2021年中考数学复习 中位线定理强化训练

专题中位线定理强化训练

1.如图，△ABC的面积是12,点。、E、F、G分别是BC、AD,BE、CE的中点，则

△4尸6的面积是（）

A.4.5

B.5

C.5.5

D.6

2.如图，M是AaBC的边8C的中点，AN平分4BAC,BNLAN于点、N,且4B=10,

BC=15,MN=3,则4c的长是（）

A.12

B.14

C.16

D.18

3.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点，若

^DAC=20°,Z.ACB=66°,贝Ij/FEG等于（）

A.47°B.46°C.11.5°D.23°

4.如图，回ABCD的周长为36,对角线AC、B£＞相交于点O,点E是的中点,B。=12,

则ADOE的周长为（）

A.15

B.18

C.21

D.24

5.如图，nABCO的对角线AC,BO相交于点。，E是AB中点，且4E+E0=4,则

□ABC。的周长为（

A.20D.8

6.如图，在辿8。中，NA=45。，4。=4,点M、N分别是边A3、8c上的动点，

连接£W、MN,点、E、尸分别为£>N、A/N的中点，连接EF,则EF的最小值为（）

A.1B.V2C.yD.2V2

7.如图，四边形ABC。中.AC18配4。〃8。,3。为448（；的平分线,8。=3,AC=4.E,

尸分别是8。，AC的中点，则EF的长为（）

D.2.5

8.如图，。是△ABC内一点，BD1CD,AD=7,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分别是AB、BD、CD、4c的中点，则四边形的周长为（）

A.12

第2页，共21页

9.如图，点G为△4BC的重心，连接CG,4G并延长分别交AB,8c于点E,F,连

接EF,若48=4.4,AC=3.4,BC=3.6,则EF的长度为（）

A

A.1.7A

B.1.8

C.2.2

D.2.4

10.如图，在四边形ABC。中，点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,8。的中点，若

AD=BC=26，则四边形EGFH的周长是.

11.如图，在AABC中，用直尺和圆规作A8、AC的垂直平分线，分别交A8、AC于点

。、E,连接DE.若BC=10cm,贝IDE=cm.

12.如图所示，点瓜。分别在AABC的边A8、3C上，CE和AO交于点F,若Sfsc=1，

SABDE=S&DCE-SAACE，则SAEDF=------

13.如图，在四边形ABC£>中，AB1BC,ADIAC,AD=AC,/.BAD=105°,点、E

和点尸分别是AC和CQ的中点，连接BE,EF,BF,若CD=8,则△BEF的面积

是______

14.如图，在△ABC中，AB=9,BC=3,3。平分Z4BC,且4。18。于点。，点E

为AC中点，连接OE,则OE的长为.

15.如图，在四边形A8CZ）中，点尸是对角线8。的中点，点E、F分别是48、CD的

中点，AD=BC,^PEF=30°,则NEPF的度数是.

第4页，共21页

16.如图，在△ABC中，点。为边8C的中点，点后在44BC内,AE平分NBAC,CE1AE,

点厂在AB上，且BF=DE.

(1)求证：四边形8DEF是平行四边形；

(2)线段A8,BF,AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论.

17.如图，AABC中，点E,F分别是AB,4c的中点，点P为△ABC内一点，点G,H

是PB,PC的中点，顺次连接点E,F,H,G.

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若4P=6,BC=10,求四边形EFHG的周长；

(3)当线段AP,8c满足什么条件时，四边形EFHG是正方形？请说明理由.

18.如图所示，在四边形A8C£＞中，AB=CD,M、N、P分别是A。、BC、8。的中点,

乙ABD=20°,乙BDC=70°,求NPMN的度数.

19.在RtAZBC中，ABAC=90°,E、尸分别是BC、AC的中点，延长BA到点。，使

AB=2AD,连接。E、DF、AE,EF,4尸与OE交于点O.

(1)试说明A尸与。£互相平分；

(2)若48=8,BC=12,求。。的长.

第6页，共21页

20.(1)如图1,在四边形ABC£＞中，AB=CD,E,F分别是A。，的中点，连接FE

并延长，分别与BA,CC的延长线交于点M,N.

求证：乙BME=4CNE；(提示：取2。的中点“，连接F”，HE作辅助线)

(2)如图2,在AABC中，F是8c边的中点，。是AC边上一点，E是的中点,

直线FE交BA的延长线于点G,若4B=DC=2,Z.FEC=45°,求FE的长度.

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面

积相等的两部分.

根据中线的性质，可得△4EF的面积=|XAABE的面积=iXA4BD的面积=\XLABC

248

的面积=|，AAEG的面积=：,根据三角形中位线的性质可得AEFG的面积=：XZ\BCE

224

的面积=|，进而得到AAFG的面积.

【解答】

解：•.•点。，E,F,G分别是8C,AD,BE,CE的中点，

•••4。是AZBC的中线，BE是△4BD的中线，CE是△力CD的中线，AF是AABE的中线，

AG是AACE的中线，

•••△AEF的面积=iXAABE的面积=；XA4BD的面积=；ABC的面积=

2482

同理可得44EG的面积=|,

△BCE的面积=|XAABC的面积=6,

又FG是ABCE的中位线，

EFG的面积=iXABCE的面积=

42

4FG的面积是gx3=|,

故选：A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

延长线段BN交4C于E,易证AABN三AAEN,可得N为BE的中点；由已知M是BC

的中点，可得是ABCE的中位线，由中位线定理可得CE的长，根据AC=4E+CE

可得AC的长.

本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定及性质.解决本题的关键是作出辅助线,

利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题.

第8页，共21页

【解答】

解:

延长线段8N交AC于E.

•••AN平分NB4C,

/.BAN=乙EAN,

在△ABN与△AEN中，

/.BAN=LEAN

••AN=AN

AANB=UNE=90°

••△ABN三△4ENQ4S4),

.-.AE=AB=10,BN=NE,

又,:A/是^ABC的边BC的中点，

•••CE=2MN=2x3=6,

AC=AE+CE=10+6=16.

故选C.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质.

根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解.

【解答】

解：•.•AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,

•••GF是△4CD的中位线，GE是AACB的中位线,

X---AD=BC,

■■■GF=GE,乙FGC=ADAC=20°,AAGE=乙ACB=66°,

乙FGE=Z.FGC+乙EGC=20°+(180°-66°)=134°,

Z.FEG=|(1800-4FGE)=23°.

故选：D.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角

形中位线定理，属于基础题.

利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题.

【解答】

解：•••平行四边形A8CD的周长为36,

・•・BC+CD=18,

・・•OD=OB,DE=EC,

：.OE+CE=g(BC+CD)=9,

•••BD=12,

.-.OD=lBD=6,

：.△DOE的周长为9+6=15.

故选：4

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角

形的中位线定理，属于中考常考题型.首先证明：OE=：BC,由4E+E0=4,推出

AB+BC=8即可解决问题.

【解答】

解：•••四边形ABCO是平行四边形，

・•・OA=OC,

第10页，共21页

•・•AE=EB,

OE=-2BC,

v4E+E。=4,

・•・2AE+2E0=8,

・•・AB+BC=8,

・•・平行四边形ABCD的周长=2x8=16,

故选：B.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，本题的突破点是确定当0M的取最小值时，£尸也最小.连接DM,

利用三角形中位线定理，可知EF=^DM，求出。M的最小值即可求出的最小值.

【解答】

解：如图，连接。M,

•:E、F分别为£W、MN的中点，

•••EF=^DM,

当DM的取最小值时，EF也最小，

当£W_LAB时，。仞最小，

在RM/WM中，乙4=45。，AD=4,

此时△40M为等腰直角三角形，

DM=—AD=2V2，

2

EF=-DM=V2,

2

•••EF的最小值是企.

故选B.

7.【答案】A

【解析】解：・—BC,

・•・乙ACB=90°,

vBC=3,AC=4,

:.AB=5,

-AD//BC,

・•・Z,ADB=乙DBC,

・・・8D为〃8c的平分线，

・•・Z.ABD=乙CBD,

••・Z-ABD=Z-ADB,

:、AB=AD=5,

连接8尸并延长交于G,

-AD//BC,

・•・Z.GAC=Z.BCA,

・・•？是AC的中点，

・•・AF=CF,

•・•Z.AFG=乙CFB,

•^AFG=ACFB(ASA)f

:,BF=FG,AG=BC=3,

・•・DG=5—3=2,

・••E是B。的中点，

EF=-2DG-1.

故选：A.

根据勾股定理得到AB=5,根据平行线的性质和角平分线的定义得到4ABD=乙4DB,

求得ZB=AD=5,连接BF并延长交AO于G,根据全等三角形的性质得到BF=FG,

AG=BC=3,求得DG=5-3=2,根据三角形中位线定理即可得到结论.

第12页，共21页

此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅

助线是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：•••BD1CD,BD=4,CD=3,

•••BC=yjBD2+CD2=V42+32=5.

•:E、F、G、H分别是A3、BD、CD、AC的中点，

EH=FG=-2BC,2EF=GH=-AD,

二四边形EFG"的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

XvAD=7,

•••四边形EFG4的周长=7+5=12.

故选：A.

利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边

的一半求出EH=FG=1BC,EF=GH=\AD,然后代入数据进行计算即可得解.

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边

并且等于第三边的一半是解题的关键.

9【答案】A

【解析】解：・点G为4ABC的重心，

:.AE=BE,BF=CF,

1

EF=-AC=1.7,

2

故选：A.

由已知条件得M是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度.

本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为

三角形的中位线.

10.1答案］4V5

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

根据三角形的中位线定理即可求得四边形EFGH的各边长，从而求得周长.

【解答】

证明：:E、G是AB和AC的中点，

EG=-22BC=-X2V5=V5,

同理HF=：BC=遍，

EH=GF=-AD=ix2V5=V5.

22

••・四边形EGFH的周长是：4XV5=4A/5.

故答案为：4A/5.

11.【答案】5

【解析】

【分析】

此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，三角形的中位线的性质，正确得

II!DE是七ABC的中位线是解题关键.

直接利用线段垂直平分线的性质得出OE是AABC的中位线，进而得出答案.

【解答】

解：•••用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，

二。为AB的中点，E为AC的中点，

•••DE是MBC的中位线，

.-.DE=lBC=5cm.

故答案为5.

12.【答案】2

【解析】解:<S^BDE=S&DCE，

.・•点。是BC的中点，

"SABDE=SHDCE=SAACE，

S^BCE—SABDE+SADCE=2SAACE，

.••点E是A8的三等分点，

取BE的中点G,连接。G,

根据三角形的中位线定理，DG//CE,

二EF是△4CG的中位线，

第14页，共21页

・••万是AO的中点,

S^ABC=1，

c1.1

S&ABD=炉1=3，

SfDE=&SMBO=3X3=9

S△的二次DDE=1X；=H-

故答案为：.

根据S^BDE=S^OCE可得点。是3c的中点，再求出S^BCE=2sMCE，然后根据等1W1的二

角形的面积的比等于底边的比，从而求出点£是AB的三等分点，取BE的中点G,连

接OG,根据三角形的中位线平行于第三边可得DG〃CE,然后确定尸是4。的中点，再

根据等底等高的三角形的面积相等解答即可.

本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，三角形的中位线

定理，判断出点E是A8的三等分点，点尸是AO的中点是解题的关键.

13.【答案】2V3

【解析】解：过点E作E"11于H.

-AD=AC,LDAC=90°,CD=8,

:.AD=AC=4VL

,:DF=FC,AE=EC,

：.EF*AD=2®EF"AD,

・•・Z.FEC=Z.DAC=90°,

vZ.ABC=90°,AE=EC,

.・・BE=AE=EC=2V2,

・•・EF=BE=2VL

v乙BAD=105°,Z-DAC=90°,

AZB>1£,=1050-900=150,

・•・Z.EAB=LEBA=15°,

・•・乙CEB=z,EAB+Z-EBA=30°,

.%zF£,^=90°+30°=120°,

(EFB=乙EBF=30°,

・・•EH1BF,

•••EH=^EF=V2,FH=如EH=V6,

•••BF=2FH=2V6.

•••S^EFB=j-EH=jx2V6xV2=2V3.

故答案为2b.

过点E作EH18F于从利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明4

BFE是顶角为120。的等腰三角形即可解决问题.

本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质,

三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

14.【答案】3

【解析】解：延长A。、BC交于点”,

■•AD1BD,8。平分/ABC,

.-.AD=HD,BH=BA=9,

•••BC=3,

HC=BH-BC=6,

■：AD=DH,AE=EC,

：.DE=-HC=3,

2

故答案为：3.

延长A。、8c交于点根据等腰三角形的判定定理得到BH=BA,根据三角形中位线

定理计算即可.

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定定理的应用，掌握三角形的中位线

平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

15.【答案】120°

【解析】解：•••点P是对角线8。的中点，点£、尸分别是48、CO的中点,

.-.PF^^BC,PE=^AD,又AD=BC,

•••PE=PF,

乙PFE=乙PEF=30°,

•••乙EPF=120°,

故答案为：120°.

第16页，共21页

根据三角形中位线定理得到PF=^BC,PE=\AD,根据题意得到PE=PF,根据等腰

三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边

的一半是解题的关键.

16.【答案】⑴证明：延长CE交AB于点G,

■:AE1CE,

••・^AEG=2LAEC=90°,

在△/EG和△4EC中，

Z-GAE=Z.CAE

AE=AE，

Z.AEG=Z.AEC

­.^AGE^^ACE(ASA).

:.GE—EC.

BD=CD,

・・・DE为ACGB的中位线，

・・・DE"AB.

・••DE—BF,

四边形BOE尸是平行四边形.

(2)解：BF=\{AB-AC).

理由如下：

•••四边形BDEF是平行四边形，

•••BF=DE.

,:D、E分别是BC、GC的中点，

BF=DE=-BG.

2

,/△AGE=LACE,

-AG=AC,

i1

BF=-4G)=；(AB-XC).

【解析】（1）证明△AGE三△ACE,根据全等三角形的性质可得到GE=EC,再利用三角

形的中位线定理证明DE〃/1B,再加上条件DE=BF可证出结论；

(2)先证明BF=DE=\BG,再证明AG=AC,可得到BF=4G)=1(AB-AC}.

此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定

理，题目综合性较强，证明GE=EC,再利用三角形中位线定理证明DE〃4B是解决问

题的关键.

17.【答案】解：(1)证明：•:E、F分别为AB、AC中点，可知EF&gBC，

再根据G、，分别为P&PC的中点，

•••GH=2-BC>

EF=GH>

所以四边形EFHG是平行四边形；

(2)由(1)已知EFG”是平行四边形，

E、F分别为AB、AC中点，可知GH」NBC，

2

•••GH=-BC=5,

2

又一：F、H分别是AC、PC中点，

HF^-AP>

2

HF=3,

EFHG的周长为=2x(5+3)=16；

(3)当4P=BCS.AP1BC时，四边形EfHG是正方形.

理由是：

•••E、/分别为A3、AC中点，

•••EF=-BC>

2

,:F、”分别是AC、PC中点，

//1

HF=-AP,

2

.•.当4P=BCS.AP1BC时，

根据四边形EFHG是平行四边形可得：

GE=HF=GH=EFHEF1HF,

此时四边形EFGH即为正方形.

【解析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定、正方形的判定，属

于中档题.

第18页，共21页

(1)根据E、尸分别为AB、AC中点，可知再根据G、〃分别为P&PC的

中点，即可求证；

(2)根据第一小问EFHG是平行四边形，再利用中位线性质即可求解；

(3)当月P=BC且4P1BC时，四边形EFGH是正方形.根据E、F分别为48、AC中点,

可知EF^^BC，F、H分别是AC、PC中点，HF=-AP，结合四边形E/7/G是平行四

22

边形即可得证.

18.【答案】解：•・・在四边形A3C。中，M、N、尸分别是A。、BC、3。的中点，

：.PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线，

・・・PM=148,PN=”C,PM//AB,PN//DCf

•:AB=CD,

PM=PN,

・・.△PMN是等腰三角形，

vPM//AB,PN//DC,

・•・4MPD=乙ABD=20°,乙BPN=乙BDC=70°,

・•・乙MPN=乙MPD+乙NPD=20°+(180-70)°=130°,

180°-130°

乙yPMN=----------=2o5c°o.

2

【解析】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时