一类微分方程的积分不等式

一类微分方程的积分不等式

在方程定性理论的研究中，积分梯度发挥着非常重要的作用。在1984年，为了研究方程解的渐进性，给出了满足方程和nevai的等式。在此基础上，描述了更广泛的是非正比的类比方程。如下所示。引理1设x,f∈C(R+,R+),w是R+上单调递增的连续函数,且当u>0时,w(u)>0,C≥0为常数,若x(t)≤C+∫∞tf(s)w(x(s))ds,t∈R+,则对0≤T≤t<∞,有x(t)≤G-1(G(C)+∫∞tf(s)ds)其中G(Ζ)=∫ΖΖ0dsw(s),(Ζ≥Ζ0>0),G-1是G的反函数,T∈R+满足G(C)+∫∞tf(s)ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(1)证明令F(t)=C+ε+∫∞tf(s)w(x(s))ds,其中ε是任意小的正数,则有x(t)≤F(t)且F′(t)=-f(t)w(x(t))≥-f(t)w(F(t))(2)由此有F′(t)w(F(t))≥-f(t)两边从t至∞积分,并令ε→0得∫∞tF′(s)w(F(s))ds≥-∫∞tf(s)ds,即G(F(t))≤G(F(∞))+∫∞tf(s)ds,t∈R+,因此,由G(z)的定义,当0≤T≤t<∞时,有F(t)≤G-1(G(C)+∫∞tf(s)ds)(3)其中T满足(1)式,由(2),(3)知结论成立.引理2设x(t),f1(t),f2(t)∈C(R+,R+),Ω是R+上单调递增连续函数,当u>0时,Ω(u)>0,且为次可乘的,即x,y∈R+,Ω(xy)≤Ω(x)Ω(y).若对常数C≥0及t∈R+有x(t)≤C+∫∞tf1(s)x(s)ds+∫∞tf2(s)Ω(x(s))ds(4)则对0≤T≤t<∞有x(t)≤exp(∫∞tf1(s)ds)G-1(G(C)+∫∞tf2(s)Ω(exp∫∞sf1(ξ)dξ)ds)(5)其中G(Ζ)=∫ΖΖ0dsΩ(s),Ζ≥Ζ0>0(6)G-1是G的反函数,T∈R+满足G(C)+∫∞tf2(s)Ω(exp∫∞sf1(ξ)dξ)ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(7)证明令F(t)=C+∫∞tf2(s)Ω(x(s))ds,则F(t)非负单调不增,由(4)及类似于引理1的证明可得x(t)≤F(t)exp(∫∞tf1(s)ds)(8)令w(t)=exp(∫∞tf1(s)ds)(9)不等式(9)两边同除以w(t)得x(t)w(t)≤C+∫∞tf2(s)Ω(x(s))ds≤C+∫∞tf2(s)Ω(x(s)w(s))Ω(w(s))ds有引理1得x(t)w(t)≤G-1[G(C)+∫∞tf2(s)Ω(w(s))ds],0≤Τ≤t<∞(10)其中T满足(7)式.由(8)及(10)知(5)成立.引理3设x(t)∈C(R+,R+),f(t,s),g(t,s)∈C(R+×R+,R+),且f(t,s),g(t,s)对于固定的s关于t是单调非增的,Ω∈C(R+,R+)为递增的且为次可乘的,(即对任意的x,y∈R+有Ω(xy)≤Ω(x)Ω(y)),若对常数C≥0及t∈R+有x(t)≤C+∫t∞f(t,s)x(s)ds+∫t∞g(t,s)Ω(x(s))ds(11)则对0≤T≤t<∞有x(t)≤exp(∫t∞f(t,s)ds)G-1(G(C)+∫t∞g(t,s)Ω(exp∫s∞f(t,ξ)dξ)ds)(12)其中G(Ζ)=∫Ζ0ΖdsΩ(s),Ζ≥Ζ0>0.G-1是G的反函数,T∈R+满足(13)G(C)+∫t∞g(t,s)Ω(exp∫s∞f(t,ξ)dξ)ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(14)证明今任取σ∈[T,∞),由引理条件及(11)知,对t∈[σ,∞),有x(t)≤C+∫t∞f(σ,s)x(s)ds+∫t∞g(σ,s)Ω(x(s))ds(15)根据引理2从(15)可推出x(t)≤exp(∫t∞f(σ,s)ds)G-1(G(C)+∫t∞g(σ,s)Ω(exp∫s∞f(σ,ξ)dξ)ds)(16)对一切t∈[σ,∞)成立,考虑到σ∈[T,∞)的任意性,由(16)知不等式(12)对一切0<T≤t<∞成立,这样的T保证(14)成立,其中G如上(13)所定义.2t1t.1.2.1.21t.1t.1t.1t.1定理1设u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t非增,ϕ∈C(R+,R+)为严格递增的,ϕ(∞)=∞,ψ∈C(R+,R+)为递增的,ψ(ϕ-1)∈C(R+,R+)是严格递增的,且ψ(ϕ-1)是次可乘的.若对常数C≥0及t∈R+有ϕ(u(t))≤C+∫t∞Η(t,s)ϕ(u(s))ds+∫t∞F(t,s)ψ(u(s))ds(17)则对0≤T≤t<∞有u(t)≤ϕ-1{exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(exp(∫s∞Η(t,ξ)dξ)))ds]}(18)其中G(Ζ)=∫Ζ0Ζdsψ(ϕ-1(s)),Ζ≥Ζ0>0,G-1是G的反函数,T∈R+满足G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(exp∫s∞Η(t,ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)(19)证明由已知条件,(17)可改写为ϕ(u(t))≤C+∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(ϕ(u(s))))ds+∫t∞Η(t,s)ϕ(u(s))ds(20)再根据已知条件及引理3并考虑Ω=ψ(ϕ-1),从(20)立得ϕ(u(t))≤exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(exp(∫s∞Η(t,ξ)dξ)))ds]注意到ϕ的严格单调性,就可得不等式(18)对一切0≤T≤t<∞成立,这样的T保证(19)成立,其中G(Ζ)=∫Ζ0Ζdsψ(ϕ-1(s)),Ζ≥Ζ0>0.假若在定理1中令ϕ(u)=up可得下面的推论.推论1设p>0,ψ∈C(R+,R+)递增且是次可乘的,u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t非增,若对C≥0及t∈R+有up(t)≤C+∫t∞Η(t,s)up(s)ds+∫t∞F(t,s)ψ[u(s)]ds则u(t)≤{exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(exp(1p∫s∞Η(t,ξ)dξ)ds)]}1p对一切0≤T≤t<∞成立.其中G(Ζ)=∫Ζ0Ζdsψ(s1p),Ζ≥Ζ0>0,G-1是G的反函数,T∈R+满足G(C)+∫t∞m(s)ψ(exp(1p∫s∞Η(t,ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)如果在定理1中令h(t)≡0,,就能得到如下推论推论2假设ϕ,ψ,u和F如定理1所设,若对常数C≥0及t∈R+有ϕ(u(t))≤C+∫t∞F(t,s)ψ[u(s)]ds则u(t)≤ϕ-1{G-1[G(C)+ψ(ϕ-1(1))∫t∞F(t,s)ds]}对一切0≤T≤t<∞成立,其中T满足G(C)+ψ(ϕ-1(1))∫t∞F(t,s)ds∈Dom(G-1)其中G如定理1所定义.进一步在定理1中令ϕ(u)=up,ψ(u)=uq(p>0,q>0)就可以得到下面的推论.推论3设p≥q>0,u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t非增,若对常数C≥0及t∈R+有up(t)≤C+∫t∞Η(t,s)up(s)ds+∫t∞F(t,s)uq(s)ds则:1)当p>q时,对t∈R+有u(t)≤exp(1p∫t∞Η(t,s)ds)[Cp-qp+p-qp∫t∞F(t,s)exp(qp∫s∞Η(t,ξ)dξ)ds]1p-q(21)2)当p=q时,对t∈R+有u(t)≤C1pexp(1p∫t∞(Η(t,s)+F(t,s)exp(∫s∞h(ξ)dξ))ds)(22)事实上,1)当p>q,ϕ-1(u)=u1p,ψ(ϕ-1(u))=uqp为次可乘的,易见G(Ζ)=∫1Ζdss1p=pp-q(Ζp-qp-1),从而G-1(Ζ)=(p-qpΖ+1)pp-q,据此从(18)可得(21).2)当p=q,ϕ-1(u)=u1p,ψ(ϕ-1(u))=u为次可乘的,于是G(Ζ)=∫1Ζdss=lnΖ,从而G-1(Z)=eZ,据此从(18)可得(22).定理2设u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且对固定的s,H(t,s),F(t,s)关于t非增,ϕ∈C(R+,R+)严格递增,ϕ(∞)=∞,κ∈C(R+,R+)为递减的,ψ∈C(R+,R+)递增,ψ(ϕ-1)∈C(R+,R+)为严格递增的,且ψ(ϕ-1)是次可乘的,若当t∈R+时,有ϕ(u(t))≤κ(t)+∫t∞Η(t,s)ϕ(u(s))ds+∫t∞F(t,s)ψ(u(s))ds(23)则对0≤T≤t<∞有u(t)≤ϕ-1{κ(t)exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(1)+ψ[ϕ-1(κ(t))]κ(t)⋅∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(exp(∫s∞h(ξ)dξ)))ds]}(24)其中G,G-1如上述定理1所定义,T满足G(1)+ψ[ϕ-1(κ(t))]κ(t)∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(exp(∫s∞h(ξ)dξ)))ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(25)证明任意取定σ∈[T,∞),由定理条件及(23),对t∈[σ,∞)有ϕ(u(t))≤κ(σ)+∫t∞Η(t,s)ϕ(u(s))ds+∫t∞F(t,s)ψ(u(s))ds用κ(σ)>0除上式两边,并将ψ(u(s))改写成ψ(ϕ-1(ϕ(u(s)))),得到ϕ(u(t))κ(σ)≤1+∫t∞Η(t,s)ϕ(u(s))κ(σ)ds+∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(ϕ(u(s))))κ(σ)ds(26)又因ψ(ϕ-1)为次可乘的,当设Ω=ψ(ϕ-1),对于γ=α·β(α,β>0)就成立Ω(γ)=Ω(α⋅β)≤Ω(α)Ω(β)=Ω(β)Ω(γβ)即对于γ,β>0,成立Ω(γ)β≤Ω(β)βΩ(γβ)(27)利用不等式(27)就有ψ(ϕ-1(ϕ(u(s))))κ(σ)≤ψ(ϕ-1(κ(σ)))κ(σ)ψ(ϕ-1(ϕ(u(s))κ(σ)))将此代入(26)就有ϕ(u(t))κ(σ)≤1+∫t∞Η(t,s)ϕ(u(s))κ(σ)ds+∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(κ(σ)))κ(σ)⋅ψ(ϕ-1(ϕ(u(s))κ(σ)))ds(28)根据引理3从(28)可推出ϕ(u(t))κ(σ)≤exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(1)+∫t∞F(t,s)ψ(ϕ-1(κ(σ)))κ(σ)⋅ψ(ϕ-1(exp(∫s∞h(ξ)dξ)))ds](29)对一切t∈[σ,∞)成立.考虑到σ∈R+的任意性,由(29)知不等式(24)对一切0≤T≤t<∞成立,这样的T保证(25)成立,其中G如定理1所定义.3表12e,c,tbt,s+tht,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s,t,s+tt,s,tt,s+tt,s+tt,s,tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s,ttt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s例考虑方程xp(t)=r(t)+∫t∞f(t,s,x(s))ds(30)其中f∈C(R+×R+×R,R),p≥0是一常数.假设|f(t,s,x)|≤g(t,s)|x|p+h(t,s)|x|q(31)其中r(t)是R+上的非负连续函数,且r(t)≤c(c>0),g(t,s),h(t,s)是R+×R+上的非负连续函数,且对固定的t,关于s非增,0<q≤p是一常数.则(30)的任一解x(t)满足1)当p>q时|x(t)|≤exp(1p∫t∞g(t,s)ds