2021年中考数学 三轮冲刺：矩形、菱形（含答案）

2021中考数学三轮专题冲刺：矩形、菱形

一、选择题

1.如图，菱形43。。的周长为85,高AE长为bcm,则对角线AC和3。长

之比为（）

A.1；2B.l；3C.lD.l：y[3

2.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交

菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2,BD=1,AP=x,AAMN的面积为

y,则y关于x的函数图象的大致形状是（）

012X~7)12X-7)12^~012"

3.（2020.毕节）如图，在矩形A8CO中，对角线AC,8。相交于点O,点、E,F

分别是A。，A0的中点，连接EF,若AB=6cm,BC=8cm,则EE的长是（）

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

4.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使^ABCD

成为菱形，下列给出的条件不巧碰的是（）

AAB=ADB.AC±BD

C.AC=BDD.ZBAC=ZDAC

5.（3分）如图，四边形ABC0是菱形，对角线AC,8。相交于点O,AC=8.BD

=6,点E是CO上一点,连接0E,若OE=CE,则0E的长是（)

A.22C.3D.4

6.（2020.乐山）如图，在菱形ABCD中，AB=4,N8AO=120。，0是对角线

BD的中点，过点0作OELCD于E,连接0A,则四边形AOED的周长为（）

A.9+2小B.9+小C.7+2小D.8

7.（2020•深圳）如图，矩形纸片A8C。中，AB=6,BC=12.将纸片折叠,使

点8落在边AO的延长线上的点G处，折痕为ER点E、F分别在边A。和边

BC±.连接BG,交C。于点K,FG交CD于点、H.给出以下结论：

®EF±BG；®GE=GF；③^GOK和△GKH的面积相等；④当点尸与点C重

合时，NDEF=75°.其中正确的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2020・泰安）如图，矩形A8C。中，AC,8。相交于点。，过点3作BbLAC

交CD于点、F,交AC于点过点。作。交A3于点E,交AC于点、N,

连接EMEM.则下列结论：①DN=BM；②EM〃FN；@AE=FC；④当A。

=AO时，四边形OEBb是菱形.其中，正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

D

二、填空题

9.如图，矩形ABCD的面积是15,边AB的长比AD的长大2,则AD的长是

I)C

B

10.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=2,则菱形

ABCD的周长为.

11.把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形

分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.

12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,

则菱形ABCD的高DH=

13.如图，菱形ABCD的面积为120cnr,正方形AECF的面积为50cm2,则菱

形的边长为cm.

14.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE

的对角线，若ND=60。，BC=2,则点D的坐标是.

15.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.如果NADB

=30°,则NE=度.

16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10.点E在CD上，将△BCE沿

BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将^ABG沿BG折叠,

点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论：

3

①NEBG=45。；©ADEF^AABG；③SAABG=/SAFGH;®AG+DF=FG.

其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)

三'解答题

17.如图，在菱形A3CD中，AC为对角线，点E,尸分别在AB,A。上，BE=DF,

连接EE

(1)求证力。_1_所；

⑵延长E尸交C。的延长线于点G,连接8。交AC于点O,若BD=4,tanG=J

求A。的长.

18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,ZABC：ZBAD=1：2,

BE〃AC,CE〃BD.

(1)求31NDBC的值；

⑵求证：四边形0BEC是矩形.

19.如图，A8是。。的直径，OO_L48于点。，连接D4交。。于点C,过点C

作0。的切线交。。于点E,连接3C交。。于点E

(1)求证:CE=EE

(2)连接AF并延长，交。。于点G填空：

①当/。的度数为时，四边形ECRJ为菱形；

②当NO的度数为时，四边形ECOG为正方形.

20.如图，在菱形ABC。中，AB=5,sinZABD=^~,点P是射线3C上一点,

连接AP交菱形对角线8。于点E,连接EC.

(1)求证：△ABE2CBE；

(2)如图①，当点尸在线段8C上时，且BP=2,求△2也?的面积；

(3)如图②，当点P在线段的延长线上时，若CELEP,求线段8P的长.

BPCBCP

图①图②

21.如图，在％BC。中，对角线AC与BO相交于点。，点E,尸分别为08,0D

的中点，延长AE至G,使£G=AE,连接CG

(1)求证:△ABEg△(?£>£

⑵当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGC/是矩形?请说明理由.

2021中考数学三轮专题冲刺：矩形、菱形-答案

一、选择题

1.【答案】D［解析］由菱形A8C。的周长为8cm得边长AB=2cm.又高AE长为旧

cm,所以NABC=60。，所以△ABC,XACD均为正三角形，AC=2cm,

BD=2AE=2y［3cm.故对角线AC和8。长之比为1：百，应选D.

2.【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和

二次函数的图象和性质.解题思路:设AC、BD交于点O,由于点P是菱形ABCD

AP

的对角线AC上一动点，所以0VxV2.当OVxVl时，△AMNS^ABD=TK=

AU

MNxMN1

器巴=MN=x=y=#jlt二次函数的图象开口向上，对称轴是x=0,

此时y随x的增大而增大.所以B和D均不符合条件.当l<x<2时，^CMN

CPMN2—xMN11.

—;—=~7~=>MN=2—x=y=”(2—x)=—5x2+x.此二次

LUJDU11zz

函数的图象开口向下，对称轴是x=l,此时y随X的增大而减小.所以A不符

合条件.综上所述，只有C是符合条件的.

3.【答案】D,

【解析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理.

解：矩形ABC。中，\"AB=6cm,：.DC=6cm,ZBCD=90°,BC=8cm,：.

BD=\Q.

,对角线AC,8。相交于点。，.•・。。=工3。=5.•.•点E,尸分别是A。，AD

2

的中点，：.EF=2.5.故选D.

4.【答案】C【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互

相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，

所以C错误；由N84C=ND4C可得对角线是角平分线，所以D正确.

5.【答案】B

【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB,OC,AC1BD,然后利用勾

股定理列式求出BC,最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的

一半求解即可.

•••菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,

1111.

・・・OB=/O=2X6=3,0A=0C=/C=3X8=4,AC±BD,

由勾股定理得，BC=\碗2+0理=42+42=5,

：.AD=5,

\"0E=CE,

：.ZDCA=ZEOC,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.ZDCA=ZDAC,

：.ZDAC=ZE0C,

：.0E//AD,

'：A0=0C,

是△AOC的中位线，

/.0E=)D=2.5.

6.【答案】B

【解析】由已知及菱形的性质求得N4?O=NCD8=30。，A0±BD,利用含30。

的直角三角形边的关系分别求得A。、DO、OE、DE,进而求得四边形AOEO的

周长.•四边形ABCO是菱形，。是对角线AC的中点，.•.A0_L8D,AD=AB

=4,AB〃DC；ZBAD=120°,：.ZABD=ZADB=ZCDB=3Q0；'：OE±DC,

.•.在RfZ\AOO中，AD=4,AO=^AD=2,DO=\IAD2~AO2=2^3；在

DEO中,0E=^0D=y［3,。石二寸人。？一人。?：？，...四边形4。石。的周长为人。

+OE+OE+AO=2+/+3+4=9+小.

7.【答案】C

【解析】由轴对称可知，B、G关于族对称，族垂直平分BG,故①正确；又

由矩形ABCO知，AD//BC,：.ZGEF=ZBFE,连接BE,ZBEF=ZGEF,：.

ZBEF=ZBFE,：.BE=BF,WBE=GE,BF=GF,：.GE=GF,故②正确；

由BE=GE=B/=GF知，四边形BEGb是菱形，:.GK平分NDGH,而。GV

GH,：.DK*KH,：$GD#SAGKH，故③错误；当点尸与点C重合时，BF=BC=

工ISQ0~ZAEB

12,：.BE=\2,而AB=6,AZAEB=30°,:.NGEF=-----------------=75°,故

④正确；因此本题选C.

8・［答案］D

【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件

与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD是

矩形，所以AB=CD,AD=BC,AD〃BC,所以NDAN=NBCM.因为BFLAC,

DE//BF,所以OELAC,即NAND=NCMB=90。，所以△ADN04CBM,所以

DN=BM,ZAND=ZCBM,则AADE丝Z^CBF,所以AE=CF、DE=BF,所以

NE=MF,即①②③都是正确的，由AE=CF、AB=CD,所以BE=DF,所以四边

形AEBF是平行四边形.因为四边形ABCD是矩形，所以AO=DO,因为当A。

=A。时，AO=DO=AO,所以AADO是等边三角形，所以NAND=/BDE=30。,

所以NBDE=NABD=30。，所以DE=BE,所以四边形DEBF是菱形，则④也是

正确的，因此本题选D.

二、填空题

9.【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题.设AD=x,

由题知，AB=x+2,又•.•矩形ABCD的面积为15,则x(x+2)=15,得到x?十

2x—15=0,解得，xi=-5(舍)，X2=3,AD=3.

10.【答案】16【解析】VE,F分别是AD,BD的中点，】AB=2EF=4,

菱形ABCD周长是4AB=16.

11.【答案】12［解析］设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a,帅＞a),则

由图②，图③可列方程组『+"=5，解得『=2,所以菱形的面积

1b-a=1,(b=3,

S*x4x6=12.故答案为12.

2

12.【答案】48【解析】..飞菱彩=；ACBD=2ABDH,AAC-BD=2ABDH.V

11

四边形ABCD是菱形，/.ZAOB=90°,A0=/AC=4,B0=/BD=3,...在Rt

_____8x6

△AOB中，AB=J42+32=5,，DH=痂=4.8.

13.【答案】13【解析】如解图，连接AC、BD交于0,则有gACBD=120,二

AC-BD=240,又•.•菱形对角线互相垂直平分，.•.2OA・2OB=240,0A-0B

=60,VAE2=50,OA2+OE2=AE2,OA=OE,/.OA=5,.*.OB=12,AAB

=^OA2+OB2=A/122+52=13.

14.【答案】（5+2,I）【解析】如解图，过点D作DGLBC于G,DF，x轴

于F,•.•在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,二4BCD是等边三角形，

/.DF=CG=1BC=1,CF=DG=V§,/.OF=V3+2,，D（S+2,1）.

15.【答案”5【解析】如解图，连接AC「.•四边形ABCD是矩形，；.AD=BC,

AC=BD,又'.'AB=BA,4DAB丝△CBA(SSS),NACB=NADB=30°,

VCE=BD,，AC=CE,/.ZE=ZCAE=|zACB=15°.

AD

BC解图

16.【答案】凿@【解析】由折叠的性质得，ZCBE=ZFBE,NABG=/FBG,

AZEBG=ZFBE+ZFBG=1x90°=45°,故①正确；由折叠的性质得，BF=BC

=10,BA=BH=6,AHF=BF-BH=4,AF=^BF2-BA2=^/102-62=8,设

GH=x,则GF=8—x,在^aGHF中，x2+42=(8-x)2,，x=3,.*.GF=5,

Q1AFD

，AG=3,同理在放ZSFDE中，由FD2=EF2—ED?,得ED=:J,EF=f~,.•.京

J3rD

4AB)

X

=1女6=2,.,.△DEF与△ABG不相似，故②不正确；SAABG=23X6=9,SAFGH

=^x3x4=6,二|：：：=’='!，故③正确；VAG=3,DF=AD—AF=2,FG

=5,...AG+DF=FG=5,故④正确.综上，答案是①③④.

三、解答题

17.【答案］

解:(1)证明:四边形ABCD为菱形，

：.AB=AD,AC平分NR4D

BE=DF,：.AB-BE=AD-DF,

：.AE=AF,

••.△AEF是等腰三角形，

：AC平分NBA。，C.ACLEF.

(2)•.•四边形ABC。为菱形，

ACG//AB,B0=-BD=2,

2

易知EF//BD,

四边形EBDG为平行四边形，

/.Z.G=AABD,tanXABD-tanXG=~,

2

tanZ.ABD=—=—=~,'.A,O=\.

BO22

18.【答案】

(1)(思路分析】根据四边形ABCD是菱形，NABC：ZBAD=1：2,可求出NDBC

的度数，其正切值可求出.

解：•••四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,ZDBC=|ZABC,

.,.ZABC+ZBAD=180°,

XVZABC：ZBAD=1：2,

AZABC=60°,(2分)

ZDBC=|ZABC=3O°,

：.tanZDBC=tan30°=*.(3分)

(2乂思路分析】由BE〃AC,CE〃BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结

合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形.

证明：•.•四边形ABCD是菱形，

AAClBD,即ABOC=90°,（4分）

VBE/7AC,CE〃BD,

；.BE〃OC,CE〃OB,

四边形OBEC是平行四边形，且NBOC=90。，

，四边形OBEC是矩形.（5分）

方法指导1（1）要求一个角的正切值,可通过相关计算先求得角的度数，再求其正

切值，这种情况往往所求角度为特殊值；或者将该角置于直角三角形中，通过求

直角三角形边长来，求其正切值.（2）矩形的判定：①平行四边形+有一个角是

直角；②平行四边形+对角线相等；③四边形的三个角是直角.

19.【答案】

解:⑴证明:连接0C

•.•CE是。。的切线,:.OCLCE.

，ZFCO+ZECF=90°.

\'DO±AB,：.ZB+ZBFO=90°.

'：ZCFE=ZBFO,

：.NB+NCFE=90°.

'：OC=OB,：.ZFCO=ZB.

:.NECF=NCFE.

CE=EF.

(2)•..AB是。。的直径，ZACB=90°.

ZDCF=90°.

：.ZDCE+ZECF=90°,ND+/EFC=90。.

由(1)得NECT=NCFE,

，/D=/DCE.

：.ED=EC.

：.ED=EC=EF.

即点E为线段。户的中点.

①四边形ECFG为菱形时，CF=CE.

VCE=EF,：.CE=CF=EF.

/.△CEF为等边三角形.

：.ZCFE=60°.

：.ZD=30°.

故填30。.

②四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形.

Z.ZCEF=45°.

ZCEF=ZD+ZDCE,

：.ZD=ZDCE=22.5°.

故填22.5°.

20.【答案】

(1)证明：•••四边形A3CO是菱形，

：.AB=BC,NABE=NCBE.

在△A3E和△C3E中，AB=BC,ZABE=ZCBE,BE=BE,

，AABE^ACBE(SAS)；

(2)解：如解图①，连接AC交8。于点O,分别过点A、E作的垂线，垂足

分别为点“、F,

解图①

•.•四边形ABCO是菱形，

J.ACVBD,

J5

'：AB=5,sinZABD=^-,

：.AO=OC