2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-19 函数中的三角形存在问题（教师版）

专练19函数中的三角形存在问题

1.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3).

(I)求出该抛物线的解析式；

(2)点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点D的横坐标求为x,四边形ABDC的面积为力

①求四边形ABDC的面积yi关于x的解析式；

②求出使得四边形ABDC的面积y,最大的点D的坐标；

(3)在抛物线y=ax2+bx+c上求点Q,使ABCQ是以BC为直角边的直角三角形.

【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

•••抛物线过点C(0,-3),

,-3=a(0+1)(0-3),

••3-1,

二.抛物线解析式为y=(x+1)(x-3)；

:.y=x2—2x—3；

(2)解：①如图，过点D作DH_Lx轴，

・♦・OH=x,DH=2x+3-x2,HB=3-x

AS四边形ABDC=SAAOC+S四边形OCDH+SAHDB

322

・V-,(3+2X+3-X)X(3-X)(2X+3-X)_3(3.2.75

♦・%一”----2----------+------------2----------------+石

②yi=_“x_|)2+£，

根据二次函数的性质，

当X=,时，%的最大值为卷;

No

二y=(|)2-2x|-3=4

(3)解:如图

过点B作BQIJ_BC,交抛物线于点QI、交y轴于点E,连接QIC.

VCO=BO=3,

NCBO=45°,

AZEBO=45°,B0=0E=3.

.••点E的坐标为(0,3).

将(0,3),(3,0)代入y=kx+b得:

b=3

3k+b=0

解得：｛£=工1

D=3

二直线BE的解析式为y=-x+3,

,,y=-x+3

由｛y=x2-2x-3'

解得：

•••QK-2,5)

如图，过点C作CF_LCB,交抛物线于点Q2、交x轴于点F,连接BQ2.

TZCBO=45°,

/.ZCFB=45°,OF=OC=3.

•••点F的坐标为(-3,0).

宜线CF的解析式为y=-x-3.

..y=-x-3

由｛2Q)

y=x—2x—3

解得：产二

l

=-3y2=-4

二点Q2的坐标为(1,-4).

综上，在抛物线上存在点QI(-2,5)、Q2(1,-4),使ABCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直

角三角形.

2.在直角坐标系xOy中，定义点C(a,b)为抛物线L：y=ax2+bx(a/))的特征点坐标.

(1)已知抛物线L经过点A(-2,-2).B(-4,0),求出它的特征点坐标;

(2)若抛物线L：y=ax2+bx的位置如图所示:

2

①抛物线L：y=ax+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为；

②若抛物线J的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；

③在②的条件下，已知抛物线Li、L2与x轴有两个不同的交点M、N,当一点C、M、N为顶点构成的三

角形是等腰三角形时，求a的值.

【答案】(1)解：将点A(-2,-2)、B(-4,0)代入到抛物线解析式中，得

一兴，解得：-=：.抛物线L的解析式为y=-2+2x,

0=16a-4bb=22

它的特征点为(：，2).

(2)y=-ax2+bx；解：②\•抛物线L2的对称轴为直线：x=-或片=葛.，当抛物线L1的特征点C(a,

b)在抛物线L2的对称轴上时，有2=/，；.a与b的关系式为b=2a2.③：抛物线LI、L2与x轴有两

个不同的交点M、N,...在抛物线LI：y=ax2+bx中，令y=0,即ax2+bx=0,解得：xl=,x2=0(舍去),

即点M(—3,0)；在抛物线L2：y=-ax2+bx中，令y=0,即-ax2+bx=0,解得：xl=,x2=0(舍去)，

即点N(P,0).；b=2a2,.*.点M(-2a,0),点N(2a,0),点C(a,2a2).；.MN=2a-

a

2a)Ea,MC=7[a-(-2a)]2+4a4,NC=7(a-2a)2+4a4.因此以点C、M、N为顶点的三角形是等

腰三角形时，有以下三种可能：(1)MC=MN,此时有：J[a-(-2a)]2+4a4=4a,即9a2+4a4=16a2,

解得：a=0,或2=,Va<0,，a=；(2)NC=MN,此时有：J(a—2a尸+4a4=4a,B|J

a2+4a4=16a2,解得：a=0,或a=+运，Va<0,；.a=-小；(3)MC=NC,此时有：

一22

7[a-(-2a)]2+4a4=7(3-2a)2+4a4,即9a2=a2,解得：a=0,又〈aVO,・••此情况不存在.综上

所述：当以点c、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为一足或—0.

22

【解析】(2)解：①I•抛物线LI：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，二抛物线L2的解析式为-y=a

(-x)2+b(-x),即y=-ax2+bx.故答案为y=-ax2+bx.

3.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+4x.

(1)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点试求抛物线y=-x?+4x的

方点''的坐标；

(2)如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点(A在B左侧),

与y轴相交于点C,连接BC.若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求APBC的面积的最大值；

(3)第(2)向中平移后的抛物线上是否存在点Q，使AQBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，

直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)解：由题意得：x=y?.-X2+4X=X

解得

Xi=0,x2=3

二抛物线的方点坐标是(0,0),(3,3).

(2)解：过P点作y轴的平行线交BC于点D.

易得平移后抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3.

设P(m,—m2+2m+3),则D(m,—m+3).

:.PD=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m(0<m<3)

SAPBC=;(-m2+3m)x3=-1(m-1)2+(0<m<3)

/Z4O

.•.当m=5时，APBC的面积最大，最大值为9.

ZO

(3)解：如图所示，过点C作CM1BC交x轴于点M,作BN_LBC交y轴于点N

由已知条件得出点B的坐标为B(3,0),C的坐标为C(0,3),

...△COB是等腰直角三角形，

二可得出M、N的坐标分别为:M(-3,0),N(0,-3)

直线CM的解析式为：y=x+3

直线BN的解析式为：y=x-3

由此可得出:F=f2+/+3或J=f2+2X+3

y=x+3y=x—3

解方程组得出：｛仁:或｛仁二:

y—十y——。

:.Q(l,4)或(-2,-5)

4.如图，抛物线y=ax?+bx+c(a/0)与直线y=x+l相交于A(-1,0),B(4,m)两点，且抛物线经过点C

(5,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PDLx轴于点D,交直线AB于

点E,设点P的横坐标为m.

①当PE=2ED时，求P点坐标；

②是否存在点P使ABEC为等腰三角形？若存在，请直接写出in的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：由题意，抛物线y=ax2+bx+c的解析式可化为y=a(x+l)(x—5),

将点B(4,m)代入直线y=x+l得：m=4+l=5,

将点B(4,5)代入y=a(x+l)(x-5)得：(4+1)x(4-5)a=5,

解得a=-1,

则抛物线的解析式为y=-(X+l)(x-5)=-x2+4x+5,

即

y=-X2+4x+5;

(2)解：①•••点P的横坐标为m,

二点P的纵坐标为-m2+4m+5,

即P(m,-m2+4m+5),

由题意，点E的横坐标与点P的横坐标相同，即为m,

则点E的纵坐标为m+1,

即E(m,m+1),

由题意，分以下两种情况：

(i)当点P在点E的上方，即-1<m<5时，

则PE=—m2+4m+5—(m+1)=-m2+3m+4,ED=m+l,

因此有一m?+3m+4=2(m+1),

解得m=2或m=-1(不符题意，舍去)，

则-m2+4m+5=—22+4x2+5=9,

此时点P的坐标为P(2,9)；

(ii)当点P在点E的下方，即m<-1或m>5时，

则PE=m+1—(-m2+4m+5)=m2—3m—4,ED=|m+1|,

因此有m2—3m—4=2|m+1|,

解得m=6或m=-1(不符题意，舍去)，

则-m2+4m+5=-62+4x6+5=-7,

此时点P的坐标为P(6,-7),

综上，点P的坐标为P(2,9)或P(6,-7)；

②存在，求解过程如下：

vB(4,5),C(5,0),E(m,m+1),

BC2=(5-4)2+(0-5)2=26,

BE2=(m-4产+(m+1—5)2=2(m-4)2,

CE2=(m-5/+(m+1—0)2=(m-5)2+(m+I)2,

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：

(i)当BC=BE时，△BEC为等腰三角形，

则BC2=BE2，即2(m-4)2=26，

解得m=4+VT3或m=4—V13;

(ii)当BC=CE时、△BEC为等腰三角形，

则BC2=CE2,即(m-5)2+(m+I)2=26,

解得m=0或m=4(此时点P与点B重合，不符题意，舍去)；

(iii)当BE=CE时，ABEC为等腰三角形，

则BE2=CE2,即2(m-4)2=(m—5产+(m+,

解得m=4:

综上，m的值为4+V13或4-V13或0或9.

5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的两个交点分别为A(—1,0)、B(3,0),与y轴的交点

为点D,顶点为C,

(1)求出该抛物线的对称轴；

(2)当点C变化，使6OO0NACBW9O。时，求出智=；的取值范围；

lol)3

(3)作直线CD交x轴于点E,问：在y轴上是否存在点F,使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在,

请求出a的值，若不存在，请说明理由。

【答案】(1)解：•••抛物线与x轴的两个交点分别为A(-1,0)、B(3,0),

•••抛物线的对称轴为直线x=三*=1.

(2)解：当NACB=60。时,△ABC为等边三角形，C(l,-26)

设y=a(x+l)(x-3),C点代入得a=y

当NACB=90。时，△ABC为等腰直角三角形，即C(l,-2)

同理可得,a=

所以i<a<^

22

(3)解：由于C(l,4a),D(0,-3a)

ycp=-ax-3a=-a(x+3),故E(-3,0)

两种情况讨论：

①如图1可证明△EHF=△FKC得CK=HF=3

②如图2可证明△EHF=△FKC,得EK=HF=3

综上a=；和a=：

24

6.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(3,0),(3,4).动点M、

N分别从0、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终

点C运动.过点N作NPJ_BC,交AC于P,连接MP,已知动点运动了x秒.

（1）求点P的坐标（用含X的代数式表示）.

（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值.

（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的探索结果.

【答案】（1）解：延长NP交x轴于点G,则有PGLOA

:.GA=x,CN=3-x,

，0G=3-x,

4

tanzOAC=-,

3

4

：.PG=-x,

3

，P点的坐标为(3-x,(x)；

(2)解：设4MPA的面积为S,

在^MPA中,MA=3-x,MA边上的高为gx,其中0刍S3

・、、？

..Sc=-1(/3c—X)X4-X=——2,(X—3)2+3一

2、733、2)2

AS的最大值为|,此时，x=|

（3）解:有三种情况:

①若MP=PA,

VPG1MA,

:.MG=GA=x

/.3x=3,

即x=l；

②若MP=PA,则MG=3-2x,PG=|x,PM=MA=3-x,

在RtAPMG中，

VPM2=MG2+PG2

，(3-x)2=(3-2x)2+(^x)2,

・54

・・X=—

43

③若PA=AM,

VPA=|x,AM=3・x,

/.|x=3-x,

•9

・・X二一

8

综上所述，X=1或x=V或x=，

438

7.如图，抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称，点P

是抛物线上的一个动点.

(1)求直线BD的解析式；

(2)当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标;

(3)在点P的运动过程中，是否存在点P,使4BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：对于y=-x2+2x+3,令x=0,贝ijy=3,令y=-x2+2x+3=0,解得x=-1或3,故

点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(0,3),

点D与点C关于x轴对称，故点D(0,-3),

设直线BD的表达式为y=kx+b,则,解得｛J=匕,

0=3k+bb=-3

故直线BD的表达式为y=x-3；

(2)解：连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,

由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y=-x+3,

设点P(x,-x2+2x+3),则点H(x,-x+3),

则四边形BOCP面积=5△OBC+SAPHC+SaPHB=-xQB«OC+-xPHxOB=-x3x3+-x3x(-

399

-+-X+-

x2+2x+3+x-3)=-2X222

：--<0,故四边形BOCP面积存在最大值，当*=时，四边形BOCP面积最大值为,此时点P

228

(-,-);

24

(3)解：存在，理由：

①当/PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为(0,3)；

②当NPDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45。，

当/PDB为直角时，即PD_LBD,则直线PD与x轴负半轴的夹角为45。，

故设直线PD的表达式为y=-x+t,

将点D的坐标代入上式得，-3=0+t,解得t=-3,故直线PD的表达式为y=-x-3②，

联立①②并解得：x=型亘，

2

故点P的坐标为(虫亘，一生亘)或(土返，一乜亘),

2222

综上，点P的坐标为(三且，一出亘)或(上工亘，一乜亘)或(0,3).

2222

8.如图，抛物线与x轴交于A,B两点，点A在点B的左边，与v轴交于点C,点D是抛物线的

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A,C重合，过点P作x轴的垂线交AC于点

E,求AACP面积的最大值及此时P点坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得AACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

【答案】(1)解：设抛物线的解析式是y=a(x+2)2—8,把A(—6,0)代入得a(—6+2)2—8=0,

解得a=\,

.*.Jy=-2(x+2)2—8=-2x2+2x—6

(2)解：当x=0时，y=-6,AC(0,-6),

设点P(m,1m2+2m—6),

设直线AC的解析式是y=kx+b,

把A(—6,0),C(0,-6)代入得

一%+b”,解得｛k=-l

b=-6b=-6

・・・直线AC的解析式是y=-x—6,

・.・PE_Lx轴交AC于E,

.*.E(m,­m—6),

11

/.PE=-m—6—(-m2+2m-6)=--m2—3m(­6<m<0)，

22

VSAACP=SAAEP+SACEP=-PEx6=-x(-im2-3m)x6==--x(m+3)2+—,

22k2J2v72

.•.当m=-3时，SAACP有最大值，最大值为:，

此时点P的坐标是(-3,-y)

(3)解：存在，抛物线的对称轴是直线x=-2,设M(—2,t).

直线x=-2交x轴于H,

在RtAAOC中，OA=OC,ZOAC=ZOCA=45°.

①当NCAM=90。时，如图1,ZMAO=90°-ZOAC=450,

，AH=MH=4,

AM(-2,4)；

②当NACM=90。时，如图2,过点M作MG，y轴于G,

则ZMCG=180°-ZACM-ZACO=45°,

；.MG=CG=2,

，OG=OC+CG=8,

AM(-2,-8)；

③当NAMC=90。时，如图3,

设M(-2,t),

VAM2+CM2=AC2,

二(-2+6)2+t2+(-2)2+(t+6)2=72,解得t=-3士V17，

M(-2,—3+VT7)或(-2,一3—V17),

综上所述，M的坐标是(-2,4)或(-2,—8)或(-2,—3+V17)或(-2,—3—V17).

图国2

1图3

9.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?-2x+3与x轴交于A,B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C,顶

点为D.

（2）如图（I）,在x轴上找一点E,使得aCDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2）,F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得AAFP为等腰直角三角形？若存

在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）A（-3,0）,B（1,0）,D（-1,4）.

（2）解：作点C关于x轴对称的点C，，连接C，D交x轴于点E,此时ACDE的周长最小，如图1所示.

：.C(0,-3).

设直线CD的解析式为y=kx+b,

(b=-3

l-k+b=4.

・・・直线CD的解析式为y=-7x-3,

当y=0时-7x-3=0

解之X=-|,

...当ACDE的周长最小，点E的坐标为（f,0）；

（3）解：设直线AC的解析式为y=ax+c,根据题意得

c=3

—3a+c=0

解之:㈡

二直线AC的解析式为y=x+3.

假设存在，设点F（m,m+3）,

△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：

①当NPAF=90。时,P(m,-m-3),

点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

-m-3=-m2-2m+3,

解之：ml=-3（舍去），m2=2,

・・・此时点P的坐标为（2,-5）；

②当/AFP=90°时，P(2m+3,0)

,/点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

(2m+3)2-2x(2m+3)+3=0,

解得：m3=-3(舍去)，m4=-l,

,此时点P的坐标为(1,0)；

③当NAPF=90°时，P(m,0),

:点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

-m2-2m+3=0,

解得：m5=-3(舍去)，m6=l,

此时点P的坐标为(1,0).

综上所述，在抛物线上存在点P,使得AAFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2,-5)或(1,0).

【解析】解：(1)当y=0时，则-x2-2x+3=0,

解之：xl=-3,x2=l,

YA在B的左侧，

AA(-3,0),B(1,0).

当x=0时，则y=3,

AC(0,3).

Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

.•.点D(T,4).

10.如图，抛物线y=ax2-^x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接AC,已知B(-l,0)

(2)若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且,求E的坐标;

SAACE=|SAABC

（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标.

【答案】⑴解：将点B(-1,O)，点D(2,-2)代入y=ax2-1x+c

可得｛二小为，解得｛㊀*，

4a--+c=-2c=—2

二抛物线解析式：y=|x2—gx—2；

(2)解：当y=0时，1x2-Jx-2=0,

2

解方程|x-1x-2=0,得Xi=-l,x2=3,

・・・A(3,0),

二AB=4，

当x=0时，y=-2,

・・・C(0,-2),

•，•S

4ABC=-|yc|=|x4x2=4,

设lAc:y=kx+b,将点A(3,0),C(0,-2)代入y=kx+b

2

得｛3£+13铲，解得｛k=三，

b=-2b=-2

2

Ay=-x—2，

J3

如图1,过点E作x轴的垂线交lAc于点F,

设点F(a,|a-2)，点E(a,|a2--2)，其中一1<aV3,

.­.SAACE=|EF|XA-Xc|=^a2-2a,=｛^-l<a<0

由

SAACE=|SAABC,

可得a2—3a=2或—a?+3a=2

3173=a=

解得：a1=（舍）»a2=2^l»42，

.%（手，手）52（1,一|）53（2,-2）；

（3）解：情形一：当点A为等腰APAC的顶点时，AC=AP,如图2,

图2

VAC=AP,0A1CP,

・•・CO=OP=2,

•••点Pi(0,2)；

情形二：当点C为等腰△PAC的顶点时，CA=CP,如图3,

vCA=CP=V22+32=V13，

P2(0,-2+V13),P3(0,-2-V13);

情形三：当点P为等腰APAC的顶点0寸，PA=PC,如图4,

图4

过线段AC的中点D作垂线交y轴于点P,

由中点坐标公式可得D(|,-l),

:.PD1AC,

**•1<AC•kpD——1，

又kAC=|，

kpD=--,

设PD的解析式为y=-|x+b,

将D(|,-l)代入y=-|x+b可得b=：

.3,5

・•・ipD：y=一二+7,

当x=0时，y=-,

4

•••P4(0,;)；

P(0,-2-Vi3)，P(0,^).

综上所述：Pi(0,2),P2(0,-2+V13)，34

11.如图所示，抛物线yi=-x2与直线y2=-|x-g交于A,B两点.

(1)求A,B两点的坐标.

(2)根据图象回答：

①当x取何值时，力的值随x的增大而增大？

②当x取何值时，yi〈y2?

(3)求^AOB的面积.

(4)在x轴上是否存在一点P,使AAOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

(5)抛物线上找一点Q,使得AABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标

【答案】(1)解：•••抛物线yl=-x2与直线y2=-|x-交于A,B两点.

-x2--|x-|,解得xl=3,x2=-|,

9

；.yl=-9,y2=--,

...A(-；,--),B(3,-9),

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(2)解：由图象得，①当xVO时，yl的值随x的增大而增大，②当x>3或x<-|时，yl<y2.

⑶解：由A(一|,-)B(3,-9)知，SAAOB=i(；+9)(3+|)-|x^x|-ix3x9=1

(4)存在，P的坐标为：(-3,0),(-；V13,0),(7^13,0),(一雪，0).

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(5)x=二±遐或*=士空或乂=三或x=-斗.

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【解析】解：(4)设P(x,0),则有：

当OA=OP时，有：(1)2+(2)2=x2,•••x=±^V13；

当AP=OP时，有：(x+|)2+C)2=x2,...x=一|^；

当AP=OA时，有：（x+|）2+C）2=（|）2+（沪x=0（舍去）或x=-3；

二在X轴上存在一点P,使AAOP是等腰三角形，其中点P的坐标为:

（-3,0）或（-VH,0）或（,0）或（-雪，0）.

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（5）设Q坐标为（x,-x2）,则分三种情况