2021年中考数学解答题压轴题每日一题60

2021年中考数学解答题压轴题每日一题

1.在平面直角坐标系中，矩形ABCD与等边△EFG按如图①所示放置：点B、G与坐标原

点。重合，F、B、G、C在x轴上，E、A、。三点同在平行于x轴的直线上.△EFG沿x

轴向右匀速移动，当点G移至与点C重合时，丛EFG即停止移动.在△EFG移动过程中，

与矩形ABCD的重合部分的面积5（c/n2）与移动时间t（5）的一部分函数图象是线段MN

如图②所示（即△EFG完全进入矩形A8CD内部时的一段函数图象）

（1）结合图②，求等边△EFG的边长和它移动的速度；

（2）求S与f的函数关系式，并在图②中补全△EFG在整个移动过程中，S与f的函数关

系式的大致图象；

（3）当△EFG移动（V3+1）s时，E点到达P点的位置，一开口向下的抛物线产-x2+bx-

a

过P、O两点且与射线AD相交于点儿与x轴相交于点。（异于原点）.请问。是否存在

取某一值或某一范围，使OQ+P”的值为定值？如果存在，求出〃值或〃的取值范围；如果

不存在，请说明理由.

【分析】（1）此题的关键在于读懂图②的含义，首先能看出，值在（2~4）时，S是一个定

值，可以得出两个含义：

1、当2WfW4时，△EFG在矩形ABC。内部，此时S的值为等边△EFG的面积，结合等边

三角形的性质以及等边三角形的面积即可得到该三角形的边长；

2、当时，△EFG与矩形的重叠部分的面积在时刻变化着，也就说明了这个过程中，

点尸从原位置运动到了点O的位置（即FG的长），可以根据这个条件来求△EFG的移动速

度.

（2）首先抓住两个关键位置：①点E运动到y轴上时，②点尸运动到y轴上时；那么此题

可以分作三个阶段讨论：

1、当点2、E位于），轴两侧时（即0W/W1时），△EFG和矩形A3C。的重叠部分是个小直

角三角形，它的两条直角边可以三角形的运动速度以及特殊角的正切值表示出来，则面积可

求；

2、当点E、F位于），轴两侧时（即l<rW2时），△EFG和矩形A8C。的重叠部分是个不规

则四边形，其面积可以由等边三角形减去小直角三角形的面积所得；

3、当△EFG完全处于矩形内部时.，它们重叠的部分就是整个等边三角形，其面积是个定值

（由图②所给的部分函数可得）.

（3）虽然题设的条件较为复杂，但思路并不难，可以先根据△EFG的移动时间求出点尸的

坐标，代入给出的新抛物线解析式中，可得到6的关系式；而点0、〃以及P、。这两

组点都关于抛物线对称轴对称，可根据这个特点表示出点“、Q两点的坐标，则0Q、PH

的长可得，那么再判断0Q+PH是否为定值，若是定值，再进一步求a的取值范围；

在求。的取值范围时，可以根据抛物线开口向下（抛物线解析式的二次项系数小于0）以及

PH20（点尸、〃可能重合，此时新抛物线顶点位于直线4。上）这两个条件来解.

【解答】解：（1）由图②可知，△EFG的面积为3ac〃?2；

设△EFG的边长为x。"，则其面积为：SAEFG=L•返x=3«,解得x=2爪（的）；

22

由图②可以看出：当点尸从原位置运动到点。处过程中，△EFG与矩形ABC。重叠部分的

面积时刻在变化着，整个过程共运动了2s,所以有：

△EFG的移动速度：产?森也=百岫；

2s

综上，等边△EFG的边长为它的移动速度为J5Ms.

（2）当点E运动到y轴上时，r=ls；当点尸运动到y轴上时，r=2s；

・••分三个阶段讨论（如右图）：

①当OWtWl时，=2匝於；

22

②当14W2时，弘。而=上《2近-心）•«=2/1（2-r）2,

22

所以，重叠部分的面积为：S=SM，FG，0ONF'=AX2^3X（返X2«）-2/1（2

_222

-t）2=3«-盟！（2-f）2；

2_

③当2WfW4时，S=2X2«X（返X2«）=3«：

22

-^-t2(04t&l)

综上，S=<望1”2)2+3如(l<t<2),图象如下:

373(2<t<4)

(3)♦.•△万水；移动(b+1)秒，速度为每秒。”，

:.EP=M(V3+1)=3+6，

；.AP=3+«-E=3,

，点P(3,3),

•.,点尸在抛物线上，

ab=a-3,

•.•抛物线y=X^+bx的对称轴为直线X=--^―=-处，

.a2X-12

a

...与x轴的另一个交点。的坐标为(-ab,0),

抛物线开口向下，«<0,P、“关于》=-辿•对称，

2

当点，在点尸右侧时，

PH=2(---3)=-ab-6=-(a-3)-6=-a+3-6=-a-3,

2

AOQ+PH=2X(-a-3=-(a-3)-a-3=-a+3-a-3=-2”,

此时。Q+P”不是定值，舍去；

当点”在点尸左侧时，

PH=2(3+至)=ab+6,

2

A