2021年中考数学总复习：25 正方形（解析版）

2021年中考数学总复习：专题25正方形问题

1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质：

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的

小等腰直角三角形；

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3.正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。

二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。

4.正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b,S=a2=—

2

【例题1】（2020•台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形

地砖面积为a,小正方形地砖面积为4依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形4腼.则正方形/腼

的面积为.（用含a,6的代数式表示）

D

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【答案】砧b.

【解析】如图，连接DK,DN,证明S四边形DU\T=SADK'U即可解决问题.

4

如图，连接册DN,

V/KDN=/MDT=9G,

：・4KDM=4NDT,

YDK=DN,/DKM=/DNT=43。,

・•・△眺侬(AS4),

S^DKM=S^MTf

S四边形即，=Sk/M、=-39

正方形力拉力的面积=4x-a^b=a+b.

4

【对点练习】（2019•广西贺州）如图，正方形力腼的边长为4,点£是切的中点，AF平分4BAE交.BCW-

点尸，将绕点4顺时针旋转90°得AABG,则"■的长为.

GBFC

【答案】6-2娓.

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【解析】作£归_助于"，胡'J_4G于"如图，易得四边形）如为矩形，则/^=4,

•；正方形力腼的边长为4,点£是切的中点，

：.DE=2,

:，AE=yj^2^22,

△/庞•绕点/顺时针旋转90°得△力6G,

:.AG=AE=2娓,BG=DE=2,/3=N4,/勿£=90°,NABG=NA90°,

而/4比三90°,

...点G在"的延长线上，

••"产平分/协6交8c于点F,

.,.Z2+Z4=Z1+Z3,即为平分/物〃，

:.FN=FM=4,

-LAB^GF^^F^AG,

22

.•.G尸=4'2匹=2旄,

4

：.CF=CG-/=4+2-2遥=6-2遥.

故答案为6-2遥.

【例题2】（2020•青岛）如图，在正方形4必?中，对角线”■与勿交于点。，点《在刃的延长线上，连接

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心点尸是四的中点，连接冰交助于点G.若〃£=2,。尸=3,则点力到〃尸的距离为

【答案】

【解析】根据正方形的性质得到4。=〃。，N/〃C=90°,求得/力以=90°,根据直角三角形的性质得到加

=AF=EF=3AE,根据三角形中位线定理得到尸G=3£=1,求得4>=徵=4,过/作MCLZF于〃，根据相似

三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

•.•在正方形ABCD中,对角线4C与劭交于点0,

：.AO=DO,N/〃C=90°,

.•./1朦=90°,

•.•点户是如'的中点,

:.DF=AF=EF=/AE,

...。尸垂直平分AD,

：.AG=DG,:.FG=：DE=1,

'：0F=2,：.0G=2,

■:AgCO,:.CQ20G=4,."g折4,

过A作A/LLDF于H,:.ZH=NADE=9Q°,

■:AF=DF,：.4ADF=/DAE,：./XADH^/\AED,

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.AH_AD

**DE~AE

：.AE=y/AD2+DE2=V42+22=2后

.AH4.,475

…一=-F，..ALH=----，

22V55

即点A到%'的距离为乎

【对点练习】（2019内蒙古包头）如图，在正方形被力中，AB=1,点、E,尸分别在边比'和缪上，AE^AF,

/胡尸=60°,则行1的长是（）

A.近+1B.返C.V3-1D.2

423

【答案】C

【解析】I•四边形46如是正方形，

:.ZB=ND=/BAD=9Q°,AB=BC=CD=AD=\,

在RtZ\4跖和RtZ\4〃尸中，!杷二AF,

|AB=AD

...RtZU6@Rt△被(HL),

NBAE=ZDAF,

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：/£4尸=60°,

:.NBAE+NDAF=3C,

：.ZDAF=15Q,

在4〃上取一点G,使/加=/加厂=15°,如图所示:

：.AG=FG,Z2?6F=30°,

：.DF=^FG=^AG,DG=4ZDF,

设DF=x,贝AG=FG=2x,

,：4卅DG=AD,

2x+{^x=1,

解得：x—2--73,

:.DF=2-M，

：.CF=CD-DF=\-(2-V3)=V3-1;

故选：C.

【例题3】(2020•湘西州)如图，在正方形/腼的外侧，作等边三角形4龙，连接跳；CE.

(1)求证：△胡修△颂'；

(2)求//项的度数.

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B

【答案】见解析。

【解析】利用等边三角形的性质得到/EAD=/EDA=60°,利用正方形的性质得到力〃=力〃

=CD,ZBAD=ZCDA=90°,所以N£48=N&%=150°,然后根据“SIS”判定△加&Z\C阳

先证明AB=AE,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算N/1缈的度数.

(1)证明：・・•△力应为等边三角形，

:・/AD=AE=DE,ZEAD=ZEDA=&0°,

・・•四边形ABCD为正方形,

：.AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA=90°,

：.AEAB=AEDC=\^°,

在△氏法和40定中

(AB=DC

ZEAB=NEDC,

MF=DE

・・・△为隹△侬(SIS)；

(2)*：AB=AD,AD=AEf

：.AB=AEf

:・/ABE=/AEB,

•・・N£46=150°,

AZABE=-(180°-150°)=15°.

2

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【对点练习】(2019湖南株洲)如图所示，已知正方形明心的顶点。为正方形165对角线〃；做的交点,

连接破DG.

(1)求证：△戊必△%>£1；

(2)若DGLBD,正方形/笈力的边长为2,线段4。与线段比相交于点肌/LI/=-,求正方形阳忆的边长.

【答案】(1)见解析；(2)2娓.

【解析】解:

(1):正方形与正方形第七，对角线47、BD

：.DO=OC

'：DBLAC,：.ND0A=4DOC=9Q°

*：4GOE=90°,/.ZGOIAZDOE^Z£>OE+ZCOE^900

：.ZGOD=ACOE

'：GO=OE

.•.在△〃宓和△口定中

rDO=OC

'ZGOD=ZCOE

GD=OE

:.△DOG^XCOE(S4S)

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(2)如图，过点"作物/_!_〃。交〃。于点〃

,.・4犷=一1，DA=2,:・DM=3d

22

・・•/劭%=45°

.,..)#/=ZW=sin45°•加1=3^0,Z?(7=cos45°•DA=42

C.HO^DO-DH=M-

在R3/H0中，由勾股定理得

SJMH2+HC|2=J(¥产+(乎)2=喙

■:DG1BD,MH工DO,：.MH//DG

二易证△。的s△如C

V2返

嚼常嗫嚼得…

则正方形阳石的边长为2娓.

专题点对点强化训练

—•、选择题

1.（2020•河南）如图，在△?1%中，N4必=90°,边回在x轴上，顶点48的坐标分别为（-2,6)和

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(7,0).将正方形效应沿x轴向右平移，当点£落在46边上时，点〃的坐标为()

A.2)B.(2,2)C.(-,2)D.(4,2)

24

【答案】B

【解析］根据已知条件得到4C=6,OC=2,如=7,求得8。=9,根据正方形的性质得到%'=。。=侬=2,

求得0，F=0，C'=2,根据相似三角形的性质得到6。=3,于是得到结论.

如图，设正方形。‘CO'E'是正方形位%'沿x轴向右平移后的正方形，

•.•顶点48的坐标分别为(-2,6)和(7,0),

.,"C=6,OC^2,OB=7,

:.BC=9,

•••四边形。侬是正方形，

:.DE=OC=OE=2,

：.O'E'=0'C=2,

'：E'O'LBC,

：.ABO'E'=/6。=90°,

：.E'O'//AC,

：./\BO'E'sXBCA,

.E'O'BO'

••-------=------，

ACBC

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・--BO'

**6-9

：.BOl=3,

/.OC=7-2-3=2,

.•.当点£落在边上时，点〃的坐标为（2,2）.

2.（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副

中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则

这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

【答案】D

【解析】根据要求拼平行四边形矩形即可.

中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2,如图所示:

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用中国的七巧板拼日本七巧板的拼法

故选：D.

3.（2020•温州）如图，在口△相，中，N4⑦=90°,以其三边为边向外作正方形，过点C作CTiLAG于点

R,再过点C作的2_。?分别交边场BH于■息P,Q.若QH=2PE,倒=15,则次的长为（）

A.14B.15C.8V3D.6V5

【答案】A

【分析】如图，连接空CH.设4?交也于/证明△的s△他。，推出卷=釜=案=；,由加=15,可

CQCHHQ2

得AC=5,CglO,由£&C41：2,推出AGBC=\：2,设〃-a,BC=2a,证明四边形力6Q7是平行四

边形，推出48=&=10,根据id+bdun）,构建方程求出a即可解决问题.

【解析】如图，连接灰；CH.设四交4?于/

FRG

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,/四边形ACDE,四边形8C7”都是正方形,

:・/ACE=/BCH=43°,

VZACB=90°,Na7=90°,

:・/ACE+/ACm/BCH=\那,/ACB"BCI=9。。

:・B,C,〃共线，A,3/共线，E、a〃共线，

,:DE〃AI〃BH,

：2CEP=4CHQ,

'：ZECP=ZGC//f

[△ECP^XHCQ,

.PC_CE_EP_1

.*CQ-CH-HQ-2,

YPQ=\5,

:,PC=5,eg10,

•:EC：CH=\：2,

：.AC：BC=k2,设4。=a,BC=2a,

YPQICR,CRLAB,

：.CQ//AB.

9：AC//BQ,CQ//AB,

・・・四边形力以七是平行四边形，

：.AB=CQ=\Q,

♦:Ad+BG=AM

・・・54=100,

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/.a=2V5(负根已经舍弃),

..“C=2V5,BC=4痘,

'：^AC-BC=^AB'CJ,

■:JR=AF=AB=\Q,

：.CR=CJ+JR=\\

4.(2020•南京)如图，在平面直角坐标系中，点。在第一象限，。尸与x轴、y轴都相切，且经过矩形/败

的顶点C,与6c相交于点〃.若。户的半径为5,点力的坐标是(0,8).则点〃的坐标是()

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【答案】A

【分析】设。。与x、y轴相切的切点分别是尺£点，连接战PF、PD,延长即与切交于点C,证明四边

形如亦为正方形，求得8,再根据垂径定理求得徵，进而得PG、DB,便可得。点坐标.

【解析】设。。与x、y轴相切的切点分别是尺£点，连接反PF、PD,延长〃与口交于点G,

则必'_Ly轴，用Lx轴，

•.•NA*=90°,...四边形如用是矩形，

•:PE=PF,必〃明...四边形必所为正方形，

：.OE=PF=PE=OF=5,

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'：A(0,8),・・・勿=8,：.AE=8-5=3,

•・,四边形以密为矩形，：.BC=OA=8,BC//OA,AC//OB,

：.EG//AC.

・・・四边形月夕GC为平行四边形，四边形施诩为平行四边形，

:・CG=AE=3,EG=OB,

♦：PE工AO,AO//CB,:.PGLCD,:・CD=2CG=6,：.DB=BC-CD=8-6=2,

■:PD=\,DG=CG=3,

:・PG=4,・•,仍=£Z；=5+4=9,：.D(9,2).

5.(2020•天津)如图，四边形仍切是正方形，。，〃两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,

则点C的坐标是()

y八

D-------------------------iC

万Bx

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

【答案】D

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【解析】利用正方形的性质求出OB,BC,制即可.

•.•四边形的是正方形，

：.OB=BC=CD=OD,ACDO=ACBO=^°,

'：0,。两点的坐标分别是（0,0）,（0,6）,

：.OD=6,

：.OB=BC=CQ6,

，C（6,6）.

二、填空题

6.（2020•连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点以N的坐标分别为（3,

9）、（12,9）,则顶点4的坐标为.

A

【答案】（15,3）.

【解析】由图形可得物"X轴，网'=9,以，〃y轴，可求正方形的边长，即可求解.如图,

%

~Ox

•••顶点欣A'的坐标分别为（3,9）、（12,9）,

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...朗V〃x轴，朗V=9,BN//y^,

...正方形的边长为3,

:.BN=6,

.,.点B（12,3）,

'：AB//MN,

."勿x轴,

二点力（15,3）

7.（2020•绍兴）如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图

2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为.

图1图2

【答案】4V5.

【解析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的

另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可.由

题意可得，

直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,

故直角三角形的另一条直角边长为：V32-22=V5,

故阴影部分的面积是：等x4=4b

8.（2020•天水）如图，将正方形旃放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点£的坐标为（2,3）,则

点/的坐标为.

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【答案】(-1,5).

【解析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点尸的坐标.

如图，过点£作了轴的垂线力/,垂足为//.过点G作x轴的垂线GZ垂足为弘连接眼而交于点。'.

•.•四边形如皆是正方形，

：.OG=EO,A0E11,ZOGM=ZEOII,

在△%V与中，

rZOGM=/EOH

OG=EO

"OM=ZOEH

：./\OG^/\EOHCASA)

：.GM=OH=2,OM=EH=3,

：.G{-3,2).

：.O'(-p

•••点/与点。关于点。对称，

...点尸的坐标为(-1,5).

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9.（2020•德州）如图，在矩形四口中，AB=V3+2,AD=如.把沿芯折叠，使点。恰好落在四边上

的〃处，再将△4®'绕点？顺时针旋转a,得到反T,使得£4'恰好经过加'的中点凡A'D"交

力8于点G,连接附'.有如下结论：①4尸的长度是历一2；②弧Z74的长度是野h③△/4恒△/

EG；④△加'FsXEGF.上述结论中，所有正确的序号是.

【答案】①②④.

【解析】:•把力〃沿四折叠，使点。恰好落在四边上的〃'处,

E=9Q°=ADAD,AD=AD,

...四边形/丽是矩形，

又,：AAAD=陋,

四边形/曲是正方形，

:.AgAD=DE=DE=取,AE=y/2AD=V6,/EAD=NAEU=45°,

：.DB=AB-AD=2,

•.•点尸是即中点，

：.U尸=1,

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：.EF=JDZE2+DfF2=VT+T=2,

\•将△/!£»'绕点£顺时针旋转a,

:.AE=AE=巫,NDED'=a,£EAD'=Z.EAD=45°,

.-.//■=V6-2,故①正确；

；tan/曲=—=-^=—,

DzEV33

"FED=30°

・・・a=30°+45°=75°,

.•.弧DD"的长度=二三等=等31，故②正确；

18012

'：AE=AE,AAEA=75°,

：.AEAA=ZEAA=52.5°,

m=7.5°,

,?ZAA'F丰Z£4'G,AAAE丰ZEAG,ZAFA'=120°^ZEA'G,

:NA尸与△/必不全等，故③错误；

'：DE=O'E,EG=EG,

ARtAAZ/侬Rt△物‘GQ心,

：.AOGE=ZZ?'GE,

'：乙AG0'=Z/AG+ZAA'G=105°,

:.NDGE=32.5。=NAA'F,

又,.•//必'=4EFG,

：.△力用sXEFG,故④正确,

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故答案为：①②④.

10.（2020•攀枝花）如图，在边长为4的正方形眼力中，点反尸分别是微切的中点，DE、/1交于点G,

力厂的中点为〃，连接跖、DH.给出下列结论：

①AF_LDE；®DG=|；③HD〃BG；④△ABGs/\DHF.

其中正确的结论有.（请填上所有正确结论的序号）

【解析】故答案为：①④.

【分析】证明△』勿再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到/以/=90°,可判断①，再利

用三角形等积法■可算出的,可判断②；再证明N〃叩=NNBAG,求出4G,DII,HF,可判

注丛ABG〜丛DHF,可判断④；通过｛氏/lG,得到//比和不相等，则/左吩/哪,可判断③.

【解析】•••四边形/腼为正方形，

：.ZA/JC^ZBCD^90Q,AD^CD,

和?分别为9和W中点，

:.DF=Eg2,

:NDFaXDCE（必S）,

:.4AFD=/DEC,ZFAD=/EDC,

'：4EDC+NDEC=9Q°,

:./EDC+/AFD=9Q°,

:.NDGF=9Q°,即〃EL/F,故①正确;

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•.3片4,DF="g2,

2

：.AF=V42+22=2V5,

:.DG=ADXDFaW，故②错误；

•.•〃为力尸中点，

：.HD=HF=-AF=V5,

2

：.4HDF=/HFD,

■:AB〃DC,

：.ZHDF=ZHFD=/BAG,

'：AG=y]AD2-DG2=竽，48=4,

.AB_AB_4遍_AG

••DH-HF-5-DFf

:.△ABG-XDHF,故④正确；

:.NABG=2DHF,而止MG,

贝lJ/4%7和N4®不相等，

取乙AGB^NDHF,

故必与居不平行，故③错误。

11.（2020•咸宁）如图，四边形4?必是边长为2的正方形，点《是边比'上一动点（不与点8C重合），Z

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4尸=90°,且环1交正方形外角的平分线于点凡交位于点G,连接有下列结论:

①2ABMXECG；

②AE=EF；

③NDAF=NCFE；

④△处的面积的最大值为1.

其中正确结论的序号是.（把正确结论的序号都填上）

【解析】①②③.

【分析】①由NAEB+NCEG=NAE班NBAE得NBA£=NCEG,再结合两直角相等得△/施

②在曲上截取⑸Q」班,易得△跖V为等腰直角三角形，则N5监'=45°,所以监'=135°,再利用等角的

余角相等得到/物£=/砒；于是根据aASr可判断△4席^^£5则根据全等三角形的性质可对②进行

判断；

③由/物伤（■/的b=45°,ZCEF+ZCFE=45°,可得出/的尸与/板的大小关系，便可对③判断;

④设应"=x,则®/=x,AQAB-BM=4-x,利用三角形面积公式得到第现=3x・（2-x）,则根据二次函数

的性质可得心演的最大值，便可对④进行判断.

【解析】①•••四边形/腼是正方形，

:.NB=NECG=9Q°,

VZ^=90°,

ZAEB+ZCEG=ZAEB+ZBAE,

：.4BAE=/CEG,

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:.XABESMECG,

故①正确；

②在物上截取驯=跖如图1,

图1

・・•四边形ABCD为正方形,

・・・N8=90°,BA=BC,

・・・△跖V为等腰直角三角形,

:・NBME=45°,

・・・N4〃=135°,

*：BA-BM=BC-BE,

:.AM=CE,

Th为正方形外角平分线，

：.ZDCF=45°,

AZfCF=135°,

VZ^=90°,

:"AEB+/FEC=9C,

而N4黝■NR4E=90°,

・・・/BAE=/FEC,

在姐和△仇万中

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(ZMAE=NCEF

<AM=EC，

\ZAME=/ECF

:.△4Ml\ECF,

:・AE=EF,

故②正确；

③.：AE=EF,N45尸=90°,

：.ZEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

*：/BAE+/CFE=/CER/CFE=45°,

：.4DAF=4CFE,

故③正确；

④设BE=x,则BM=x,AM=AB-8M=4-x,

S4ECF=百一*x*Q2-x)=—(%~1)H—,

222

当x=l时，&附有最大值点

故④错误.

12.(2020•河南)如图，在边长为2位的正方形加力中，点反厂分别是边旅a'的中点，连接aFD,

点、G,//分别是EC,网的中点，连接67/,则打的长度为.

【解析】1,

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【分析】设阴"交于“根据正方形的性质得到N8=N比尸=90°,BC=CD=AB,根据线段中点的定义

得到6£=(附根据全等三角形的性质得到位=加，/BCE=ZCDF,求得加工龙，根据勾股定理得到但

DF=J(2V2)2+(V2)2=V1O,点G,〃分别是EC,9的中点，根据射影定理即可得到结论.

【解析】没DF,应交于。，

•.•四边形46切是正方形，

:.NB=NDCF=9Q°,BC=CD=AB,

,:点、E,尸分别是边46,重的中点，

：.BE=CF,

:.△CBgRDCF(弘S),

：.CE=DF,』BCE=4CDF,

■：4CDR2CFD=gQ°,

：.NBCE+NCFD=9G,

.,./CF=90°,

C.DFA.CE,

：.CE=DF=J(2&)2+(伪2=^o,

•:点G,〃分别是£C,外的中点，

：.CG=F//=—,

2

■:/DCF=90°,COLDF,

：.CFL=OF-DF,

.CF2(一)2V10

・・Oncr==y—1=,

DF\/To5

第26页共35页

：.0H=壁,()[)=吗,

105

•：oG=o卜oi),

：.0C=型X』出,

7555

：.0G=CG-0C=~~—=—,

2510

22

HG=y/OG+OH=7—io+—io=1

三、解答题

13.（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形/四中，点£为对角线〃'上一动点（点£与点4、61不重

合），连接战作叫让然交射线为于点E过点£作助平〃回分别交切、48于点以N,作射线加■交射线

。于点G.

（1）求证：EF—DE\

（2）当AF=2时，求必■的长.

【答案】见解析。

【分析】（1）要证明*%只要证明△凰犷即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以

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得到△〃物用尸的条件，从而可以证明结论成立；

(2)根据勾股定理和三角形相似，可以得至I」4G和8、"的长，然后即可得到必的长.

【解答】(1)证明：・・•四边形四缪是正方形，〃'是对角线，

；・二夕C"=45°,

MN//BQNH6¥=90°,

・・・/川浙介/庆浙=180°,/MNB+/B=180°,

工NA欣;=90°,N版@=90°,

MEC=/MCE=45°,/DME=/ENF=90°,

:・MC=ME,

YCD=MN,

:・DM=EN,

.：DELEF,/ED於ZDEM=90°,

・・・N娇=90°,

：.ZDE^ZFEN=W°,

:・/EDM=/FEN,

在△〃团和△酸厅中

(NEDM=NFEN

<DM=EN,

\ZDME=NENF

・•・△〃修△切昭(ASA),

：.EF=DE；

(2)如图1所示，由(1)知，△加蛇△或E

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:・ME=NF,

•・,四边形期V%是矩形，

：.MC=BN,

又•：ME=MC,A8=4,AF=2,

：.BN=MC=NF=\,

•：NEMC=90°,

JCE=V2,

•：AF//CD,

：.l\DGCs[\FGA,

.CD_CG

••AF=AG，

.4_CG

**2-AG"

YAB=BC=4,NB=90°,

・・・/C=4VL

U：AC=AG^GQ

・“4-\/2”8\/2

••71Cz-，CM—，

33

GE=GC-CE=^-y/2=~

如图2所示，

同理可得，FN=BN,

；力厂=2,48=4,

：.AJV=1,

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•：AB=BC=4,N8=90°,

：.AC=Ay[2,

•：AF//CD,

:ZAFSXGCD,

,AFGA

►•=，

CDGC

BP-=---r,

4AG+4\f2

解得，AG=MI,

■:A-NE=\,NE/=90°,

：.AE=V2,

/.GE=GA+AE=5版

14.(2019湖南湘西州)如图，在正方形月6切中，点后尸分别在边切，ADk,且〃、

=CE.

(1)求证：△/母丝△哪,：

(2)若48=4,4尸=1,求四边形班加的面积.

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【答案】（1）见解析；（2）12.

【解答】（1）在跖和△鹿中

'AB=BC

-ZA=ZC=90°>

AF=CE

:.△ABF^XCBE（外S）；

（2）由已知可得正方形4及力面积为16,

尸面积=/\哪面积=,><4X1=2.

2

所以四边形瓦班的面积为16-2X2E2.

15.（2020湖北仙桃模拟）如图，E,尸分别是正方形46缪的边力，比、延长线上的点，RBE=CF,过点6

作EG//BF,交正方形外角的平分线CG于点C,连接GF.求证：

(1)AE1BF；

（2）四边形81%少是平行四边形.

【答案】见解析。

【解析】由必S证明得出4£=朋4BAE=/CBF,由平行线的性质得出/斯=证出

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AE1EG,即可得出结论；延长46至点P,使B七郎,连接卅则4°=幽/戚=90°,证明△仍能△

及K得出AE=EG,证出EG=BF,即可得出结论.

证明：（1）•••四边形/四是正方形，

:"B=BC,/胸=/6G9=90°,

:./ABE=NBCF=9Q°,

'AB=BC

在△/应1和△氏/中，，NABE=NBCF,

BE=CF

：4AB•l\BCF（弘S）,

：.AE=BF,ABAE=ACBF,

'：EG//BF,：.NCBF=4CEG,

■:NBAE+NBEA=9Q°,:./CEMNBEA=9Q°,

：.AELEG,:.AELBF；

（2）延长48至点只使BPBE,连接以，如图所示：

WJAP^CE,/EBfO°,