2021年中考数学复习之突破训练《十：锐角三角函数》解析

1.在RtAABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（）

A.扩大3倍B.缩小3倍C.不变D.不能确定

【答案】C

【考点】锐角三角函数的定义

【分析】根据锐角三角函数的定义，可得答案.

【解答】解：由题意，得

RtAABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值不变，

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义是解题关键.

2.在RtAABC中，NC=90。，当已知NA和“时，求c,应选择的关系式是（）

A.c=———B.c=———C.c=tztianAD.c=———

sinAcosAtanA

【考点】71：锐角三角函数的定义

【分析】作出图形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边解答.

【解答】解：如图，•.•己知Z4和a,求c,

.,.sinA=—，

c=------

sinA

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余

弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，作出图形更形象直观.

3.如图，AA8C中，=90°,BC=2AB,则sinC=（）

百1,2君«

•------DR.---------U.------

2255

【考点】71：锐角三角函数的定义

【专题】55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力

【分析】解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：•••8C=2AB,

.,.设AB=a,BC=2a,

AC=^AB~+BC'=&,

AC逝a5

故选：D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.在4x4的正方形的网格中画出了如图所示的格点&4BC,则tanNABC的值为（）

A.妪

o2旧3

D.-------------C.D

13132-1

【答案】D

【考点】锐角三角函数的定义

【专题】网格型

【分析】首先过点A向CB引垂线，与CB交于。,表示出80、AD的长，根据tanA=NA

的对边：N4的邻边可算出答案.

【解答】解：过点A向CB引垂线，与C8交于

在A的是直角三角形,

•/BD=3,AD—2,

tanZABC=-=-

DB3

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切：锐角A的对边。与邻边8

的比叫做NA的正切，记作tanA.

5.在AA8C中，ZC=90°,cosA=-,那么sinA的值等于()

343

A.-B,-C.-

554

【考点】T3：同角三角函数的关系

【分析】根据公式。。524+5皿24=1解答.

3

【解答】解：Yeos?4+sin2A=1,cosA=—，

5

・2.916

..sinA=1-----=—，

2525

/.sinA=±或sinA=--.

55

故选：B.

【点评】本题考查公式cos24+sin2A=1的利用.

6.已知sinacosa=！,且0。＜二＜45。，则sina-cosa的值为（）

8

73-3

A.B.--C.-D.±—

"T242

【考点】T3：同角三角函数的关系

【分析】把已知条件两边都乘以2,再根据sir?。+cos2a=1,进行配方，然后根据锐角三

角函数值求出cos。与sina的取值范围，从而得到sina-cosav0,最后开方即可得解.

【解答】ft?：vsinacosa=-,

8

/.2sinaftosa=—,

4

/.sin2a+cos2a一2sinaliosa=1——，

4

3

即(sina-cosa)2=—,

•/0°<a<45°,

V2、仆.戈

——<cosa<1,0<sincr<—

22

/.sina—cosor<0,

•・出

..sincr-coscr=------.

2

故选：B.

【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好sira+cos2a=1,并求出

sina-cosa<0是解题的关键.

7.在RtAABC中，ZC=90°,下列式子中不一定成立的是()

A.tanA=^^B.sin2A+sin2B=1

cosA

C.sin2A+cos2A=lD.sinA=sin8

【考点】T4：互余两角三角函数的关系；73：同角三角函数的关系

【专题】64：几何直观；69：应用意识

【分析】根据同角三角函数的关系式直接进行判断即可.

【解答】解：根据同角的三角函数的关系：tanA=—,sin2A+cos2A=l,

cosA

sinB=sin(90°-NA)=cosB,可知只有。不正确.

故选：D.

【点评】本题考查了同角的三角函数的关系.

8.在RtAABC中NC=90。，ZA>ZB、NC的对边分别为“、b、c,c=3a,tanA的值

为()

172r~

A.-B.—C.V2D.3

34

【考点】71：锐角三角函数的定义

【专题】66：运算能力；1：常规题型

【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：sinA=-=—=-,

c3a3

“1夜

..tanA=—=—,

2V24

故选：B.

【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基

础题型.

9.如图，A48C内接于口。，A3为□。的直径，交BC于点E,若DE=2,0E=3,则

tanCDanB=()

A.2B.3C.4D.5

【考点】M4：三角形的外接圆与外心；71：锐角三角函数的定义

【专题】16：压轴题

【分析】由£）E=2,OE=3可知AO=OO=OE+EQ=5,可得AE=8,连接3D、CD,

可证NB=NAOC,ZC=ZADB,NDBA=NOG4=90。，将tanC,tan8在直角三角形

中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段任的比.

DE

【解答】解：连接3。、CD,由圆周角定理可知N8=NAOC,NC=/ADB,

MBESACDE,故CEsbBDE,

.ABBEAEACCEAE

~CD~^E~~CE'BD-DE-BE?

由AD为直径可知/DBA=ZDCA=90°,

・；DE=2,OE=3f

：.AO=OD=OE-^-ED=5,AE=8,

AB任BEABAEf：E

tanGtanB=tanZAZ)B；tanZADC=空旦4

BDCD~DEDE~CDBD~CEDEDE2

【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角的三角函数

关系式求三角函数值.

10.在R3ABC中，ZC=90°,下列结论正确的是（）

A.sinA=sin8B.sinA=cosB

C.tanA=tanBD.sinA+sinB=sinC

【考点】T4：互余两角三角函数的关系

【专题】66：运算能力；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】根据互余两角三角函数的关系直接作答.

【解答】解：A、当A=5时，该等式成立，故本选项不符合题意.

B、由于4=90。-8,所以sinA=cos8,故本选项符合题意.

C、当4=3时，lan4=tan8,故本选项不符合题意.

D、sinA+sinfi*sinC,故本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】考查了互余两角三角函数的关系，在直角三角形中，NA+NB=90。时，正余弦之

间的关系为：

①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-NA）；

②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若NA+NB=90°,那么sinA=cos8或sinB=cosA.

11.在RtAABC中，NC=90。，如果sinA=1，那么sinB的值是（）

3

A.垣B.2夜C.—D.3

34

【考点】T4：互余两角三角函数的关系

【专题】33：函数思想

【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值.

【解答】解：:RtAABC中，ZC=90°,sinA=-,

NA+N8=90°,

.,2夜

sinBD=cosA=------.

3

故选：A.

【点评】此题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系:

一个角的正弦值等于它的余角的余弦值.

12.若cosa=,，则锐角a的度数是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【考点】T5：特殊角的三角函数值

【分析】根据cosa='，求出锐角a的度数即可.

2

【解答】ft?：vcosa=—,

2

/.a=60°.

故选：c.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

13.cos30。的相反数是（）

【考点】T5：特殊角的三角函数值

【专题】11：计算题

【分析】根据特殊角的三角函数值得出cos30。的值，然后根据相反数的定义可

得出答案.

【解答】解：•.•cos30o=正，

2

，它的相反数为-正.

2

故选：C.

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值是需要我们熟练

记忆的内容，一定要掌握.

14.sin45。+cos45。的值为（）

A.1B.2C.V2D.2夜

【答案】C

【考点】75：特殊角的三角函数值

【专题】66：运算能力；511：实数

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案.

【解答】解：原式=坐+也

22

故选：C.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

15.己知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐角A时，按下的第一个键是（）

【答案】D

【考点】计算器-三角函数

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识；数感

【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论.

【解答】解:•.•已知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐角A时的按键顺序是:2ndF,sin,

0.9816,

按下的第一个键是2〃dF.

故选：D.

【点评】本题考查了计算器-三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器.

16.如图，在中，ZACB=90°,ZABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边AC的

长，则下列按键顺序正确的是（）

A

）

RC

A囱目画团同目囱日回回回目

c.0HH00S

【考点】T6：计算器-三角函数

【专题】66：运算能力：64：儿何直观

【分析】根据正切函数的定义，可得tan/B=4G,根据计算器的应用，可得答案.

BC

【解答】解：由tan/B=4^,得

BC

AC=BCItanB=5xtan26.

故选：D.

【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题

关键.

17.如图，在等腰RtAABC中，ZC=90°,AC=6,。是AC上一点，若tanNOBC=*,

3

则AD的长为（）

A

DL\

B

A.2B.4C.72D.-

2

【考点】Tl：解直角三角形

【分析】先由等腰直角三角形的性质得出8C=AC=6,再解RtADBC,求出。C的长，然

后根据AO=AC-DC即可求解.

【解答】解：在等腰RtzXABC中，vZC=90°,AC=69

BC=AC=6.

在RtADBC中，vZC=90°,

DC2

tanZZ）BC=—=一，

BC3

/.DC=-BC=4,

3

AD=AC-DC=6-4=2.

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解

直角三角形.也考查了等腰直角三角形的性质.

18.如图，市政府准备修建一座高A8=6〃i的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面8c的

夹角NACB的余弦值为则坡面AC的长度为（）

A.—mB.10，"C.D.—^-in

22

【考点】T8：解直角三角形的应用

【分析】在RtAABC中，通过己知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度.

nr4

【解答】解：由在RtAABC中，cosZACB=—=-,

AC5

设BC=4x,AC=5x,

则AB=3x,

AR7

则sinNACB=—二二；

AC5

又vAB=6m,

AC=10/n；

故选：B.

【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答

此类题目的关键.

19.河堤横断面如图所示，A8=10米，tan/BAC=半，则AC的长是（）米.

A.5若B.10C.15D.105/3

【考点】78：解直角三角形的应用

【专题】11：计算题；55E：解直角三角形及其应用

【分析】可由tanNB4C=日得到BC、AC间关系，利用勾股定理求AC；也可由

tanABAC=与得到NBAC的度数，利用该角的余弦函数及余弦值求AC；

【解答】解：法一：在RtAABC中，

•MBACA力,

AC3

3

VAC2+BC2=AB2

即AC2+-AC2=1O2

3

二.AC=5力某轮船由西向东航行，在力处测得小岛P的方位是北偏东75°,继续航行7海

里后，在8处测得小岛尸的方位是北偏东60°,则此时轮船与小岛P的距离8P=

A.7海里B.14海里C.3.5海里D.4海里

【考点】解直角三角形的应用.

【答案】A

【分析】先过户作的垂线P。，在直角△8PO中可以求得/为。的度数是30°,即

可证明△NPB是等腰三角形，即可求解.

【解答】解：过尸作PZ）_L/8于点。，

:NPBD=90°-60°=30°

且NPBD=NP4B+N4PB,/以8=90-75=15°

:.NR4B=NAPB,

：.BP=AB=1.

【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直

角三角形的问题，解决的方法就是作高线.正确证明A/PB是等腰三角形是解决本题的

关键.

21.如图，电线杆的高度为CD=m,两根拉线4c与BC互相垂直，若NCA8=a,则拉线

8c的长度可以表示为（）

sinacosatana

【答案】B

【考点】解直角三角形的应用

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】根据同角的余角相等得NCW=NBCL>，由cosZBC£>=—,即可求出BC的长度.

BC

【解答】解：・.・NCAD+NACO=90。，ZACD+ZBCD=90°,

/CAD=/BCD,

CD

在RtABCD中，cosNBCD=—,

BC

m

:.BC=—―

cosZBCDcosa

故选：B.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是

解题的关键.

22.小甬和小真两位同学来到体育馆前一个半圆形公益广告牌前，广告牌如图所示，两位同

学认为如果要测得广告牌的半径，按以下方案获取数据后即可求得：他们先测得广告牌的影

长为12米，然后小甬让小真站立，测得小真的影长为2.4米，已知小真同学身高为1.6米,

,玉米

C.（9万-27）米

【专题】55E：解直角三角形及其应用；55C：与圆有关的计算；69：应用意识

【分析】如图，设圆心为。，。8是半径，点F是光线。尸与半圆的切点，延长8。交。/于

A,过点8作交。厂的延长线于E,设。尸=OB=x米.求出求出8E=EF=8,

再利用相似三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：如图，设圆心为。，08是半径，点尸是光线OF与半圆的切点，延长8。交。F

于4,过点8作破_L/W交/的延长线于E,设OF=OB=x米.

由题意C£）=AB=12米,

BE1.6

,'AB~2A'

BE=8米，

vEF,EB都是切线，

EF=EB=8,

在RtAABE中，AE=A/AB2+B£：2=^122+82=4>/13,

ZOAF=ZEAB,ZAFO=ZABE=90°,

,OF_AF

x4g-8

♦­=-----------,

…812

8V13-16

..x-t

3

故选：D.

【点评】本题考查解直角三角形，切线长定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

23.如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB=20米，AC=30米，NA=150。，草皮

的售价为a元/米一则购买草皮至少需要（）

A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元

【考点】T8：解直角三角形的应用

【分析】作54边的高C。，设与区4的延长线交于点£）,则ND4C=30。，由AC=30〃?，

求出CO=15〃?，然后根据三角形的面积公式推出AABC的面积为150加，最后根据每平

方米的售价即可推出结果.

【解答】解：如图，作34边的高C。，设与朋的延长线交于点D,

;NBAC=150。，

ZDAC=30°,

,:CD_LBD,AC=30〃z,

CD=15/T?,

vAB=20/〃,

2

■■-SMBC=-ABxCD=-x20xl5=150/n,

•.•草皮的售价为a元/米，

购买这种草皮的价格：150a元.

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的

性质，关键在于作出4?边上的高，根据相关的性质推出高C。的长度，正确的计算出

AABC的面积.

24.如图，某停车场人口的栏杆，从水平位置AB绕点。旋转到A'笈的位置已知AO=4〃i,

若栏杆的旋转角乙4。4'=50。时，栏杆A端升高的高度是（）

sin50°cos50°

【考点】TS：解直角三角形的应用

【专题】69：应用意识；55£：解直角三角形及其应用

【分析】根据直角三角形的解法解答即可.

【解答】解：栏杆A端升高的高度=AOI§nNAOA'=4xsin50°,

故选：B.

【点评】此题考查解直角三角形，关键是根据直角三角形的三角函数解答.

25.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1:百，坝高BC=3"z,则45的长度为（）

A.6mB.3\[3mC.9mD.6\f3m

【答案】A

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【专题】应用意识；解直角三角形及其应用

【分析】根据坡度的概念求出AC,根据勾股定理求出

【解答】解：•.■迎水坡43的坡比为1：力，

BC131

——--7=,即Hn——=~i=，

AC旧AC73

解得，AC=,

由勾股定理得，AB=4BC2+AC2=6(//?),

故选：A.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键.

26.某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需

求，游客可以乘坐垂直升降电梯回自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道8c的坡度为

z=l：2,8c=12百米，C£>=8米，NO=36。，则垂直升降电梯4J的高度约为()米.为

z=l:2,得

BE:CE=\:2.

设BE=xm,CE=Ixm.

在R3BCE中，由勾股定理，得

BE2+CE2=BC2,

即炉+(2x)2=(12百)2,

解得x=12,

BE=12m,CE-24/n,

DE=DC+C£=8+24=32/n,

由tan36°*0.73,得

—=0.73,

DE

解得AE=0.73x32=23.36根.

由线段的和差，得

AB=AE-BE=23.36-12=11.36»11.4/n,

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE,3E的长是解题关键，

又利用了正切函数，线段的和差.

27.如图，在地面上的点A处测得树顶3的仰角为a度，AC=1m,则树高8。为（)

7

B.7cosaC.7tanaD.

tana

【答案】C

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【分析】根据正切的概念进行解答即可.

【解答】解：在RtAABC中，tana=—,

AC

则BC=AC\tana==1tanam,

故选：C.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐

角三角函数的定义是解题的关键.

28.如果小丽在楼上点4处看到楼下点3处小明的俯角是35。，那么点8处小明看点A处小

丽的仰角是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力

【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论.

【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点8看点A的俯角互为内错角，大小相等.

所以小丽在楼上点A处看到楼下点8处小明的俯角是35°,

点5处小明看点A处小丽的仰角是35。.

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯

角的定义.

29.如图，在热气球C处测得地面A、3两点的俯角分别为30。、45°,热气球C的高度C。

为100米，点A、D、8在同一直线上，则两点的距离是（)

B.2006米C.220b米D.100(g+1)米

【考点】TA-.解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【分析】在热气球C处测得地面3点的俯角分别为45。，8。=8=100米，再在RtAACD中

求出AZ）的长，据此即可求出A3的长.

【解答】解：•.•在热气球C处测得地面8点的俯角为45。，

80=CO=100米，

•.•在热气球C处测得地面A点的俯角为30。，

,AC=2x100=200米，

AD=>/2002-1002=100百米,

AB=AD+3。=100+100®=100（1+6）米，

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直

角三角形并解直角三角形.

30.如图，垂直于水平面的5G信号塔建在垂直于水平面的悬崖边8点处，某测量员从

山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点，再沿斜坡DE方向前行78米到E点，在点E处

测得5G信号塔顶端A的仰角为43。，悬崖8c的高为144.5米，斜坡3E的坡度i=1:2.4,

则信号塔的高度约为（）

,=1:2.4可设EF=x，则。尸=2.4x,利用勾股定理求出x的值，进而可得出所与DF的长，

故可得出CF的长.由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM=FC,

CM=EF,再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案.

【解答】解：过点E作EF_LOC交OC的延长线于点尸，过点E作EMJ.AC于点”，

DC

•.•斜坡OE的坡度i=1:2.4,£>E=CZ)=78米，

.•.设EF=x,则力尸=2.4x.

在RtADEF中，

222

•••EF-+DF=DE,即x+(24x)2=782,

解得，x=30,

.•.EF=30米，OF=72米，

CF=£>尸+OC=72+78=150米.

EM1AC,AC1CD,EFLCD,

四边形EFC历是矩形，

EM=CF=150米，CM=EF=30米.

在RtAAEM中,

•：ZAEM=43°,

AM=EM\tan43。=150x0.93=139.5米，

:.AC=AM+CM=139.5+30=169.5米.

AB=AC-BC=\69.5-144.5=25米.

故选：D.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出

直角三角形是解答此题的关键.

二、填空题

31.计算：2cos60°+tan45°=2.

【考点】T5：特殊角的三角函数值；2C：实数的运算

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可.

【解答】解：2cos60°+tan45°=2x1+1=2.

2

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.

32.比较sin80。与tan46。的大小，其中值较大的是_tan46。_.

【考点】T1-.锐角三角函数的增减性

【专题】55E：解直角三角形及其应用

【分析】由sin80。＜sin90。=1及tan46°＞tan45°=l求解可得.

【解答】解：•••sina随a的增大而增大，且sin80。＜sin90。，

sin80°＜1,

•.♦tana随a的增大而增大,且tan46。＞tan45。，

tan46°＞1,

则tan46。＞sin80。，

故答案为：tan46。.

【点评】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的增

减性.

34

33.在&4BC中，ZC=90°,cosA=-,则tanA等于-.

5-3―

【考点】T3：同角三角函数的关系

【分析】根据cosA=?,设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表

5

达式即可推出tanA的值.

【解答】解：,.・cosA=3知，设〃=3x,则c=5x,根据〃之+b?=，得a=4x.

5

a4x4

tanA=—=—=—•

b3x3

故答案为：—.

3

【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方

法求三角函数值，或者利用同角的三角函数关系式求三角函数值.

34.在R3ABC中，ZC=90°,若tanA=3，则cosB的值是-.

4-5―

【考点】T4：互余两角三角函数的关系

【专题】11：计算题

【分析】根据锐角三角函数关系得出设3C=3x,AC=4xf故A8=5x,进而得出答案.

【解答】解：如图所示：・.・NC=90。，tanA=?,

4

BC3

——，

AC4

设BC=3x,AC=4x,故AB=5x,

故答案是:

【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.

35.若cos°=3，则€(=45

2

【考点】特殊角的三角函数值.

【专题】解直角三角形及其应用；符号意识.

【答案】45.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.

【解答】解：：cos°=瓜，

则a=45.

故答案为：45.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

【考点】T3：同角三角函数的关系

【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理

求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答.

4

【解答】解：由sinA=g知，可设。=4x,贝ljc=5x,b=3x.

故答案为：

【点评】本题考查了同角三角函数的关系.求锐角的三角函数值的方法：利

用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角

的三角函数关系式求三角函数值.

37.在R3ABC中，已知N4c8=90°,BC=\,Afi=2,则cosA=—.

—2—

【考点】71：锐角三角函数的定义

【专题】66：运算能力；55£：解直角三角形及其应用

【分析】首先画出图形，利用勾股定理计算出AC的长，再根据余弦定义可得答案.

【解答】解：•.•NAC8=90。，BC=\,AB=2,

AC=722-12=V3,

—生=立

AB2

故答案为:4,

【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的

比叫做NA的余弦，记作cosA.

38.已知：实常数〃、b、c>d同时满足下列两个等式：①asinO+Z2cos6-。=。；②

acosJ-bsin夕+4=0,则〃、b、cd之间的关系式是：_a2+b2=c2+d2_.

【考点】73：同角三角函数的关系

【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sire+cos?6=1,即可找到这四个

数的关系.

【解答】解:由①得asine+Acos6=c,

两边平方，crsin20+b2cos20+2abs\n^cos3=c2(3)

由②得acosC-Z?sin，=一4,

两边平方，crcos20+b2sin20-2absin0cos3=d2④

③+④得

a2(sin20+cos20)+Z?2(sin20+cos20)=(r+d2

a2+b2=c2+d2.

故答案为：a2+b2=c2+d2.

【点评】本题考查了Sin2e+cos2e=1的应用.

47

39.AA8C中，ZC=90°,tan/A=-,则sinA+cosA=-

3-5―

【考点】同角三角函数的关系

A

【分析】根据tanA=2和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出

3

.3=生，

AC3

.•.设A8=5x,则8c=4%,

AC=3xf

则有：sinA+cosA=—+—=—+—=

ABAB5x5x5

故答案为：

5

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联

系起来，进而得出结论.

40.在&4BC中，ZA.N3为锐角，且|tanA—l|+(g—cos8)2=0,则NC=75°.

【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方

【分析】根据非负数的性质求出tan4和cosB的值，然后求出Z4、的度数，最后求出ZC.

【解答】解：由题意得，tanA=l,COS8=L

2

则NA=45°,ZB=60°,

贝ljZC=180°-45°-60°=75°.

故答案为：75.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

41.已知：四边形A8CO,对角线AC,BD交于点、E,ABLBD于B,ZBCD+2AABC=360°,

BD=2,AC=V10,贝hanNAE8=3

BD

【考点】T7：解直角三角形

【专题】11：计算题

【分析】作CH-LBO于"，C于尸，如图，先证明4=N2得到ABC。为等腰三角

形，^\BH=DH=-BD=\,再由四边形3/C”为矩形得到CE=8H=1,则利用勾股定

2

理可计算出A尸=3,于是根据正切的定义得到tan乙4"=3,从而得到tan乙4石3的值.

【解答】解：作。〃JL8。于“，CFJ.A8于尸，如图，

-ABA.BD,

CF//BD,ZABE=90°,

/.ZAEB=ZACF,

NBCD+2ZABC=360°,

即乙BCD+2(Z1+90°)=360°,

ZBCD+2Zl=180°,

而NBCD+N1+N2=18O。,

，Z1=Z2，

ABC。为等腰三角形，

:.BH=DH=-BD=l,

2

易得四边形BFCH为矩形，

CF=BH=\,

在RtAACF中，AF=&M)2_f=3,

tanZ.ACF=3,

/.tanZ.AEB=3.

故答案为3.

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解

直角三角形.灵活利用运用勾股定理和锐角三角函数.

42.如图所示的网格是正方形网格，ZBAC_>_ZDAE.正方形网格中，乙408如图放

置，则tanZAOB的值为2.

【考点】71：锐角三角函数的定义

【专题】24：网格型

【分析】根据正切定义：锐角A的对边。与邻边人的比进行计算即可.

CD

【解答】解：tanZAOB==2»

DO

故答案为：2.

工井

【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义.

44.如图，&48c的顶点都是正方形网格中的格点，则cosNACb等于—

—10—

【专题】应用意识；运算能力；等腰三角形与直角三角形

【分析】根据题意，可以求得AC、AB,BC、CD的长，然后根据等积法可以求得AE的

长，再根据勾股定理即可得到CE的长，然后即可得到.

【解答】解：作CDLA8于点。，作AELBC于点£,

由已知可得，AC=，『+3?—V10>AB=5,BC->/32+42=5,CD=3,

ABICDBCUAE

~2~—2~

5x35xAE

---=------,

22

解得AE=3,

:.CE=>]AC2-AE2=7(Vio)2-32=1,

..28=。=1=®,

ACVioio

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

45.在RtAABC中，ZC=90°,D为BC上一点,ZDAC=30°,BD=2,AB=273,贝ljAC

【考点】T7：解直角三角形

【专题】11：计算题；16：压轴题

【分析】设CO=x，在RtAACD中，根据NDAC=30。的正切可求出AC.在RtAABC中,

根据勾股定理得到关于x的方程，解得X,即可求出AC.

【解答】解：设3x，则3品=限，

AC2+BC2=AB2,AC2+(CD+BD)2=AB2,

,■,(闻2+(x+2)2=(26)2,

解得，x=\,AC=>/3.

故答案为招.

【点评】本题主要考查解直角三角形的知识点，利用了勾股定理和锐角三角函数的概念求解.

46.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆

的高度.图2是支撑杆的平面示意图，和C。分别是两根不同长度的支撑杆，夹角

NBOD=a.若AO=85的，BO=DO=65cm.当a=74。时，较长支撑杆的端点A离

地面的高度％约为120an.如图所示，九班数学课外活动小组在河边测量河宽4?,他

们在点C测得NACB=30°，点D处测得^ADB=60°,CD=80w,则河宽AB约为69%

如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了50米.

【答案】50.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【专题】运算能力；推理能力；应用题；解直角三角形及其应用

【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根

据勾股定理计算即可.

【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，

♦.•坡比为1:2.4,

他行走的水平宽度为2.4x米，

由勾股定理得，f+(24x)2=1302,

解得，x=50,

即他沿着垂直方向升高了50米，

故答案为：50.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角

的定义.

3

49.如图，利用标杆跳测量楼房的高度，如果标杆座长为3.6米，若tan4==,

4

BC=19.2米，则楼高是18米.

\D

【考点】7