2021年中考数学培优综合训练（有答案）

2021年中考数学培优综合训练

班级姓名

选择题（共10小题）

1.有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把

它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜

D.黑

2.如图数轴的4、B、。三点所表示的数分别为a、b、c.若引=3,%-c|

=5,且原点。与力、5的距离分别为4、1,则关于。的位置，下列叙述何者

正确？（）

A.在4的左边B.介于/、6之间

C.介于3、。之间D.在C的右边

3.已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任

’4x>3（x+l）

意抽出一张，记卡片上的数字为a,则使关于x的不等式组x-1/有解

2x-^（a

的概率为（）

A.2B.1C.1D.§

9399

4.若实数aWA且a,6满足3-8a+5=0,8-865=0,则代数式0户工的

a-lb-l

值为（）

A.-20B.2C.2或-20D.2或20

5.对于每个非零自然数〃，抛物线y=*-学匕矛+丁。与x轴交于4,B,,

n（n+l）n（n+l）

以⑷表示这两点间的距离,则川+|4㈤+…+|心加』的值是（）

A2017B2016c2017D2018

,2016'2017'2018'2017

6.如图，从欧各顶点作平行线/〃〃座〃死；各与其对边或其延长线相交于

D,E,F.若△力比'的面积为1,则△颂的面积为（）

C.5D.2

2

7.半径为2.5的圆。中，直径48的不同侧有定点。和动点P,已知BC：0=4：

3,点尸在弧16上运动，过点C作〃的垂线，与分的延长线交于点0,则

制的最大值为（）

A.25B.20C.西D.1

4332

8.如图，二次函数尸af+6x+c（aWO）的图象经过点（1,2）且与x轴交点的

横坐标分别为X\,x2,其中-1<X2<2,下列结论：4a+2Zr+-c<0,

2a+b<0,Z?2+8a>4ac,a<-1,其中结论正确的有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.直线y=0x（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是整点（横坐

标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）

A.6条B.7条C.8条D.无数条

10.如图，在菱形眼力中，AB=BD.点昆少分别在力队49上，且4£=加.连

接BF与膜相交于点G,连接CG与8〃相交于点H.下列结论：

①△力电△盛②S四边以酒=返第；③若AF=2DF,则比-6少.

4

其中正确的结论（)

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

二.填空题（共8小题）

11.观察下列关于x的单项式，探究其规律：x,3*,57,7总9/,11/,-

按照上述规律，第2019个单项式是.

⑵12靖1勺/宇2、+/（彳北2宇3、+（J可？2？3芍4）、+.“+（,而1怎2+…项48项49、）=

13.如图，在直角坐标系中，已知点R的坐标为（1,0）,将线段仍按照逆时

针方向旋转45°,再将其长度伸长为例的2倍，得到线段加；又将线段如

按照逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP、的2倍，得到线段OP*如此下去，

得到线段砒，OP、，…,祀（〃为正整数），则点A的坐标为.

14.已知心是关于t的二次函数6=-3/+6Z+/■的图象与x轴两交点的横坐

标，且x=10%,y=10tz＞那么了与x间的函数关系式为

15.如图所示：在平面直角坐标系中，40%的外接圆与y轴交于4（0,我）,

40cB=60°,/COB=45°,则OC=.

16.如图所示：两个同心圆，半径分别是2遍和砥，矩形力坑刀边46,切分别

为两圆的弦，当矩形/腼面积取最大值时，矩形⑦的周长是

17.直线［：9=江5代12(AWO),当A变化时，原点到这条直线的距离的最大

值为.

18.将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，

一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒

子均恰好装满，则不同的装法总数为.

三.解答题(共6小题)

19.先化简分式：(a-3a+4)+三2•空也，再从-3、遥-3、2、-2中选一个

a+3a+3a+2

你喜欢的数作为a的值代入求值.

20.已知关于x的方程|V+2px-3/+5|-q=0,其中0、q都是实数.

(1)若q=0时，方程有两个不同的实数根%及，且-L4=工，求实数。的

X1x27

值.

(2)若方程有三个不同的实数根为、胸、吊，且」_」上=0,求实数0和

X1x2x3

q的值.

21.如图，在△/比'中，/"1仁60°,。是AB上一点,AC=BD,尸是切中点.求

证：AP=^BC.

2

22.如图，四边形/式》内接于。0,四是。。的直径，〃'和劭相交于点反且

DC=CEXCA.

(1)求证：BC=CD

(2)分别延长四，加交于点八若PB=OB,CD=2e求。。的半径.

D

23.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点4（11,0）、

B（0,6）,点尸为6。边上的动点（点尸不与点点B、。重合），经过点0、P

折叠该纸片，得点夕和折痕OR没BP=t.

（1）如图1,当N优归=30°时，求点尸的坐标；

（2）如图2,经过点尸再次折叠纸片，使点。落在直线加'上，得点C和

折痕网,若AQ=m,试用含有Z的式子表示加；

（3）在（2）的条件下，当点。'恰好落在边力上时如图3,求点夕的坐标

（直接写出结果即可）.

例如点（1,1）,（-2,-2）,（V2，&），…都是“梦之点”，显然“梦

之点”有无数个.

（1）若点尸（2,m）是反比例函数尸且（〃为常数，〃W0）的图象上的“梦

X

之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数尸34x+s-1（£s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，

请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数尸（a,力是常数，a>0）的图象上存在两个“梦

之点”力（及,由），8（吊，及），且满足-2V*<2,\xx-x2\=2,令t=6-

2加里，试求Z的取值范围.

48

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把

它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜

D.黑

【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红

判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄,

与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解.

【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，

与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，

所以，白的对面是蓝，

与绿相邻的有白、黑、蓝、红，

所以，绿的对面是黄，

与红相邻的有绿、蓝、黄、白，

所以，红的对面是黑，

综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄.

故选：C.

2.如图数轴的/、B、。三点所表示的数分别为a、b、c.若\b-c\

=5,且原点。与/、6的距离分别为4、1,则关于。的位置，下列叙述何者

正确？（）

A.在4的左边B.介于46之间

C.介于反C之间D.在C的右边

【分析】由4、6、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可

得出，=齐3,。=加5,再根据原点。与/、8的距离分别为4、1,即可得出a

=±4、6=±1,结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得

出结论.

【解答】解：：a-引=3,\b-c\=5,

••b--3,c—~ZT^5,

•••原点。与4、8的距离分别为4、1,

.'.a=±4,b—±l,

b=a+3,

a--4,b--1,

Vc=Z?+5,

c=4.

...点。介于6、。点之间.

故选：C.

3.已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任

’4x>3(x+l)

意抽出一张，记卡片上的数字为则使关于的不等式组有解

a,x2x号x-1V7

的概率为()

A.2B.1c.AD.§

9399

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情

况数目；二者的比值就是其发生的概率.

’4x〉3(x+l)

【解答】解：因为关于X的不等式组x-lj有解，

2x号<a

'x>3

所以得出a>5,

因为a取W9的整数,

可得a的可能值为6,7,8,9,共4种可能性,

’4x>3(x+l)

所以使关于x的不等式组x-1/有解的概率为且，

2x-JyL<a9

故选：C.

4.若实数aWA且a,6满足4-8a+5=0,N-8加5=0,则代数式Rjzl的

a-lb-l

值为()

A.-20B.2C.2或-20D.2或20

【分析】由于实数a#b,且a,力满足a-8a+5=0,/-845=0,则a,b

可看着方程f-8x+5=0的两根，根据根与系数的关系得升6=8,ab=3,然

后把…+a-l通分后变形得到(b[l)：+(a22,再利用整体代入的方法计算.

a-1b-1(a-l)(b-l)

【解答】解：:a,8满足，-8a+5=0,6?-8卅5=0,

...a,。可看着方程V-8户5=0的两根，

.•.a+6=8,ab=3,

b~~l+&-1=(b-1)：

a-lb-1(a-1)(b-l)

=(a+b)2-2ab~~2(a+b)+2

ab-(a+b)+l

2

=8-2X5-2X8+2

5-8+1

=-20.

故选：A.

5.对于每个非零自然数77,抛物线y=V-y+1~+-,1、-与x轴交于4,B〃

n(n+l)n(n+l)

以〃表示这两点间的距离，则|4川+|也因+…+|4仇7&M的值是()

A2017B.2016.C2017口2018

一201620172018-2017

【分析】y=y-2n+l>1(x-A)(X--J」)，可求抛物线与X轴

n(n+l)n(n+l)nn+1

的两个交点坐标，所以48|=工-」_,代入即可求解;

nn+1

【解答】解：y=x-2n+1—I—=(x-工)(x-，)，

n(n+l)n(n+l)nn+1

：.A„(1,0),B„C-L.,0),

nn+1

|/闻=上-工

nn+1

|A\BX|+1A2RI+•••+1A2onB2a\71=.11+__A+__A+'"+----=1--1—

122334201720182018

=2017：

2018'

故选：C.

6.如图，从各顶点作平行线/〃〃龙〃比；各与其对边或其延长线相交于

D,E,F.若△/6C的面积为1,则△叱的面积为（）

A.3B.V3C.AD.2

2

【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△/庞和△/切在底边/〃上的

高相等，ZUM和△4/在底边上的高相等，△应F和△龙C在底边座上

的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即

可.

【解答】证明：'：AD//BE,AD//FC,FC//BE,

.•.△4应和△?!初在底边4〃上的高相等，△/1加和△4%在底边4。上的高相

等，△颂和△应1。在底边应1上的高相等，

=

••>$A.WS/\MK，SGB*=S/\BK'，SHA*尸S4HKF-5k筋T_S&M；E=Sx/W

••5kW=5A.W/-+Sl\AEF—5A,|®+Sti.ADC^S^AI)C=2

即S△班F=2S&MC.

••5AZB/'=2i

故选：D.

7.半径为2.5的圆。中，直径的不同侧有定点C和动点P,已知BQ。=4：

3,点尸在弧力8上运动，过点。作”的垂线，与处的延长线交于点Q,则

S的最大值为（）

TB.ft*

【分析】由勾股定理可求60,力。的值，通过证明可得至0,

PCCQ

可得攵=9pc，当尸。是直径时，8的最大值=名义5=殁.

333

【解答】解：•••”是直径，

：.AB=5,ZACB=90°,

:.ABt=Adl+se,且8a。=4：3,

:.BC=4,/O=3,

,.•/力=/尺/ACB=/pcgg0°,

:、XACBs^PCQ,

•••-A-Czz-C-B-,

PCCQ

-弋PC，

当尸。最大时，。有最大值,

，尸。是直径时，⑦的最大值=名义5=&1,

33

故选：B.

8.如图，二次函数尸af+6x+c（aWO）的图象经过点（1,2）且与x轴交点的

横坐标分别为Xi，其中-IV&VO,\<X2<2,下列结论：4a+2ZH-<?<0,

2a+6<0,4+8a>4ac,a<-1,其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c

的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结

论进行判断.

【解答】解：由抛物线的开口向下知aVO,

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c>0,

对称轴为x=上V1,

2a

Va<0,

/.2c?+/?<0,

而抛物线与x轴有两个交点，.・・万-4ac>0,

当x=2时，y=4a+2>cVO,

当x=l时，a+加c=2.

4ac~b2>2

4a

JAac-6V8a,

，Z/+8a>4ac,

•・•①a+Hc=2,贝ij2卅2〃2c=4,

②4a+2/cV0,

③a-什cVO.

由①，③得到2天2cV2,

由①，②得至（J2a-eV-4,4a-2cV-8,

上面两个相加得到6aV-6,

/.a<-1.

故选：D.

9.直线y=〃x（2是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是整点（横坐

标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）

A.6条B.7条C.8条D.无数条

【分析】联立直线y="与直线/=田10,求出〃的取值范围即可求得结果.

【解答】解：联立直线y=Px与直线了=户10,（y=px,

ly=x+10

得"=A+IO,X=_1Q.,

p-1

为整数，夕也为整数.

••/的取值范围为：-9W711,且片1,肝0.

而.10=2X5=1X10,

有四条直线，

QWO,-9〈尸V0,只有三条直线，

那么满足条件的直线有7条.

故选：B.

10.如图，在菱形中，AB=BD.点、E、尸分别在/6、/〃上，且/£=〃.连

接BF马龙相交于点G,连接）与劭相交于点H.下列结论：

①XAE哙l\DFB：②S四娜叱=返8；③若AF=2DF,则8G=6或

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

【分析】①易证△/切为等边三角形，根据“必S”证明△力酒△〃儆

②证明N8G6=60°=4BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆，因此N8GC=

/DGC=60°,过点。作。匕⑦于弘CN'GD于N.证明△出任△◎M所以

S四边形即即=S四边形0怎\，易求后者的面积.

③过点尸作〃〃熊于尸点.

根据题意有用AE=DF：DA=\-.3,则为BE=l：6=FG：BG,即席=6防

【解答】解:①•：ABCD为菱形，："B=AD.

•:AB=BD,...△48。为等边三角形.

.\Z/l=ZW=60o.

又•：AE=DF,AD=BD,

②・：/BGE=/BDG"DBF=4BDG+/GDF=8N=/BCD,

即N庞仆/颇=180°,

点以a〃、G四点共圆，

:./BGC=』BDC=6N,NDGC=』DBC=6C.

：.4BGC=4DGC=GN.

过点。作CMLGB于M,CNLGD于N.

：.CM=CN,

vfCM=CN(

'1BC=CD'

:ZBgXCDN、(HL)

•・s四边形应决;=S四边形c照;”

S四边形(加八=25kcw”

ZCGM=&0°,

.*.GM=1CG,CM=&CG,

22_

S四邮0c产28.=2X工X工CGX返华=近

2224

③过点尸作用〃"于〃点.

'：AF=2FD,

:.FP：AE=DF：DA=\-.3,

*：AE=DF,AB=AD,

:.BE=2AE,

:.FP：BE=k3=FG：BG,

即BG=6GF.

二.填空题（共8小题）

11.观察下列关于x的单项式，探究其规律：x,37,57,7x',9/,11/,-

按照上述规律，第2019个单项式是4037x^9.

【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、

2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决.

【解答】解：,.'x,3Y,5x\lx,9x,11/,­­•

...第〃个式子是（2z?-1）x",

当n=2019时，对应的式子为4037/1

故答案为：4037Z19.

io1J2、J23、J234、/I24849、=

,丁行力升勺力力"G？？？升…+（行怎卡…怎怎）—

612.5.

【分析】仔细观察，知原式还可以是

1,21、^32K,4321、,49481、yll=i（2l）

丁行丐）+（Wq%）+G=二曰+（而怎+怎）.又5+%,3+3

+（捐一人钞抬中=3,…依此类推可知，将原式倒过

来后再与原式相加，问题就转化为1+2+3+…+50.

2

【解答】解：设s=

1A2.,123s,1234s,124849、①

1^=2+（H）+（H4）+（H44）+（^+f++i）,②

①+②，得

2s=1+2+3+4+…+49,(3)

2s=49+48+47+…+2+1,④

③+④，得

4s=50X49=2450,故s=612.5；

故答案为：612.5.

13.如图，在直角坐标系中，已知点&的坐标为（1,0）,将线段收按照逆时

针方向旋转45°,再将其长度伸长为例的2倍，得到线段华；又将线段必

按照逆时针方向旋转45°,长度伸长为例的2倍，得到线段仍；如此下去，

得到线段例，例，…，⑰"为正整数），则点A的坐标为（256,0）.

【分析】先根据伸长的变化规律求出例的长度，再根据每8次变化为一个循

环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的返

2

倍解答即可.

【解答】解：由题意可得，0PQ=1,曲=2X1=2,

例=2X2=2?,

2

OP3=2X2=2\

/=2义23=2",

明=2X27=28=256,

；每一次都旋转45°,360°+45°=8,

...每8次变化为一个循环组，

在M的正半轴上,R(256,0),

故答案为(256,0).

14.已知21、G是关于大的二次函数s=-Bd+Gt+f的图象与x轴两交点的横坐

标，且x=10%y=10%，那么♦与二间的函数关系式为2=独(x>0)

【分析】由于尔友是二次函数s=-3t•的图象与x轴两交点的横坐标，

利用根与系数的关系可以得到小+乙=2,又x=10",y=10,2,利用同底数幕

的乘法法则计算即可解决问题.

【解答】解：♦.•小、友是二次函数s=-3d+6t+/1的图象与x轴两交点的横坐

标，

1|+Z»=2,

而x=10",尸10戊，

X尸io"X10^=10!14,2=102=100,

尸」。°一(x>0).

x

故答案为：尸独(%>0).

X

15.如图所示：在平面直角坐标系中，的外接圆与/轴交于/(0,圾)，

/宓?=60°,/C0B=45°,则OC=1+Vj.

【分析】连接AB,由圆周角定理知必过圆心〃,RtZVlSO中，易知N劭0

=/OCB=60°,已知了的=如，即可求得加的长;

过8作BDLOC,通过解直角三角形即可求得OD、BD、切的长，进而由0C=

利口求出％的长.

【解答】解：连接则为。物的直径.

双△460中，NBAO=N0cB=60°,

"•的=退/=遮义圾=泥.

过6作应4％于〃

Rt△骐?中，NC如=45°,

则0gBD=&OB=M.

2

Rt△a7?中，/狈=60°,

则5=返应仁1.

3

：.OC=CJ>OD=l+43.

故答案为：l+遍.

16.如图所示：两个同心圆，半径分别是2通和幺打，矩形四缪边小"分别

为两圆的弦，当矩形/版面积取最大值时，矩形/时的周长是16+12后.

【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析.根据锐角三角函数

的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据

这一公式分析面积的最大值的情况.然后运用勾股定理以及直角三角形的斜

边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得

其周长.

【解答】解：连接见，0D,作欢L/8于R吐/〃于弘0N1CD于N.

根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面

积的4倍.因为以，勿的长是定值，则N4切的正弦值最大时，三角形的面

积最大，即N4⑺=90°,则根据三角形的面积公式求得〃仁4,

即46=8.则矩形5的周长是16+12加.

17.直线J：y=a+5介12(AW0),当A变化时，原点到这条直线的距离的最大

值为13.

【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点(-5,12),原点与定点的距

离是原点到直线的最大距离；

【解答】解：y=&+5代12=A(A+5)+12,

二直线经过定点(-5,12),

.•.原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；

故答案为13；

18.将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，

一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒

子均恰好装满，则不同的装法总数为6.

【分析】先列出方程10x+9尹6z=108,再根据x,y,z是正整数，进行计算

即可得出结论.

【解答】解：设装10个苹果的有/盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的

有z盒，

•••每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，

/.0<^<10,0<J<11,0<z<15,且x,y,z都是整数，

则10M9尹6z=108,

•v—108-9y-6z_3（36-3y-2z）

1010

V0<x<10,且为整数，

，36-3y-2z是10的倍数，

即:36-3y-2z=10或20或30,

当36-3y-2z=10时，y=26~2z,

3

VO<><11,0<zW15,且y,z都为整数，

.*.26-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,

/.Z—-（舍）或z=10或z=H-（舍）或z=7或z=—（舍）或z=4或z

222

=区（舍）或z=l,

2

当z=10时，y=2,x=3,

当z=7时，y=4,x=3,

当z=4时，y=8,x=3

当z=l时，y=8,x=3,

当36-3y-2z=20时，y=16-2z,

3

V0<J<11,0Vz<15,且y,z都为整数，

.•.16-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,

，z=£（舍）或z=5或z—Z-（舍）或z=2或z=-l（舍）

222

当z=5时，y=2,>=6,

当z=2时，y=4,x=6,

当36-3y-2z=30时，y=.6-过,

3

V0<J<11,0VzW15,且y,z都为整数,

.".6-2z=3,

；z=旦（舍）

即：满足条件的不同的装法有6种，

故答案为6.

三.解答题（共6小题）

19.先化简分式：（a-也生）♦三2•史也，再从-3、遥-3、2、-2中选一个

a+3a+3a+2

你喜欢的数作为a的值代入求值.

【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式

的分母、除式为0.

【解答】解：原式=a+3a-3a-4.空员.生史

a+3a-2a+2

=a+3,

当a=旄-3时，原式=巫-3+3=旄.

20.已知关于x的方程|V+2px-3/+51-q=0,其中夕、g都是实数.

（1）若g=0时，方程有两个不同的实数根为也，且」一」=工，求实数0的

X1Xn7

值.

（2）若方程有三个不同的实数根小、也、冬，且求实数。和

X1x2x3

q的值.

【分析】（1）根据根与系数的关系可得△=（2夕）2-4（-3p2+5）=16^-20

>0,%+应=-20，5-3p2,代入」二二=!可得关于0的方程，解方程

12X1x27

即可；

（2）由方程有三个不同的实数根由、即、吊，可得天=-P，汨、为是方程x+2px

-3p2+5=q的两根；由根与系数的关系可得为+及=-2夕，X[X2=10-7p2，吊

=-p.△=（2/?）2-4（-7p2+10）=32p2-40>0,进而得到关于夕的方程，

解出夕即可求出q的值.

【解答】解：（1）若。=0,则方程为戈+2内-3介5=0.

因该方程有两个不同的实数为、物

可得△=(2夕)-4(-34+5)=16p-20>0,*+沃=-2,，c_o2

AYJYA2=UOn£✓

解得互；

4

由111俎11x2+xl-2p1

t±j-p---=，J^T—4----=----------------=-----------------=，

X1x27X1x2xlx25-3p27

解得p=5或，.(注意5-3//W0)

3

因为//>区,所以夕=5.

4

(2)显然q>0.方程可写成片+2/?*-3/+5=±q.

因该方程有三个不同的实数根，

即函数y「x2+2px-3P2+5与%=±0的图象有三个不同的交点，

22

q=4(5-3p)-4p=5_4p2,

，可得:X3=-P，

即1?=4p'-5.为、应是方程x+2px-36+5=g的两根,

BPV+2/ZY-7p+10=0.

则荀+及=-20，X[X2=10-7p2，为=_"

△=(2p)2-4(-7p2+10)=327-40>0,

解得/>$.

4

由上上J=0,得工^工叱5P2=o,

X1x2x3xlx2x310-7p2-P(7p-10)p

解得方=2>上，

4

所以p=±&,q=4j-5=3.

21.如图，在中，N为C=60°,〃是46上一点，AC=BD,户是切中点.求

【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形叨是平

行四边形，得DF=AC=BD,DF//AC,再证明△3/W是等边三角形，证明△48。

二△胡£(%S),可得结论.

【解答】证明：延长4户至点凡使得什=//，连结分；DF,CF,

,:P是切中点，

：.CP=DP,

二四边形40叨是平行四边形，

：.DF=AC=BD,DF//AC,

:.』FDB=』BAC=6G°,

...△应方是等边三角形，

：.BF=DF=AC,N力⑦=60。,

:./ABF=/BAC,

在△46C和△胡尸中，

，AB=BA

；ZBAC=ZABF-

AC=BF

:.XABC^XBAF(S/1S),

：.AF=BC,

:.AP=1AF=1BC.

22

22.如图，四边形力阅9内接于四是。。的直径，〃1和皮?相交于点反且

DC=CEXCA.

(1)求证：BC=CD

(2)分别延长/昆比1交于点R若PB=0B,徵=2我，求。。的半径.

［分析】(1)由小=四・。和/4刀=Z.DCE,可判断△△CDE,得到Z

CAD=ZCDE,再根据圆周角定理得/曲，所以/CDB=/CBD,于是

利用等腰三角形的判定可得BC=DC-,

(2)连结比；如图，设。。的半径为r,先证明优〃49,利用平行线分线段

成比例定理得到生a=2,则PC=2CD=4近,然后证明△尸加△必〃，利

CD0A

用相似比得到如力=匚，再利用比例的性质可计算出厂的值.

3r6V2

【解答】(1)证明：=丝・。，

•••D—C3C-A,

CEDC

而N4C/HNDCE,

...△。吐△侬，

：.Z.CAD=ACDE,

'：ACAD^ZCBD,

：.ACDB=ACBD,

:.BC=DC；

(2)解：连结比；如图，设。。的半径为r,

'：CD=CB,

•'-CD=CB>

ABOC=/BAD,

：.0C//AD,

：.PC=1CD=\42,

■:/PCB=/PAD,/CPB=4APD,

:ZCBsXPAD,

/.r=4,

即。。的半径为4.

D

C

0BP

23.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点力（11,0）、

B（0,6）,点P为用边上的动点（点〃不与点点反。重合），经过点aP

折叠该纸片，得点夕和折痕班没BP=t.

（1）如图1,当/叱=30°时，求点尸的坐标；

（2）如图2,经过点一再次折叠纸片，使点C落在直线外'上，得点C'和

折痕若4g出,试用含有，的式子表示卬；

（3）在（2）的条件下，当点。'恰好落在边力上时如图3,求点尸的坐标

（直接写出结果即可）.

30°,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求

得答案；

（2）由△如'P、△0。'〃分别是由△明\折叠得到的，可知△08'P

出如，修△0CR易证得AOBP^4PCQ,然后由相似三角形的对应

边成比例，即可求得答案；

（3）首先过点尸作皿处于后易证得△/VEs'CQA,由勾股定理可求

得C'力的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与力和t的关系，即可求

得大的值，得出"点坐标.

【解答】解：（1）根据题意，/OBP=90°,仍=6,

在Rt△胱中，由N6d30°,BP=t,得。^2Z.

'：OP=O#+BP,

即（2t）2=62+t2,

解得：£[=2①乙=-2虫（舍去）.

.•.点〃的坐标为（2爪，6）；

(2)P、。分别是由△必R△0"折叠得到的，

P^/\OBP,/\QC整△QC尸，

：.AOPB'=/OPB,/QPC=/QPC,

'：Z.OPB'+ZOPB+AQPC+/"C=180°,

：./0P//QPC=g0°,

Y/BOA乙OPB=90°,

：.ABOP=ACPQ,

又•：/0BP=/C=9G°,

:.丛OBP^XPCQ,

•OB-BP

PCCQ

由题意设鳍=3AQ=m,BC=11,力。=6,则尸。=11-Z,CQ=6-m.

\6—t：

ll-t6-m

：.m=Xt2-llf+6(0V1V11)；

66

(3)过点〃作限L以于反如图3,

:.乙PEA=LQAC=90°