2021年中考数学模拟试卷及答案解析 (十)

2021年中考数学模拟试卷

一、填空题（本大题共22小题，每小题4分，共88分）

1.（4分）二次函数y=2?+4x+3的顶点坐标、对称轴分别是.

2.（4分）设x为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是.

3.（4分）关于x的方程izx2+te+c=0的根为2和3,则方程ax1-bx-c=0的根为.

4.（4分）函数垣的自变量的取值范围是.

x-2

5.（4分）已知x为实数，且/+-1_=3,则/+二一的值是

23

xx

6.（4分）化简：侬.出德:

3^2

7.（4分）直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为.

8.（4分）若x为任意实数时，二次三项式/-6x+c的值都不小于0,则常数c满足的条件

是.

9.（4分）如图，在△ABC中，已知/C=90°,AC=60"〃，AB100cm,a、b、c…是在

△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在A8上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另

一组对边分别在BC上或与8c平行.若各矩形在AC上的边长相等，矩形。的一边长是

12cm,则这样的矩形a、氏c…的个数是.

10.（4分）如图，MN是的直径，MN=2,点A在。。上，ZAMN=30°,B为弧AN

的中点，P是直径上一动点，则以+PB的最小值为.

11.（4分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的

小正方体的个数是个.

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13.（4分）设实数“、b、c满足a<b<c（ac<0）,且期〈|目<闻，则|x-a|+|x-b|+|x+d的

最小值是.

14.（4分）一"个三角形的三条边长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+%+c=16,则

这个三角形的形状是.

15.（4分）从-2,-1,1,2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系

数总儿则一次函数丫=h+〃的图象不经过第四象限的概率是.

16.（4分）一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°,那么这个多边形

的边数是或.

17.（4分）若多项式27+3xy-2y2-x+8y-6可以分解为（x+2y+m）（2x-y+n）的形式，贝”

m3+l

n2-l

18.（4分）钝角三角形的三边长分别为4,6,8,则其面积为.

19.（4分）把正奇数依次排列成5歹IJ,如右图，则2001排在从左数第列.

1357

1513119

17192123

31292725

33353739

20.（4分）如图，已知4B是。。的直径，弦COJ_AB于H,AC=10,8=12,那么sin

ZABD的值是

21.（4分）如图，二次函数），na^+bx+cQ>。）.图象的顶点为。，其图象与x轴的交点A、

8的横坐标分别为-1、3,与y轴负半轴交于点C下面五个结论：①2a+b=0；②a+6+c

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>0；③当xWl时，y随X值的增大而增大；④当-1WXW3时，a^+bx+c<0；⑤只有

当。=工时，△ABD是等腰直角三角形.那么，其中正确的结论是.(只填你认

2

为正确结论的序号)

22.(4分)数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”,对于"6N*,满足以下运算性质：(1).2*2

=1,(2).(2〃+2)*2=3(2〃*2),则2〃*2用含〃的代数式表示为.

二、解答题：

^+3>x+i

23.(12分)(1)解不等式组《2*，并把解集在数轴上表示出来.

l-3(x-l)<C8-x

2

(2)先化简，再求代数式3二2.(a-2ab-b)的值,其中=3tan300+1,

aa

b=V2cos450.

24.(12分)已知关于x的方程7-(2k+l)x+4(k-1)=0.

2

(1)求证：无论％取什么实数值，这个方程总有实根.

(2)若等腰△ABC的一边长。=4,另两边仄c•恰好是这个方程的两根，求△ABC的周

长.

25.(12分)某校开校运会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8

人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳

和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少

人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

26.(14分)某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林

和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品.已知该超市的锦江牌钢笔每支8

元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支.

(1)如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？

(2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于

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红梅牌钢笔的数量的工，但又不少于红梅牌钢笔的数量的工.如果他们买了锦江牌钢笔X

24

支，买这两种笔共花了y元.

①请写出y(元)关于x(支)的函数关系式，并求出自变量比的取值范围；

②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？

27.(14分)如图，在RtA4BC中，ZACB=90°,以4c为直径的。0与4B边交于点。,

过点。作。。的切线，交BC于点E.

(1)求证：点E是边BC的中点；

(2)若EC=3,BD=2在,求的直径4c的长度；

(3)若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理

由.

28.(16分)在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设

这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价

格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周

末，该服装不再销售.

(1)试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；

(2)若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125(x-8)2+12.1«16,

且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？

29.(16分)设抛物线)>="2+嬴-2与x轴交于两个不同的点A(-1,0)、B(m,0),与

y轴交于点C,且NACB=90度.

(1)求，〃的值和抛物线的解析式；

(2)已知点Q(l,〃)在抛物线上，过点A的直线y=x+l交抛物线于另一点E.若点、P

在x轴上，以点尸、B、。为顶点的三角形与AAEB相似，求点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于.

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30.(16分)设4=国/+4*=0},8={4?+2(a+1)x+a2-1=0},若8a4,求实数a的取

值范围.

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2021年中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共22小题，每小题4分，共88分）

1.（4分）二次函数y=2?+4x+3的顶点坐标、对称轴分别是（-1,1）,x=-1.

【分析】根据二次函数的顶点坐标公式，即可求出其顶点坐标，横坐标所在的直线就是

其对称轴；

【解答】解：根据二次函数的性质得，

_b=4—_]4ac-b2=4X2X3-41二।

~^2a2X2'_4a-4X2

...二次函数y=27+4x+3的顶点坐标为：（-1,1）,

对称轴为：x=-1.

故答案为：（-1,1）,x=-1.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟记其顶点坐标公式，是解答的关键.

2.（4分）设x为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是

x-2Vx+1+2_-

【分析】先设丁=》+1,则丫=471，根据题意求（厂1）2即可.

【解答】解：设y2=x+l,则

那么它前面的一个完全平方数是：

（y-I）2

=9-2y+\

—x+1-2、x+1+1

—x-27x+1+2.

故答案为：x-2Nx+1+2.

【点评】主要考查了完全平方公式的运用.要熟练掌握该公式：Ca±b）2=a2±2ab+b2.

3.（4分）关于x的方程ax2+hx+c=0的根为2和3,则方程cc?-bx-c=0的根为-6和

【分析】因为方程的两个根为2和3,所以方程可以方程因式为“（x-2）（x-3）=0,

用含“的式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根.

【解答】解：,."x2+fcr+c=0的两根为2和3,

'.a(x-2)(x-3)=0.

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整理得：ax2-5ax+6a=0,

••b=~5a,C=6Q.

把b,c代入方程ax2-bx-c=0,

得：口1+5奴-6。=0,

a(x+6)(x-1)=0,

/•XI=-6,X2=l•

故答案是：-6和1.

【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后

用含。的式子表示人和c,然后把6,c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的

根.

4.(4分)函数yMEl的自变量的取值范围是且xW2.

x-2

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可

以求出x的范围.

【解答】解：根据题意得：x-120且X-2W0,

解得：且xW2.

故答案为且xW2.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考

虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

5.(4分)已知x为实数，且/+2=3,则1+-L的值是±2、/.

23----

xx

【分析】根据/+1-=3,可求出1+x的值，把变形为含有「与工+x的形式

X2Xvx3X2Xv

即可.

112

【解答】解：：/+一？=(xJ)-2=3,

x2x

故工+x=±遂，

X

又———(x+—)-1+.1.)=±J^X2

3v2

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—±2旄.

故答案为：±2近.

【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是利用完全平方公式进行变形求

解.

6.（4分）化简：您.的律:1.

3^2

【分析】本题可对根号内的项进行配方，转换成平方形式，然后进行开方，化简即可.

【解答】解：原式=-23-61[4^=叵~644^^+2

3-h/23m

=V23-6（2-V2）

3-h/2

=111+6加

3+^2

3+V2

=1

【点评】本题考查二次根式的化简求值，计算时结合（《+〃）2,注意配方结合各项之间

的关系.

7.（4分）直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为返.

一£一

【分析】利用球与其内接正方体的关系，得出球的半径与其内接正方体边长之间的关系

是解决本题的关键，发现球的直径就是其内接正方体的体对角线长.

【解答】解：设这个正方体的棱长的最大值为X,

A1B=J]2+]

,这个正方体的体对角线AlC=q（a）2+\lx=y[^x,

:球的直径为1,

:，

.x=«

••X1—1•

3_

故答案为：返.

3

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【点评】本题考查空间几何体的内外接问题，要找准球与其内接正方体之间的联系，建

立球的半径与正方体边长之间的关系，体现了转化与化归思想.

8.（4分）若尤为任意实数时，二次三项式/-6x+c的值都不小于0,则常数c•满足的条件

是c>9.

【分析】根据完全平方公式得出（x-3）2+C-9N0,根据完全平方的非负性得出c-9

>0即可.

【解答】解：x2-6x+c=x2-6x+9+c-9,

=（x-3）2+c-9^0,

V若x为任意实数时，二次三项式x2-6x+c的值都不小于0,

Ac-9^0,

；.c29.

故答案为：c29.

【点评】本题考查了对完全平方公式和二次函数与不等式的应用，解此题的关键是根据

题意得出c-920.

9.（4分）如图，在AABC中，己知/C=90°,AC=6（km,AB100cm,a,b、c•…是在

△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在4B上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另

一组对边分别在8c上或与BC平行.若各矩形在4c上的边长相等，矩形。的一边长是

12cm,则这样的矩形a、b、c…的个数是9.

【分析】根据勾股定理可以求出每阶台阶的宽，依据8C的长，即可解答.

【解答】解：如图，

易证△BDEg△EFG四△GKH空/XHLM,

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可得BD=EF=GK=HL=BC-1Q02-602-72=8。〃.

根据此规律，共有80+8-1=9个这样的矩形.

故答案为:9.

【点评】本题将勾股定理和规律的探索与实际问题相结合，有一定的难度，善于观察题

目的信息是解题以及学好数学的关键.

10.（4分）如图，MN是。0的直径，MN=2,点A在O。上，NAMN=30°,8为弧AN

的中点，P是直径上一动点，则出+P8的最小值为_及_.

【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点4、B,在直线L上有到A、B的距离之和

最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点

与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个

等腰直角三角形计算.

【解答】解：作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则P点就是所求作

的点.

此时南+PB最小，且等于AC的长.

连接。4,0C,

；.NAON=60°,

...弧AN的度数是60°,

则弧8N的度数是30°,

根据垂径定理得弧CN的度数是30°,

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则NAOC=90°,又OA=OC=1,

则AC=®

【点评】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用.

11.（4分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的

【分析】根据主视图以及左视图可得出该小正方形共有两行搭成，俯视图可确定几何体

中小正方形的列数.

【解答】解：由主视图与左视图可以在俯视图上标注数字为：

主视图有三列，每列的方块数分别是：1,2,2；

左视图有两列，每列的方块数分别是：2,1；

俯视图有三列，每列的方块数分别是：1,2,2；

因此总个数为1+2+2=5个.

故答案为5.

【点评】本题考查三视图的知识及从不同方向观察物体的能力，解题中用到了观察法.确

定该几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键.

12.（4分）等腰AABC的一个底角为30°,一条边长为则aABC的周长为6+4亚

或或2«_.

【分析】根据已知的边可以是腰长，也可以是底边的长度，然后作出底边上的高，再根

据30°角所对的直角边等于斜边的一半，分别利用勾股定理进行求解即可.

【解答】解：如图，作。为垂足，则

BD=CD=1AB（等腰三角形三线合一），

2

第11页共28页

①当已知边为腰长时，A8=2«,N8=30°,

.'.AD=^AB=y[2f

在RdABO中，BD=后右=向赤？=3,

：.BC=2BD=2X3=6,

：.△ABC的周长=6+2近X2=6+4«,

②当已知边为底边时，BO=4X2«=J§,NB=30°,

2

在RtZXABD中，AB2=AD2+BD2,

即AB2=1AB2+^,

4

解得AB=2,

/XABC的周长=2X2+2«=4+2近，

综上所述，△ABC的周长为6+4«或4+2«.

故答案为：6+4«或4+2b.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半

的性质，勾股定理，因为已知边不明确，要注意分情况进行讨论求解，避免漏解而导致

出错.

13.(4分)设实数a、b、c满足aVbVc(ac<0),且|c|V向〈同，则-a|+|x-b|+|x+c|的

最小值是-c-〃・

【分析】根据acVO可知，a,c异号，再根据4VbV。以及同〈|回〈间,即可确定a,b,

-c在数轴上的位置,而|%-。|+优-例+MM表示数轴上的点到。，治-c三点的距离的和,

根据数轴即可确定.

【解答】解：・・ZcV0

:・a,c异号，

c>0

又•：a<b<c,以及|c|V|b|V|4|,

.*.«</?<-c<O<c,

X*.*\x-a\+\x-b|+|x+c|表示到a，b,-c三点的距离的和，

第12页共28页

当x在a,c之间时距离最小，

即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小，最小值是。与-c之间的距离，BP-c-a.

故答案为：-c-a.

【点评】本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定a,b,c,-c

之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度.

14.（4分）一个三角形的三条边长分别是a,b,c（a,h,c都是质数），且a+〃+c=16,则

这个三角形的形状是等腰三角形.

【分析】把a,b,c中的两个字母的和当作一个整体，由于a+b+c=16,16是偶数，根

据偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，而2是唯一的偶质数，得出

a,h,c中有一个是2,不妨设a=2,则6+c=14,且氏c都是奇质数，再根据三角形

三边关系定理得出氏c的值，从而得出结果.

【解答】解：；a+b+c=16,a,h,c都是质数，贝ija,儿c的值一定是：1或2或3或5

或7或11或13.

.,.a,h,c中有一个是2,不妨设。=2.

：.b+c=14,且b、c都是奇质数,

又；14=3+11=7+7,

而2+3VII,以2,3,11为边不能组成三角形；

2+7>7,...以2,7,7为边能组成三角形.

这个三角形是等腰三角形.

故答案为：等腰三角形.

【点评】本题考查了奇偶数、质数的有关知识及三角形三边关系定理.难度较大，其中

对于奇偶数、质数的有关知识考查属于竞赛题型，超出教材大纲要求范围.

15.（4分）从-2,-1,1,2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数>=齿+6的系

数4,b,则一次函数的图象不经过第四象限的概率是—上―.

【分析】列举出所有情况，看不经过第四象限的情况数占总情况数的多少即可.

【解答】解：共12种情况，不经过第四象限的一次函数图象有2种，

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所以概率为2=2

126

故答案为：1.

6

【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.得到

不经过第四象限的一次函数图象是解决本题的难点.

16.（4分）一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°,那么这个多边形

的边数是4或5.

【分析】本题涉及多边形的内角和、方程的思想.关键是根据内角和的公式和等量关系

“一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500。”列出方程，挖掘隐含着

边数为正整数这个条件求解.

【解答】解：设边数为“，这个内角为x度，则0Vx<180°根据题意，得

("-2)780°-x+(180°-%)=500°

解得〃=3+理］——捏匹

180°

•.•〃为正整数,

...140+2%必为180的倍数,

又...OCxVlgO,

/.n=4或5.

故答案为：4,5.

【点评】主要考查了多边形的内角和定理及内角与外角的关系，较难.

”边形的内角和为：180°・（〃-2）；多边形的内角与它的外角互为邻补角.

17.（4分）若多项式2f+3xy-2y2-x+8y-6可以分解为（x+2y+/«）（2x-y+〃）的形式，则

mM_7_

至7=-I-

【分析】由题意多项式2x2+3xy-2）2-x+8y-6可以分解为（x+2y+zn）（2x-y+n）的形式,

第14页共28页

将整式(x+2y+加C2x-y+n)相乘，然后根据系数相等求出机和小从而求解.

【解答】解：,**多项式2/+3孙-2y2-x+Sy-6可以分解为(x+2y+W(2x-y+〃)的形式，

:.(x+2y+/%)(2x-y+n)=2x^+3xy-2y2+(2m+n)x+(2n-m)y+mn=2x2+3xy-2y2-

x+8y-6,

/.2m+n=-1,2n-m=8,mn=一6,

解得m=-2,〃=3,

•m3+l_-8+l_7

••'―-■—,

n2-l9-18

故答案为：-1.

8

【点评】此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题.

18.(4分)钝角三角形的三边长分别为4,6,8,则其面积为瓜

【分析】如图，作CD1AB,设BD=x,根据勾股定理得，62-x2-42-(8-x)2,然

后，可得二I求出x,根据三角形的面积计算公式，求出即可；

【解答】解：如图，作CD_LAB,设BO=x,

.*.62-^=42-(8-x)2,

解得，x=—9

4

CD=VBC2-DB2=^62-

,S=5XABXCD=5X8X

224

故答案为：3^/15-

【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形面积的求法，求出一边上的高，是解答本题

的关键.

19.(4分)把正奇数依次排列成5歹！I,如右图，则2001排在从左数第2列.

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1357

1513119

17192123

31292725

33353739

【分析】根据上表可以得出以下信息，即每一行为4个相邻的奇数，当行数为奇数时从

第二列开始到第五列，当行数为偶数时，从第四列开始到第一列，奇数都是递增排列的.所

以可以得出2001的位置.

【解答】解：由题意可知：排列为1,3,5,7,-In-1,则〃=1001,说明2001是第

1001个奇数.

又：1001+4=250余1,

...2001在251行，为第1个数，

就是第二列，

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，

并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.

20.（4分）如图，已知是。。的直径，弦于”，4c=10,8=12,那么sin

ZABD的值是

【分析】首先根据垂径定理得出NABO=NABC,然后由直径所对的圆周角是直角，得

出NACB=90°,根据勾股定理算出斜边AB的长，再根据正弦的定义求出sinNABC的

值，从而得出sin/ABZ）的值.

【解答】解：由条件可知：弧AC=MA。，则NABD=NABC,

所以sinZABD=sinZACD=M；

AC

4B为直径，4c=6,CD=\2,可得CH=6,A4=8,

：.sinZABD=^..

5

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故答案为名.

5

【点评】本题主要考查了垂径定理及锐角三角函数的定义.垂直于弦的直径平分这条弦，

并且平分弦所对的两条弧.在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边.

21.（4分）如图，二次函数），=/+岳c+c（a>0）.图象的顶点为。，其图象与x轴的交点4、

B的横坐标分别为-1、3,与），轴负半轴交于点C.下面五个结论：①2a+6=0；@a+b+c

>0；③当xWl时，y随x值的增大而增大；④当-1WXW3时，/+尿+c<0；⑤只有

当。=工时，△ABZ）是等腰直角三角形.那么，其中正确的结论是①⑤.（只填你

2

【分析】根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=l,根据抛物线的对称轴

为直线X=-燃=1可判断①正确；根据图象得X=1对应的函数值为负数，可判断以

②错误；

根据抛物线当4>0,在对称轴左侧，y随X的增大而减小可判断以③错误；利用x=-l

或x=3时，ax1+hx+c=0,可判断④错误；

【解答】解：♦.•二次函数的图象与x轴的交点4、8的横坐标分别为-1、3,

••.A8中点坐标为（1,0）,而点A与点3是抛物线上的对称点，

...抛物线的对称轴为直线x=1,

.*.%=-1,即2。+6=0,所以①正确；

2a

•..当x=l时，对应的函数图象在x轴下方，

；.a+b+c<0,所以②）错误；

Va>0,

...当xWl时，），随x值的增大而减，所以③错误；

由于当-l<x<3时，a^+A-+cVO,而x=-l或x=3时，aj^+bx+c=O,所以④错误；

第17页共28页

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)-lax-3a,对称轴x=1交x轴与E点,

如图，

2

当△AB。是等腰直角三角形，则。E=工5,即14a•(-3a)-4a尸工义4,

24a2

.\a=—,所以⑤正确.

2

故答案为①⑤.

【点评】本题考查了二次函数yncM+fev+c(〃W0)的图象与系数的关系：〃>0,开口向

上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴为直线尤=-_”；抛物线的顶点坐标

2a

2

为(-巨，)；b2-4«c>0,抛物线与x轴有两个交点.也考查了抛物线的交

2a4a

点式以及等腰直角三角形的性质.

22.(4分)数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”,对于“6N*,满足以下运算性质：(1).2*2

=1,(2).(2/?+2)*2=3(2〃*2),则2〃*2用含〃的代数式表示为3”<.

【分析】根据：①2X2=1；②(2〃+2)※2=3(2科2),判断数列｛(2缶2)｝是等比

数列，即可求得其通项公式.

【解答】解:：2※2=1,(2〃+2)※2=3⑵※2),

：.[2(n+1)⑵※2)=3

/.｛(2〃派2)｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

...第〃项是：3nl.

故答案是：为3"一1.

【点评】本题考查对新定义的理解及等比数列的定义和通项公式的求法，旨在考查学生

的观察分析和归纳能力，属基础题.

二、解答题:

第18页共28页

23.(12分)(1)解不等式组2，并把解集在数轴上表示出来.

l-3(x-l)<C8-x

2

(2)先化简，再求代数式3二包.(a-2ab-b)的值,其中a=3tan300+1,

aa

b=V^cos45°.

【分析】(1)先解两个不等式，再把解集画在数轴上，得出解集即可；

(2)先化简a,h,再化简代数式，再代入数据即可.

【解答】解：(1)解第一个不等式得：xWl

解第二个不等式得：x>-2

所以不等式组的解集为：-2<xWl

【II.Q.II,!1I、

-5-4-2-102345

(2)原式=且土+比辿止=31旦

aaa(a_b)2a-b

Va-3tan30°+1=扬1,

b=V2cos45°=1,

把“，6的值代入上式得：原式

V33

【点评】本题考查了解一元一次不等式组、分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，

是基础知识要熟练掌握.

24.(12分)已知关于x的方程/-(2Z+1)x+4(%-工)=0.

2

(1)求证：无论/取什么实数值，这个方程总有实根.

(2)若等腰AABC的一边长”=4,另两边氏c恰好是这个方程的两根，求△A8C的周

长.

【分析】(1)先把方程化为一般式：x2-(2A+l)x+4%-2=0,要证明无论《取任何实数,

方程总有两个实数根，即要证明△》()；

(2)先利用因式分解法求出两根：力=2,X2=2k-1.先分类讨论：若。=4为底边；若

。=4为腰，分别确定匕，c的值，求出三角形的周长.

【解答】(1)证明：方程化为一般形式为：(2Z+1)x+4k-2=0,

:△=(2R1)2-4(4k-2)=(2k-3)2,

第19页共28页

而(2k-3)2-0,

...△eo,

所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；

(2)解：?-⑵+1)x+4k-2=0,

整理得(x-2)[x-(2-1)]=0,

.*.xi=2,xi—2k-1,

当a=4为等腰△ABC的底边，则有8=c,

因为仄c恰是这个方程的两根，则2=2%-1,

解得《=旦，则三角形的三边长分别为：2,2,4,

2

：2+2=4,这不满足三角形三边的关系，舍去；

当。=4为等腰AABC的腰，

因为氏c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4,

则三角形三边长分别为：2,4,4,

此时三角形的周长为2+4+4=10.

所以△ABC的周长为10.

【点评】本题考查了一元二次方程以2+fev+c=0(a/0,«,b,c为常数)根的判别式△

=y-4".当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根;

当△<(),方程没有实数根.同时考查了分类思想的运用、等腰三角形的性质和三角形三

边的关系.

25.(12分)某校开校运会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8

人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳

和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少

人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，

同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；

再结合总人数即可求得同时参加山径和球类比赛的人数.

【解答】解：只参加游泳比赛的人数：15-3-3=9(人)；

同时参加田径和球类比赛的人数：8+14-(28-9)=3(人).

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【点评】注意每两种比赛的公共部分.

26.（14分）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林

和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品.已知该超市的锦江牌钢笔每支8

元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支.

（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？

（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于

红梅牌钢笔的数量的工，但又不少于红梅牌钢笔的数量的」.如果他们买了锦江牌钢笔x

24

支，买这两种笔共花了y元.

①请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？

【分析】（1）锦江牌钢笔费用+红梅牌钢笔费用就是240元.

（2）总费用y元，即购买红梅牌钢笔与锦江牌钢笔的费用的和.用代数式表示出两种费

用，即可写出函数关系式.

再依据：所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的工，但又不少于红梅牌

2

钢笔的数量的」.列出不等式组，解出x的取值范围；根据一次函数的性质即可求解.

4

【解答】解：（1）设能买锦江牌钢笔x支，则能买红梅牌钢笔（40-x）支.依题意，

得8x+4.8（40-x）=240.

解得x=15.；.40-x=40-15=25.

答：能买锦江牌钢笔15支，红梅牌钢笔25支.

（2）①依题意，得y=8x+4.8（40-x）=3.2x+192.

x<y（40-x）

又由题意，有《解得8WxV也.

XA^（40-X）

Jy关于x的函数关系式为y=3.2x+192.

自变量X的取值范围是8Wx〈丝且X为整数.

3

②对一次函数y=3.2x+192,Vjt=3.2>0

；.），随x的增大而增大.

第21页共28页

...对8WxV殁，当x=8时，y值最小.

3

此时40-x=40-8=32,y最小=3.2X8+192=217.6（元）.

答：当买锦江牌钢笔8支，红梅牌钢笔32支时，所花钱最少，为217.6元.

【点评】（1）利用一次函数求最值时，主要应用一次函数的性质；

（2）用一次函数解决实际问题是近年中考中的热点问题.

27.（14分）如图，在RtaABC中，NACB=90°,以4c为直径的与48边交于点。,

过点。作OO的切线，交BC于点E.

（1）求证：点E是边8c的中点；

（2）若EC=3,BD=2«，求。。的直径AC的长度；

（3）若以点0,D,E,C为顶点的四边形是正方形，试判断△4BC的形状，并说明理

由.

【分析】（1）利用EC为。。的切线，EQ也为。。的切线可求EC=ED,再求得EB=EC,

EB=E£＞可知点E是边BC的中点；

（2）解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解；

（3）判定△A8C是等腰直角三角形时要用到正方形的性质来求得相等的边.

【解答】（1）证明：连接。。；

VZACB=90°,AC为直径，

；.EC为。0的切线；

又；瓦？也为的切线，

:.EC=ED,

又；NED0=90°,

：.ZBDE+ZADO=9QQ,

.•./BZ）E+NA=90°

又,25+4=90°,

:.NBDE=NB,

第22页共28页

：.EB=ED,

：.EB=EC,即点E是边8c的中点;

(2)解：YBC,8(分别是。。的切线和割线,

:.BC2=BD,BA,

：.(2EC)2=B»BA,即BA・2娓=36,

**-BA=

在RtZXABC中，由勾股定理得

AC=VAB2-BC2=7(376)2-62=3^2;

（3）解：△ABC是等腰直角三角形.

理由：•..四边形OCEC为正方形，

；.NOOC=N4CB=90°,BPDO//BC,

又；点E是边BC的中点，

：.BC=2OD=AC,

...△A5C是等腰直角三角形.

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计

算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

28.（16分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设

这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价

格平稳销售：从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周

末，该服装不再销售.

（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；

⑵若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125（x-8）2+12.1WxW16,

且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？

第23页共28页

【分析】由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则W与x之间的函数关系式亦为分

段函数.分情况解答.

【解答】解：(1)依题意得，可建立的函数关系式为：

'20+2(x-1)(l<x<6)

•'•y-'30(6<x《ll)

.30-2(x71)(12<x<16)

'2x+18(l<x<6)

即y=30(6<x<U)4分

,-2x+52(12<x<16)

(2)设利润为W,则W=售价-进价

20+2X-4-(X-8)2-14(1<X<6)

o

3og(x-8)2-12(64x《ll),

故W='o

n

高(x-8)-2x+40(12<x<16)

o