类时向量;③α1为类时向量,β1为类空向量,γ1为类空向量·2.2.1bertrand茗线定理4标架Ⅱ下,当Bertrand曲线的侣线为①时,Bertrand曲线对的曲率成反比·(证明略)在欧氏空间中,具有常曲率的曲线是Bertrand曲线,而在Minkowski空间的标架Ⅱ下,当Bertrand曲线的侣线为①时有如下结论:定理5标架Ⅱ下,当Bertrand曲线的侣线为①时,若一条挠曲线有常挠率,则它是一条Bertrand曲线·证明定义一条新曲线Γ1:r1(s1)=r(s)+λβ(s)[JX*4]⋅[JX-*4]其中:λ为非零常数,因为挠率为非零常数,不妨取λ=1τ(τ≠0),此时曲线Γ1为r1(s1)=r(s)+1τβ(s)[JX*4]⋅[JX-*4](7)对式(7)两端关于弧长s求导,得α1ds1ds=α+1τ(-τα-kγ)=-kτγ,(8)在式(8)两端关于弧长s求导,得k1β1(ds1ds)2+α1d2s1ds2=-k˙τγ-kτγ˙=-k˙τγ-kβ,(9)在式(9)两端与β作内积,有k1〈β1,β〉(ds1ds)2+〈α1,β〉d2s1ds2=-k˙τ〈γ,β〉-k〈β,β〉,(10)在式(8)两端与β作内积,有〈α1,β〉ds1ds=-kτ〈γ,β〉=0[JX*4]⋅[JX-*4]因为ds1ds≠0,所以〈α1,β〉=0·又因为〈β,β〉=1,于是式(10)化简为k1〈β1,β〉(ds1ds)2=-k[JX*4]⋅[JX-*4](11)同理,在式(9)两端与β1作内积,有k1〈β1,β1〉(ds1ds)2+〈α1,β1〉d2s1ds2=-k˙τ〈γ,β1〉-k〈β,β1〉,(12)在式(8)两端与β1作内积,有〈α1,β1〉ds1ds=-kτ〈γ,β1〉0=-kτ〈γ,β1〉[JX*4]⋅[JX-*4]因为k≠0,所以〈γ,β1〉=0·又因为〈β1,β1〉=1,于是式(12)化简为k1(ds1ds)2=-k〈β,β1〉[JX*4]⋅[JX-*4](13)将式(11)与式(13)相比较,有〈β1,β〉=1〈β,β1〉,即〈β1,β〉=±1·因为β1,β都是类空的单位向量,所以β1=±β·这说明定义的新曲线Γ1与原曲线Γ的主法线重合,Γ1就是它的Bertrand侣线·2.2.2bertrand曲线的曲线定理6标架Ⅱ下,当Bertrand曲线的侣线为②和③时,Bertrand曲线对的曲率满足关系式:k1=ε1+2uk2λuk(λ,u为非零常数)·(证明略)2.3类光、类空向量当Bertrand曲线的Frenet标架为Ⅲ时,与其对应的侣线有以下两种情况:①α1为类光向量,β1为类光向量,γ1为类空向量;②α1为类空向量,β1为类光向量,γ1为类光向量·2.3.1第一次婚姻定理7标架Ⅲ下,当Bertrand曲线的侣线为①时,Bertrand曲线具有非零常曲率·(证明略)2.3.2第二种婚姻线的情况定理8标架Ⅲ下,当Bertrand曲线的侣线为②时,Bertrand曲线对的切向量也重合·(证明略)3其它类型曲线的讨论本文在三维Minkowski空间中系