2021年中考数学综合题冲刺19 因旋转产生的角度问题（拔高）（含答案及解析）

专题19因旋转产生的角度问题(提优)

1.如图1,已知PQ〃MN,且

(1)填空：ZBAN=600；

(2)如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至4N便立即回转至A用位置，射线BP绕点8开始

顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置.若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，

若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达8。之前，射线4W转动几秒，两射线

互相平行？

(3)如图2,若两射线分别绕点48顺时针方向同时转动，速度同题(2),在射线AM到达AN之前.若

两射线交于点C,过C作NAC£>交PQ于点，且NACC=120°,则在转动过程中，请探究NBAC与

NBCD的数量关系亮否发生变化？若不变，请蓑出其数量关系；若改变，：青说明理由.

【分析】(1)根据48AM+NBAN=180°,/BAM：NBAN=2：1,即网得到N84V的度数；

(?)设射线AM转动f秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0<f<90时,.根据2f=H30+f),

可得f=30；当90Vf<150时，根据l"30+f)+(2r-180)=180,可得f=110；

⑶设射莪转动时间为/秒，根据N8AC于2「120°,ZBCD=120°-ZBCD=t-60°,即可得出/

BAC：NBCD=2：1,据此可得NH4c和NBCC关系不会变化.

【解答】解：(1)'：ZBAM+ZBAN=\S00；ZBAM：NBAN=2：1,

・・・N3AN=180。x1=60°；

士•'JrX

(2)设射线4W转动/秒，两射线互相平行，--

-

①当0VV90时，如图1,

■:PQ〃MN、「

：・4PBD=ZBDA,'

,:AC〃BD,

・・・/C4M=N3ZM,

：.ZCAM=ZPBDv

丁.2/=1(30+力，、

解得r=30；人：「人

②当90〈1<]50时，如图2;

,:PQ〃MN,.

：.^PBD+ZBDA=\^OQ::.

■:AC//BD,:

:./CAN=/BDA.

AZPBD+ZCA7V=180°

.,.l*(30+r)+(2r-180)=180,

解箱J=H。,；_*.*1、■.

综上所述，射线AM转动3?或110秒，西射线互相平行;

••♦

(3)NBAC和NBc6关系不会变化.<

理由：设射线转动时间为，秒，

QBDP

•.：NCAN=18(?-2/,

AZBAC=60°-(180°--It)=21-120°,

又,.,ZA8C=120。*r,

；.NBCA=18(T-2A8C,NBAC=18(T-f；-而/4'CD=120°,

A-ZBCD=1200-4BCA=\20°-(180°-),=L60°,

:.NBAC：/BCD=2：1,

即NBAC=2NBCO,

AABAC和ZBCD关系不会变化.

故渗案为；60.

.♦”■/».

【点评】本题.考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系的运手，解决问题的关键是运"分类思

想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平彳亍，同旁内角互补..

2.(1)①如图1,已如AB〃CQ,点E在直线AB、C£＞之间，探究NABE、'/BED、NCQE之间的数亶关

系，并说明理由.

②将图1中射线8A绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F,得到图2,形成四边形

BFDE,探究四边形中NB、NE、ND、NBFQ之间有何数量关系，并说明理由.

77

(2)在图3中，AB〃CD,NABE与NC£»E的角平分线交于点N,NABM=^NABN,ZCDM=~ZCDN,

写出与/E之M•数量关系，并说明理由.

【分析】(1)①过E作所〃A8,根据平行线的性质’即可得到结论；：-

②过点B作GBACD,根据平行线的性质艮的得到结论；

(2)由'(1)&的结论即可得到结果.

【解答】解：(1)①如图1,过E作E/〃A8,

:./FEB+NEBA=18。°,

\'CD//AB,EF//AB,

J.CD//EF,

AZCD£+ZDE^=180°,

：.ZCDE+ZDEB+ZABE=3>6Oa,

②如图2,科:点8作68〃CD,

:.ZBFD=NGBF,

由(1)知NGB£+/E+NZ>=3'60°,

ZB4-ZE+ZD+ZBFD=360°；

(2)如图3,过M作M/〃AB,

\'AB//CD,

::MFaCD,

22

VZABM=.4ABN,ZCDM=|ZCDN,

，设/MBNg,ZMDN=yf则NMQC=2y,ZABM=2x,/EBN=3x,NEDN=3*y,

*-■W*：■***/.二々々

:./BMF=2x,ZrDMF=2y,NABE=6x,3/CDE=6y,

'：.NBMD=2(xA).

过Z作EG//AB,

,:AB〃CD,

：.EG//CD,

'Z.ZBEG=180°J-^ABE=180°-6x,ZDE(J=\S6°-NGDE=180°*63-,

:.NBED=NBEG+'NDEG=360°-(6x+6y)*=360°'-3ZBMDt"1'

.,.3ZBMD+ZBED=^60°...

【点评】此题考查了平行线的性质，虱练掌握平行线的性质是解*题的关键.

3.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的

情况.如图2,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自8P顺时针旋转至

BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯8转动的速度是/

/秒，且。、〃满足|“-3|+(a+6-4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ//MN,且N8AN

=45。.

(1)求。、匕的值.

(2)如图1,若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C,若NC=

70°,求/BAC的度数.

(3)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次转到BQ之前，A灯转动几秒，

两灯的光线互相平行？...

【芬析】(1)由非蟒的性质由可得出结果；_

(2)如图I,过卓C作C£〃MN,可得CE//PQ〃MN,设两灯转动时间*x秒，贝i」NMAC=3x,4P8C

=x,根据角的和差关系得到关于K的方程，解方程即可求解；

(3)设A灯转动两灯的光束互相平行，务两种情况：①在灯A射媛到达AN之前；②在灯A射

线到达AN2舄进行讨论即可求解：

【解答】解：(1)V|a-3J+(4+/?-4)2=0,

.\a-3=0,ci+b-4=0,

薜得：〃=3,Z?—1；

(2)如图1,过点C，作")MN,

•:PQ〃MN；

J.CE//PQ//MN.

设两灯转动时间为x电，^iZMAC=3x°,\ZPBC=x0,

・・・NCAN=I8/■13/,»,

:・・/BCE=NPBC=x；,ZECA=ZCAN=(180-3x)-°,

VZACB=70°,

180-3x+x=70,

：.ZCAN=\5°”、

7Jr*

：.ZBAC=ZBAN-ZCAN=45°-15°二30°；

(3)‘设4灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①在灯A射线到达4V之前，由题意得：3(=(20+/)XI,

褪得：r=10；」

⑥在灯A射线到达AN之后，由题意獴：3/-180=180-(20+仁义1,

解得：r=85.

综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行.

【唬评】本题考查亨行线的驹定与性质、非多数的性质：解方程等知识.；.熟练掌睡平行线的判定期

质是解题的关键..

4.钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤

的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯3射线自8P顺时针旋转至3Q便立的

回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯4转动的速度是//秒，灯8转动的速度是//秒，且小〃满足I”

-3*|+(“+6-4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即「。〃MN,且NBAN=45°.

(1)求a、b的值；

(2)若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达8Q之前，A灯转动几秒，两灯

的光束互相平行？

(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C,过C作CCAC交PQ

于点。，则在转动过程中，/BAC与NBCZ)的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若

改变，请求出其取值范围.

【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可.

(2)分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

(3)由参数/表示NBAC,NBCD即可判断.

■-

A

【解答】解：(1),：\a-3b\+(a+6-4)2=0.

又：|。-3加20,(4+6-4)22o.

ci=3fb~1；

(2)设A灯转动t秒，两灯的I光束互相平行，..

♦①当0</<60时，'

3尸(30+/)乂1,'

,解得f=15；,,--'.：，'f,

②当60<f<120时，

3r-3X60+(30+f)XI=180,

♦•一解得f=82.5；,*■*-'_•一-・，，；；--

③当120<fW15Q时，

3tr360—r+30,*b".,.1

解得r=195>150(不合题意)

综上所述,当r=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行：

•(3)设A灯转动刖;间为/秒，•・、，•.>

VZCAW=180°-3r,•'

；./a4C=45°-(1800-3。=3f-，135°,

又,：PQ〃MN,.

；./8CA=NC8Q+4cAN=r+180°-3r=l80°-It,'

'：/ACO=90,

»i^**■《4*<.a**)，'»TJr

...N8CO=90°口8。=90°-(180°-2r)=2L90],

/.ZBCD：N8AC=2：3.

【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，平行线的'判定与性质，估算无理数的大小以及角的和差关

系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解..

5.如图，钱塘江入海厅某处河道两岸所在直线(PQ,MN)夹角为20°,枪可道两岸安装探照灯B和入,

若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不

停交叉照射巡视.设灯A转动的速度是。度/秒，灯8转动的速度是6度/秒.已知N8AN=50°

(1)当8=2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A?

（2）当a=3,8=6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互

相平行？

（3）若A、8两灯同时转动（a>b\在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次,求小。的值.

【分析】（1）根据B灯转动30度时第1-次经过灯4列出方程即可得解；

（2）根据,内错角相等，两灯的光线平行，可得结果；

•-（35分两种情形，根据平行弱的判定；构建方祥解决问施即可.•

V

【解答】解：（1）,速灯8转动r秒后，射出限木束第一次经过灯人...

,由题意得：2f=30,

解得

答：灯8转动15秒后，射出的光束第,」熠过灯人

._（2»设A灯转动x秒，段灯的光束互相平行.

根据题意得：180-50-3x=6x-30时，两灯的光束互相平彳亍，

解得：x=等，'

y

答：4灯转动号秒，两灯的光束互相平行.

（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次

455时第二次平行，.由题意得：45〃-130=30:45〃，,一

90秒时第二枚平任，.由题意得：90«-180-50=90/?-30,.\、

•人,，•

解得：〃=等b=|

答：a,〃的值分别为g度/秒§度/秒・•

【点评】本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系’的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行

.求解，解题时注意:一内错治相等，两直线平行”

6.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的

情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回

转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且“，人满足|a

-3|+VF=f=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ〃MN,且N8AN=45°

(1)求a,6的值；

(2)若灯8射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达B0之前，4灯转动几秒，两灯

的光束互相平行？

(3)如图，两灯同时转动，在灯4射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作CQLAC交PQ

于点。，则在转动出呈中，/BAC与/8CQ的数量关系是否发生变化？碧不变，请求出其数量关系.一

【分析】(I)利用手负数的性质解决问题艮叩'j

(2)分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

(3).参数/表示Na4C,乙BCD即可判断.’’

【解答】解：“⑴•••|a-3|+VF二彳=0.

又V|“-3|30,VK^T,'0."

—3♦h~—1；

(2)设A灯转动f秒，两灯的光束互相平行，,

①当0</<60时，

3f=.(20+/)XI,

,解得r=10；

②当60«⑶时一

3「3X60+(20+/)。1=18，，

解得/=85；

③当120<r<160时，

•3f-360=f+20,-

解得f=190>160,(不合蹭意)

综上所述，当f=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行］

(3)设4灯转动时间为r秒，

・・・NC4N=18O°'-3。

r

：.ZBAC=45°t-（180°-3f）=3L135°：

又,：PQ〃MN,

：.ZBCA=ZCBmZCAN=t^\S0o-3/=180°-2r,

而/ACQ=90°,•・.

AZBCD=900-ZBCA=90°-（180。「21=2f-90°,

：.ZBACi/BCD与：2,'

即'2NBAC=3/BC£）.^

【点评】本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学般利用参数

构翼方程解决向题，属于中考产考题型」

7.长江汛期即将来临，•防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的

情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自8P顺时针旋转至BQ便立即回

转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速尾是“°/秒，灯B转动的速号是//秒，且“、人满足3"

=27=32・32假定这一带长江两岸河堤是平行的，即「。〃且/B4V=45°

（1）求。、6的值；

（2）若灯8射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，云灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯

的光束互相平行？

（3）如图2,两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作C£>J_AC交

PQ于点。，则在转动过程中，/BCD：NR4C=2：3.

【分析】（L）根据同底数哥乘法法则即可求八万的值.

（2）由于灯4转动速度为灯B的3倍，故灯B射线到达8。前，灯/已转到AN并返回转，用以两灯光

，束平行有两种情况:@灯A射线还没到达AN,一两光束平行即两转动角度相等，设A灯转动/秒，即8

灯转动（20+f）段,，可用，表示两转动角度"列方程即能求/；②灯A号线转到AN之后，此时灯与

AN夹角为3/-180°,此度数与灯B转动角度互补，列方程即能求t：

（3）设两灯同时转动x秒，过点C作PQ的平行线，构造内错角相等的等量关系，即可用x表示图中所

有角的度数，进而求NBCQ：NBAC的值

6满足3"

.••a=3,2序=3

:.b彳1

Fjff♦'♦♦jA.^

/(2)设A灯转动■少，两灯的光束互相平行S

①在灯A射线转到AN之前,•..

,y<•,•.Lf

3t=(20+r)XI

解得r=10

'②在灯A射线转到AW之话，,'；，

3/-180°=180°J-X20+r)XI

解得f=85^

综上所述，当f=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行

「(3：,如图，过点C作CE〃M。，

O____________B____D___P

:

MAN

「：PQ〃MN

»//♦4>J*]

:.CEHPQHMN

...JSW*.《.、-二.»■<j1

设两灯转动时间右X秒，则/MAC=3x,ZDBC=x

:・/BCE=NDBC=X,ZCA/V=180°-ZMAC-1800-3x

<.<•

・・・NACE=NCAN=180°-3x

'/4BAN=45°

:•/BAC=/BANTCAN=45。-(180°T-3x)=3x-1350■

9：CD1AC.>'

:.9ZACD=9O°、

・・・ZBCD=ZACD-ZACE-ZBCE=90°-(180°-3x)-x=2x-90°

2x-90°

:./BCD：ZBAC=2(x-45°)2

3x-1350=3(x-45°)=3

故管案为：2：3.

【点评】本题考查了同底数基乘法法则，平行线的性质，角度计算，由动点问题引起的分类讨论.

8.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的

情况.如图1,灯A射线自A历顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线自BP顺时针旋转至8Q便立即

回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是“°/秒，灯8转动的速度是//秒，且a、〃满足I”

-3加+■-26+1=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即且/BAN=45’.

(I)则a—3,b—1；

(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯

的光束互相平行？

(3)如图2,两灯面时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束妄于点C,过C作C£)L4C”交

PQ于点D,则在转动过程中，NBAC与NBCD的数量关系是2/8AC=3/BC£>(请直接写出结论).

【分析】⑴由绝时值的性质得出｛③[3n=。，解得即可得出结果；.

(2)设4灯转动f秒，两灯的光束互布平行，

①在灯A拓线到达AN之前，由题意得3f生(20+/).XI,解得尸10,

一②在灯A射线到达AN之后，由题意得3-18g180-(20+/)XI,解彳&/=85；一

,(3)设A灯瞥动时间为/秒，则NC4N=18O-3/,ZBAC=ZBAN--^CAN=3t-135,由PQ〃例M

得到/8。4=/€'8。+/。4%于80-2力ZBCD=ZACD-ZBCA^2t-90,即可得出结果.

¥

【解答】解：(I)'：\a-3b\+b2-2从1=0,

.(a-3b=0

,•U2-2&+l=0，

•解得:北二;，：..J'-*•*

故答案为：3,1；

(2)设A灯转动/秘，两灯的光束互相平行，..

①在灯A射线到达AN之前；由题意得：3f=(20+/)XI,

解得：f=10,

既在灯A射线药威AN之后，由题意得：3L180=180-(20+玲XI,-

解猫：f=85,

上，..rM.9•♦(

绘上所述，A.专动10秒或85秒时，两可的光束互相平行;

(3)设A灯转动时间为f秒，恻NCAN=180-3f,»»

：.ZBAC=ZBAN-ZCAN=45-(180-3r)，=3L135,

'."PQ//MN,>>'

"ZBCA=ZCBD+Z/JAN=i+180-3f=180-2t,

.小S^4•干・*、,JB^

*:CD±AC9

-0=90°,

■\一.L','■-I.

*?.ZBCD=ZACD-«^BCA=90-(180-2r)=2f-90,.--

：.2ZBAC=3^BCD,

故答案为：24BAC=34BCD.

公，、・“「tt〜、・，，//.■,.JF•/

【点评】本题考查了平行线的性质、绝对值的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关

键.

9.辽于汛期即将来临，，防汛指挥.在一危险地带两岸各安亶了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的

情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至4N便立即回转，灯B射线白BP顺时针旋转至BQ便立即回

,■•、

转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是//秒，灯B转动的速度是//秒，且“、人满足|a

-3|+(«+/?-4)2=0,假定这带两岸河堤是平行的，即PQ〃MN,且N84N=45°.

(1)请直接写出a=3,b=1.

(2)若灯8射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，4灯转动10或85

秒，两灯的光束互相平行,(请直接写出答案)

-----------------------------------77

【分析】(1)根据-3b|+(a+方-4)2=0」可寤。-3/?=0,同-4=0,进而得出a、b的值;

'(2)设A灯转动U秒，两灯的光荣互相平行；益两种情况进行讨论：灌灯4射线转到4V之前，姆在

灯N射线转到AN之辰，分别求得,的值即可；.°：,,

【解答】解：(1):a、。满足|。-3|+.(。+匕-4)2=0,

.\a-3=0,Jiayb-4=0,

•,•〕•>,•;1

・・4=3,b=1；

♦故4案为：3,1；♦

.■/».

(2)设A灯转动，秒，两灯的光束互相平彳亍，

①当0VY60时，

*«r♦«<r*,«r

3t=<20+/)XI,

解得t亍io；"，■,

.②当60<f<120时，..

A**•r।

3r-3X60+(20+/)X1-180°,♦

解得r=85；.

・*w_jf;、.■<.*>9%jt/■

」•.③当，12O<r<160时"，---

3r-360=r+20,

解得f=190>l60,《不合题意).^

f■f-♦，^f■，，

综上所述，当r=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

故答案为：10或85.

.【金评】本题主要添了平行为的性质，非负数的性质以"及角的和差关系的运用，作决问题的关键■运­.

用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非乳数的和为0,则这两个非负数均等于0.♦,

10.如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ACE(NAEQ=30°的RtZ\),将三角板ABC(NACB

=45°的Rt4)绕点A顺时针旋转一个大小为a的角(0°<cW450),试问：

(1)当。=15度时,能使图2中的A8〃OE；

(2)当支=45度时,能使图3中的A8与AE重合；

(3)当0°<67^45°时，连接8。(如图12-4),探求NQBC+NCAE+NBOE的值的大小变化情况，

’并说明理由.」

B

【分析】(1)根据平行线的性质，可得Z8AE=/E=30°,再根据/84C=45",即可得出2平£=45°

A

-30°=15°；

、»v><*J-*rw■f*.,、>•'・”,J।».

(2)根据当施转期A3与AE重叠时，/aeZBAC即'可得到结果；’

(3)先设8。分别交为E、AC•于点M、N,依据三角形内扁和定理外及二角形外角性菽即可售出N8DE+

2cAE+NABC的度数.

【解答】解：(1)如图2,当AB〃£)E时，NBAE=NE.30°,

VZBAC=45_“，

1•J—wLA>r.JL^

・・・NCAE=45°-30°=15°,

即Na=15°,'a.'.

施答案为：15；

(2)如图3中，当旋转到A8与AE重叠时，Na=NBAC=45°

故答案为：45；

'(3)如图4,当0°'<aW45。时，N£>8eJr&E+/B£>E=105",‘保轮不变；」

理由：设BZ)分别交4E、AC于点M、M.

.在中，ZAMN+ZCAE^ZANM=180°,

>/*F^^^**46/>1P/♦J*/•

•.,/ANM三ZC+ZDBC,/AMN=ZE+ZBDE,

,,*t*'»'；、>».j*>

AZE+ZBDE+ZCAE+AC+ZDBC=\SO°,

VZE=30°,ZC=45,

：.ZDBC+ZCAE+ZBDE=180°-75°=105°.

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及旋转的性质的运用.解题时注意：旋转变化

•前后，对应点到旋转小心而距离相等，每一对哥应点看旋转中心连线所构我的窿转角相等.

11.(1)如图1,AB//CD,将点P在48、CD内部，NB,ZD,NP满足的数量关系是/BPD=/

B耘D,并说明理由..,,,

(2)在图1中，将直线AB绕点8逆时针方向旋转一定角度交直线CQ于点Q,如图2,利用(1)中的

结论（可以直接套用），求NBPD、ZB.ZD.NBQ。之间有何数量关系？

（3）科技活动课匕雨轩同学制作了一个图（3）的“S旋镖”，经测量发现乙R4C=30°,/PBC=35°,

他很想知道/AP8与NAC8的数量关系，你能告诉他吗？说明理由.

【分析】（1）迓P作平行于48的直线，恨据内错角相等可得出兰个岁的关系.

（2）连接。尸并延长至凡根据三角形的外角性质可得48尸。、ZB.ZD./8QO的关系；

⑶'连接CP并延总至G,根据三角形的外角在质可得ZB,5zZ乙4。3的关系，代人即高.

【解答】解'：'（1）'NBPD='>8+N£>,如图f/51P'点作.PEAB,

'：AB//CD,

：.CD//PE//AB,

:.NBPE=NB,：NEPD=2D,,■,

,/NBPD=NB.PE+NEPD,、

：.ZBPD=ZB+ZD.

故答案为：NBPD=NB+ND；

(2)ZBPD^ZB+ZD+ZBQD,连接QP并延长至尸，如图2,

2BPF=/ABP+NBAP,./FPD=ZPDQ+NPQD,

工NBPD=NB+ND+NBQD；

(3)ZAPS=65°+ZACB,连接CP并延长至G,如图3,

VZAPG^ZA+ZACP,NBPG=/BtNBCP,'

A

・•・ZAPB=N8+NA+NAC5,X*<,A.

*>}t;A1.

；NA=30°,N3=35°j,

.,.ZAPB=65°+ZACB.■■

【点评】此题警平行线的性质，关键是住出辅助线后；利用平行线和三角形外鬲性质解答.

12.已知：如图，直线MNJ_P。于点C,△ACS是直角三角形，且/ACB=90°,斜边AB交直线PQ于点

（2）如图2,当AACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问NF的度数

是否发生改变？请说明理由.

【4析】⑴由A8/MN,♦直为MNLPQ,C耳平分NA&V,DF平分N@>B,易求轴NDCE与NC”

的度数，然后利用；角形外角的性质，求得NF的度数.«.,、

'--'•'•、'

（2）由题意可得NOCE=N4C£>+/4CE：/4CD+gN4CN,ZCDF=~ZBDC=^ZA+^ZACD,则可

////

It

得NF=NDCE-ZCDF=ZACD+^ACN-^ZA--ZACD=1（ZACN+ZACD）继而求得答

案.......

【解答】解：（1）•FAB/MN,直线可，尸。,一

：.PQLAH,-

：

.-ZBDC=ZDCN=9t0°,•/If,

•.•/4CNqNA=36°,CE平分NACN,

.•./ACE=18°：ZACD=90°-ZA=54",

■.■

：.ZDCE=ZACD+QACE=12\,---

:..QF平分NCQB,

：.ZCDF=45°,

：.ZF=ZDCE-ZCDF=21°；

一，(2?不发生改变.

理由：：CE是NACN的平分线，••<

NACE=3NACN,

,：.ZDCE^'ZACD+^ACE^ZACD+三NACN,_._

,：ZBDC=ZA+YACD,公尸平分N8OC,.：,

：.-ZCDF=±NBDC=

4LL

...•*•

:.NF=4DCE-ZCDF=ZACD+^ZACN-^ZA-^ZACD=1(/ACN+NACD)-1z/\=1x90"

-1V36°=27°*

-2^

【点评】此题考草了平行线的性质、角平分等的定义以及三角形外角的吠质.此题难度适中，注卑掌握

数形结合思想的应用.

13.一副直角三角板叠放如图①，现将含45。角的三角板AOE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶

点4顺时针旋转角a(a=NBA。且0°<a<180°),使两块三角板至少有一组对应边(所在的直线)

垂直.

(1)如图②，a=15°时，BC1AE；

(2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角aJ条用符号表示出垂直的边.

【分析】(1)如图②根据条件只需证BC±AE即可，a^ZDEA-ZBAC=45°-30°-15"；•JL'

(2)如备用图，4C：4E时,•a=NEAC-2BA£=90°•-30°=60°',AB,_LAE时，a=105°.

【解答】解：(1)如图②在△ABC中，AC±BC,AE与4c重合;

则AE_LBC,a±N£)EA-N8AC=45°-30°=15°

所以，当a=15°时，BCLAE.-

故答案为15°:'>''.、

(2)如图1中，AC_LAE时，a=105°".

B.

A

如图5中，,当A8J_OE时，a=45"-!

【'点评】本试题考查两条线段的垂直关系.两条直线相交所成的四个角中有一个90'。，就说这两条直线

互相垂直••

14.如图①，AB,C£>是两条射线，P为夹在这两条射线之㈣的一点，连以和PC,作NB43和/PCZ）的

平分线相交于点。.

（1）旋转射线A8,使4B〃C£>,并调整点P的位置，使/APC=180°,如图②，请直接写出/。的度

数；

（2）当AB〃8时，再调整点P的位置如图③，猜想舁证明/。与/P有何等量关系；

（3）如图④，若射线A8,CD交于一点R,其他条件不变，猜想/尸、/Q和/R这三个角之间满足什

么样的等量关系？并证明你的结论.

【分析】（1）根据辅线而性质和角平分线的由通求6/用Q+/PCQ-9/,由根据三角形的内角莉加

可得出/Q的度数;'

（2）先延长转交8于点£,延长A。交C/）F点尸，根据平行线的性质得出N84Q=NCF。，

=NBAE,根据三角形的外角得出NAPC=/PCE+NPEC=NPCE+/ZME=2NQCF+2NBAE=2（Z

QCF+NBAE),最后根据ZAQC=ZQCF+《BAE即可得出NAPC=24AQC.

(3)连接RQ,舁媪长RQ,连接KP并延长‘RP,利用三角形的外角得424QC=NARC+/QCR+」d4R,

从而得出2/AQC=2/4RC+2/QCR+2/0AR①，根据/4PCuNARC+2/QAA+2/QCR@,由①心

②即可得出2ZAQC-ZAPC=ZARC.

【解答】解:Y1)'：A