物理04守恒定律7xueshi

守恒量和守恒定律第2章力和加速度之间的瞬时效应——牛顿定律力的时间累积效应——冲量力的空间累积效应——功力的累积效应对积累对积累

一、质点动量定理§2-1

动量守恒定律力在

时间内的累积量为牛顿将物体动量对时间的变化率定义为作用在该物体上的力定义：——冲量(力对时间的积分)——质点动量定理动量定理在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量.将力与作用时间的乘积称为力的冲量impulse

用I表示积分形式(2)作用时间很短时，常引入平均冲力讨论：(1)

的方向一般不是的方向——矢量和的方向冲力应用与避免(3)直角坐标系中的分量形式(4)物体的动量相对不同的惯性系不同，但动量定律不变车上地上动量定理常应用于碰撞问题

越小，则越大.例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大.注意在一定时

二、质点系动量定理两个质点时相加n个质点时或合外力总动量系统内质点之间的作用力是作用力与反作用力内FiS0或即：系统所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量——质点系动量定理质点系的动量定理或tdF外iSpiSd微分形式dpiStdF外iS0tttdF外iSpiSpiS0积分形式因果因果总动量时间变化率所受合外力系统系统所受合外力冲量总动量的增量系统系统F外=0三、系统动量守恒当合外力时则=常矢量即：质点系所受合外力为零时，质点系的总动量保持不变——系统动量守恒定律讨论：时=常量时=常量=常量时(1)分量式(2)内力不影响系统总动量

4）动量守恒定律只在惯性参考系中成立,是自然界最普遍，最基本的定律之一.

3）守恒条件合外力为零当

时，可略去外力的作用,近似地认为系统动量守恒.系统总动量不变，但系统内各质点的动量可以改变和相互转移。定律给出了始末状态总动量关系，只要满足守恒条件，无需过问过程细节。动量守恒定律不仅适用于宏观物体，而且适用于微观粒子.

[例1]质量m=1kg

的小球作半径R=2m

的圆周运动，运动方程为(自然坐标)，求小球从到所受外力冲量大小和方向。解：设S为计时起点时时圆周周长小球速度方向如图方向解：由冲量定义有[例2]一质点受合外力作用，外力为求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在2s末的动量。(SI)根据动量定理解：水平方向上车和人系统动量守恒[例3]质量为m的人由小车一端走向另一端，小车质量为M、长为l

，求人和车各移动了多少距离?(不计摩擦)设车和人相对地面速度分别为和即——质点系动量定理设人在时间t

内走到另一端人相对于车的速度为[例4]一装沙车以速率v=3m/s从沙斗下通过。每秒钟落入车厢的沙为

m=500kg，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力？(车与轨道的摩擦不计)解：设m为t时刻已落入车厢的沙的质量以m和dm

为研究系统t+dt

时刻

t

时刻水平总动量为增量根据动量定理提拉软绳的拉力问题

软绳下落的压力问题

软绳下落的速度问题

火箭升空的助力问题

。。。。。

例5一柔软链长l，线密度为

。链条放在有一小孔的桌上,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动,链条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之间的关系.不计摩擦。解以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统,建立坐标由质点系动量定理得m1m2Oyy则则两边同乘以则m1m2Oyy又比较题mvX0已知停机时船速0，阻力kFrv问船还能走多远？xddtmvFrkvkddtxdmdvk得xdx0v0dvmk0止mkv0x止停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。从vv00x从0时x止解法提要动量定理和守恒定律的实际应用一、逆风行舟

与

动量定理二、火箭飞行原理

与

动量守恒定律加速飞行中的火箭

火箭飞行速度微分式多级火箭与质量比逆风行舟动量分析帆帆FFIpp112p22p2航向分力pp11tIFX2p22p2I逆风逆风p1p1m空气团分子质点系总动量m空气团分子质点系总动量ababbFFcosXbb~~pp112p22p20812ab~~动量分析逆风行舟的动量分析逆风行舟的应用1加速飞行中的火箭应用2宇航火箭在某航程中可忽略外力作用。假设t时刻M)(主体质量含燃料速度v(对某星)+时刻tdt喷燃气mdu(对主体)+vdv(对某星))(主体质量含燃料mdM1)试应用动量守恒定律证明dvMumd火箭主体速率微变火箭速度微分式Mvmdu+vdvmdM用动量守恒定律证明dvMumd+vu解法提要：质点系：参考系：宇航某航程中忽略外力，系统动量守恒。,主体燃气。某星统一各动量参考系：燃气对某星速度气+vdvvM)(对前进方向列式，并认定燃气方向为反前进方向：M+md)(+vdvmd(+vdvu)整理后得dvMumd---研究火箭飞行速度的基本微分式多级火箭与质量比mdu+vdvmdM2)：

从到多级火箭原理喷出燃气质量md，则主体质量增量Mdmd，MddvuMMd若u一定，则2v1vdvuMMM12Mdln1v2vuM2M1ulnM2M10，若起飞时1vM1M0，燃料喷尽时sM2M，2vvs，不考虑重力和阻力，vsulnMM0sh多级火箭在每级的燃料用完时该级箭体亦脱落，MM0s称火箭质量比。可提高火箭质量比，获得较大的终极速度。3)工程实际中的应用舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞设m1：外力,内力四、质心与质心运动定理有相加得m2：外力,内力1.质心对n个质点的系统有——系统的运动方程即设有其中各质点位矢以其质量为权重的平均——质心系统的全部质量、动量都集中点质量连续分布时在直角坐标系中有或求质心[例7]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为

建立如图的坐标系取线元dx质量得证或[例8]一半圆形均匀铁丝，半径为R，求其质心位置解：建立如图的坐标系任取一小段铁丝dl，质量由对称性知质心在y轴上质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确定的[例9]一半径为R的匀质圆盘，开了一半径为r

的圆孔，两圆中心O、O’相距为d，求其质心。解：建立如图的坐标系等效为质量为m1的无孔大盘和质量为-m2的小盘组合而成设圆盘的质量面密度为质心坐标：质心坐标：质心的运动练习：质心计算如图所示，一个细杆总长为L，单位长度的质量为

＝

0＋ax，其中

0和a为正常量．此杆的质心坐标xc＝______________

2.质心运动定理——质心运动定理有有在直角坐标系中(1)质心运动遵循与牛顿第二定律相同的规律讨论质心1质心2

(2)质心为质点系的代表点，其上集中了系统的全部质量和合外力(3)当时即常矢量=常矢量——系统动量守恒定律(4)系统内力不改变质心的运动(5)质心和重心是两个不同的概念(1)恒定加速度a：当提起y长度时(2)恒定速度v：[前例6---拉绳问题]解：当提起y

长度时质心同样可求得[例10]如图,用质心运动定理求。[例11]水平桌面上有一张纸，纸上放一均匀球，球的质量为M=0.5kg。将纸向右拉时有f=0.1N的摩擦力作用在球上。求该球球心加速度和从静止开始的2s内，球心相对桌面移动的距离解：质心：球心水平方向只受摩擦力作用根据质心运动定律有开始2s内球心运动的距离为力在空间的累积—功§2-2

机械能守恒定律一、功和功率力在位移方向上的分量与位移大小的乘积1.功——元功或在直角坐标系中2.功率单位时间内力所作的功a

b3.成对力的功作用力和反作用力：m2相对m1的位移作用力和反作用力的元功之和即：成对力的总功只与相互作用力及相对位移有关——与参考系的选择无关功=动能的增量二、动能定理1.质点即：合外力的功等于物体动能的增量——动能定理

功和动能都与参考系有关；动能定理仅适用于惯性系.注意hA3dxvtd2tkm2td力的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk2()J1042.25

107xFmdvdtdvtkmdtdvtkmdt0t0vv2tkm2vdxtd解法提要已知求m启动牵引力从0到10秒，xFtk若不计阻力。v0t00力的功。xF课堂-练=2吨(=6×103N/s)kX2.质点系内力外力根据动能定理对m1对m2两式相加即：外力和内力对质点系作的功之和等于质点系总动能的增量——质点系动能定理推广到n个质点的质点系[例12]质量为m的质点系在一端固定的绳子上在粗糙水平面上作半径为R的圆周运动。当它运动一周时，由初速v0减小为v0/2。求:(1)摩擦力作的功;(2)滑动摩擦系数;(3)静止前质点运动了多少圈?解：(1)根据动能定理，摩擦力的功(2)摩擦力方向与运动方向相反可得(3)设质点运动了n圈由动能定理有可得(圈)

三、势能

1.保守力保守力：所作的功只与物体的始末位置有关，而与运动的路经无关对保守力，沿任一闭合路径l

非保守力做功的大小，不仅与物体的始末位置有关，而且还与物体的运动路径有关。特点：如摩擦力粘滞力流体阻力非保守力非保守力

2.势能若物体间的相互作用力为保守力，保守力由物体间相对位置决定的能量，称为物体系的势能（或位能）。相对位置物体系的概念保守力的功EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能保守力做正功，物体系的势能减少；保守力做负功，物体系的势能增加。通常写成保守力的功EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能Ep系统势能增量的负值(1)重力势能重力或定义

若则——重力势能重力势能零点选择是任意的，通常取地面为重力势能零点(2)弹性势能弹性力若，则若，则当时定义:取弹簧自然长度时为弹性势能零点——弹性势能MMF引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMhAdF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrd

万有引力的功(3)万有引力的功ab

定义:若引力势能零点一般取在无穷远处——引力势能势能性质势能的性质势能是物体系中物体间相对位置配置状态参量的单值函数。势能属物体系所共有；势能是相对量，与势能零点选择有关。保守性只有在保守力场中才有；系统性相对性讨论：(1)只有保守力才能引入势能的概念(2)保守力的功等于系统势能增量的负值微分形式(3)系统在任一位置的势能等于它从该位置移动至势能零点时保守力所做的功(4)物体在某一位置的势能只有相对意义，势能之差有绝对意义力势关系

势能是标量，保守力是矢量。两者之间是否存在某种普遍的空间关系？

势能曲线的斜率对应任一位置处xxd0,dEp0xd0,dEp0xd0,dEp0xd0,dEp0()dEpxd0()dEpxd0(FxdEpxd(0沿X正向(FxdEpxd(0沿X反向XOxxFxFxEpdEpxdFx)(FxdEpxd一维弹性势能(5)保守力与势能的关系普遍关系三维空间中某质点在保守力

作用下势能发生微变rhFdEp()xyz,,FdEp()xyz,,d)Fxdx+zFyF+dydz(eeEpxdx+eeEpydy+eeEpzdz对比,,FxeeEpxyFeeEpyzFeeEpzFiFx+jyF+kzFeeEpxieeEpyjeeEpzkEp其中为(nabla)eexiyjzk+eeee+Ep称为势能梯度结论：保守力等于势能梯度的负值。保守力与势能的普遍关系——哈密顿算符内力为非保守力

四、功能原理

机械能守恒动能定理:内力：保守内力和非保守内力定义——系统机械能(如摩擦消耗)系统外力的功与系统非保守内力的功之和，等于系统机械能的增量——系统的功能原理——系统的机械能守恒当只有保守内力做功时，即则

若某一过程中外力和非保守内力都不对系统做功，或这两种力对系统做功的代数和为零，则系统的机械能在该过程中保持不变。[例13]如图，质量为m的木块，与弹性系数为k的轻弹簧碰撞，木块将弹簧压缩了x米。设木块与斜面之间的摩擦系数为μ，问开始碰撞时木块速率v为多大?解：设碰撞时及压缩最大时木块高度分别为h1、h2系统：木块、弹簧、劈、地球即[例14]质量为m1，m2

(m2>m1)的两木板A和B，用轻弹簧连在一起，如图所示。问:(1)至少需用多大的压力F加于上板，才能在该力撤去后，恰好使m2离开地面?(2)如m1，m2交换位置，结果如何?解：设施加F后弹簧比原长缩短,F撤去后弹簧伸长恰使m2提起(1)取压缩

x1处为重力势能零点AB解得(2)m1，m2交换位置，结果不变AB[例15]求人造卫星绕地球圆周运动和脱离地球引力所需要的最小发射速度(忽略大气阻力)。解：系统机械能守恒又牛顿第二定律和万有引力定律可得—第一宇宙速度：发射卫星所需的最小发射速度当当—第二宇宙速度：卫星逃脱地球引力的最小发射速度光滑半球面OhQhQ球面任意点

P

处由静止开始释放证明：hPhPhQhQ-13-hPhP练习Q滚至Q点处开始切向脱离球面hPhPPmRvθmhPhPhQhQPQO

解法提要取系统：地球，质点。内力：重力。外力：支撑力，但不做功。故在

P

—Q

过程中机械能守恒QhQmhPgmg+12mv2···(1)在Q

点处脱离球面时，质点动力学方程为···(2)mv2cosmgqR···(4)···(3)由

(1)

得QhQhPg2v2由

(2)

得gv2RcosqQhQ···(5)由

(3)(4)得12QhQhPQhQ、即QhQ2hP3···(6)由

(5)、(6)得1QhQhP12.2hP3hP3

非弹性碰撞：形变后不能完全复原,但能分开.

碰撞前后，机械能有损失(转化为热、声等能)完全非弹性碰撞：碰撞前后，机械能有损失，并以共同的速度运动§2-3碰撞----守恒定律应用完全弹性碰撞：碰撞前后，机械能守恒碰撞问题的基本物理模型两孤立球体正碰（即对心碰撞，碰撞前后两球速度共线）2mv1020v2m2m碰前碰（形变-恢复）碰后v2v1m1m1m1恢复系数：碰撞后两球的分离速度与碰撞前两球的接近速度的比值碰撞前碰撞后碰撞

一、一维碰撞即1.完全弹性碰撞

速度m2v2m1v1+m1v10m2v20+(1)…212m1v10++212m2v20212m1v1212m2v2(2)…m2(1)由得v10m1v1v2v20()(3)…v10m1m2v1v2v20()(2)由得2222(4)…(3)(4)得v10v1v2v20++即v1v2v20v10(5)…(3)由得(5)和v1v20)(m2m1v10+2m2m2m(1)+v10)(m1m2v20+2m1m2m(1)+v22mm1若速度交换讨论：1212v101212v1020vv1v2v221v10212mm12121v102mm1若2mm1且20v0()m12mv10m12m+,v1m1m12m+v102v2v1v2v1

2.完全非弹性碰撞讨论：可得能量损失损失

二、二维碰撞一般情况下，采用分量形式计算[例16]两质量不同的球A和B相互碰撞，A球原来静止，B球速率为v，碰撞后B球速率为v/2，并沿与原来路线垂直的方向运动。求碰撞后A球的运动方向解：由动量守恒

几个工程实际问题AvAvBBmAmB两个飞船对接后速度？太有用了!!

撞击力的瞬时性:撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化,急剧增加到最大值后，很快衰减。锤重4.45N;碰撞前锤的速度457.2mm/s;碰撞的时间间隔0.00044s;撞击力峰值1491N，

静载作用的335倍。铁锤打击钢板塑料碰撞的时间间隔0.01s;撞击力峰值244.8N，

静载作用的55倍。铁锤打击人体

碰撞现象的基本特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发生有限的改变。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常大。

碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为碰撞。

碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。碰撞的威力即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达3.56

105N，即为鸟重的2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。

害的一面：“鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。飞鸟撞机事故

1982年4月的一个傍晚，美国爱达荷空军国民警卫队第124战术侦察大队的训练开始了。35岁的优秀飞行员格雷格·恩格尔布赖特和32岁的领航员弗雷德·威尔逊，驾驶一架由F-4“鬼怪”式战斗机改装的RF-4C侦察战斗机，在俄勒岗中部地区作低空飞行训练时，飞行员左侧的挡风玻璃被一只重约25磅的大天鹅击中，恩格尔布赖特顿时失去了知觉，左臂鲜血直流.飞鸟撞机事故

1987年9月的一天，美国空军的一架可变后掠翼战略轰炸机B-1B，在离地面180多米的高度正以1000千米／小时（278米／秒）左右的速度飞行时，机头左前方突然闪过一道白光，一只重约6．8公斤的白鹈鹕鸟向战机袭来。B-1B在轰响中晃动起来，两台发动机的液压导管开始冒出浓烟，随后发动机的压缩器又出现了故障，排气温度急增。虽然全体机组人员奋力排障，但抖震和右滚现象仍无法控制，飞行高度随之急剧下降。在此危急关头，机组人员只好弃机跳伞。一架价值1亿美元的最现代化的战略轰炸机竞毁于一只飞鸟。

§2-4质点动量矩守恒定律一、质点的动量矩(角动量)对参考点O的位矢为定义：

——质点对参考点O的动量矩大小方向右手螺旋法则问题的提出地球上的单摆OmqvrLmvr大小会变L变太阳系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必会变。靠什么判断？L变变变导致角动量随时间变化的根本原因是什么？LddtL思路：分析与什么有关？二、力矩和动量矩定理

定义——对参考点的力矩1.质点——质点动量矩定理(微分式)大小力臂——质点系动量矩定理内力矩两两相消，即2.质点系三、质点(系)动量矩守恒定律——动量矩守恒定律当时，则=常矢量即：质点(系)所受外力对某点O的力矩为零，则质点(系)对O点的动量矩保持不变

若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。讨论:(1)动量矩是相对于参考点而言的对O’对O方向垂直向上不变大小大小方向不断变化(2)质点在有心力作用下动量矩守恒力的作用线始终通过一点(力心)(3)合力矩在某转轴上的分量为零时，质点系绕该轴的动量矩守恒——对力心的力矩为零转椅[例18]证明：一个不受外力作用的运动质点，对任一固定点的动量矩保持不变。解：质点作匀速直线运动设质点的质量为m，运动速度为相对于O=常矢量大小方向[例19]穿过水平桌面上小孔O的细绳的一端拴着质量为m的小球，小球在桌面上以速度v1沿半径为r1的圆周匀速转动。当非常缓慢地将绳下拉，使半径减小到r2时，求小球的速度和拉力T对小球所作的功（小球与桌面的摩擦不计）。解：绳子拉力对O点的力矩为零由动量矩守恒有因缓慢拉绳，忽略小球沿绳方向的速度，圆周近似同心。开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积证：

时刻m对O的角动量大小为tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2mhmsd+dtt()t)(qAdOrdrr+dr21Addrh21sdhdt瞬间位矢扫过的微面积因行星受的合外力总指向是太阳，角动量守恒。L（称为掠面速率）则LAddt2m常量位矢在相同时间内扫过的面积相等[例20]两人质量相等,位于同一高度,各由绳子一端开始爬绳,绳子与轮的质量不计,无摩擦.哪个先达顶?解:以两人及轮为系统,O为参考点,逆时针为正即两人同时到达顶点.法二:(角动量守恒)系统所受的外力矩矢量和为零,则角动量守恒讨论:1.若其中一个人不动,外力矩情况依然,内力矩对角动量无贡献,因而角动量守恒.即轻者先到达2。若m1≠m2则NEXT:刚体第三宇宙速度从地球发送脱离太阳引力所需最小初动能mm212vm21v2+m21vse2vv2+vse2第三宇宙速度1hms7360h11附一：第三宇宙速度从地球发射质点脱离太阳引力所需最小速度m21v2v(第二宇宙速度)脱离地球引力需初动能从仅脱离太阳引力需初动能rsem21v2se(vseG2Msrse)利用地球公转速度ve同向发射,vsevevseG2MeRe受益后的系统：()RM地球,,质点m条件：不考虑空气阻力及系统外力太阳,eMserse地球公转轨道公转速度ve日地距earthsunsunm抛体的轨迹与能量的关系

椭圆(包括圆)

抛物线

双曲线经典黑洞附二：“黑洞”的牛顿力学浅释某恒星质量为半径为。欲摆脱该恒星的引力，质点的逃逸速度应满足mvRMG21mv2MmR得v22GMR若此恒星的密度很大，以至于vcR2GM2c为光速则逃逸速度c这意味着连光也逃不脱如此高密度的天体的引力，成为“黑洞”黑洞新证据

据美联社

2004年

2月19

日报道，欧洲和美国天文学家宣布，他们借助X射线太空望远镜，在一个距地球大约7亿光年的星系中观测到了耀眼的X射线爆发。这一强大的X射线爆发是黑洞撕裂恒星的确凿证据。黑洞撕裂恒星恒星被“四分五裂”恒星被“四分五裂”天文学家首次观测到

据天文学家的描述，他们在代号为“RX-J1242-11”的星系中央地带观测到了这场“生死决斗”。黑洞的质量约为太阳质量的一亿倍，而该恒星与太阳的质量差不多。摘自《人民日报》和平号有控坠落“和平号”空间站的有控坠落“和平号”空间站的有控坠落v2MrGerGMe空间站椭圆轨道的扁率，与运行间站在近地点时到地心的距离为r速度有关。设地球质量为空vMe

的取值范围是v逐步减小，并在预设位置达下限v开始坠落、烧毁、余烬落入安全区。，附三：附三：续和平号第一次逆向点火制动二第次逆向点火制动三第次逆向点火制动

空间站在椭圆轨道上运行，若近地点至地心的距离为，在该点的运动速率为，椭圆轨道的扁率与的大小有关。的取值范围是在运行中，若间歇向前喷发燃气（逆向点火制动）减小运行速度，可逐步改变椭圆轨道扁率,进入预期的低轨道，然后更精确地控制最后一次逆向点火制动时间和姿态，使，令其按预定地点落入稠密大气层坠毁。rvv2GMerGMervGMervv原因之二在宇宙中有密度为

的尘埃,这些尘埃相对惯性参考系是静止的.有一质量为的宇宙飞船以初速穿过宇宙尘埃,由于尘埃粘贴到飞船上,致使飞船的速度发生改变.求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系.(设想飞船的外形是面积为S的圆柱体)

解尘埃与飞船作完全非弹性碰撞,把它们作为一个系统,则动量守恒.即得已知求与的关系.解

两个质子在盛有液态氢的容器中发生弹性碰撞.一个质子从左向右运动,与另一个静止质子相碰撞,碰撞后,两个质子的运动方向相互垂直.磁感强度的方向垂直纸面向里.两个质子发生二维的完全弹性碰撞练习二阿特伍德机求重力加速度轻滑轮1m2m22m0kgh01m1kgh细绳xXO0m3hsv11h0m3h4从静态释放测得解法提要：系统：2m1m,,,滑轮细绳h轻滑轮及细绳的质量均忽略；不计阻力。该系统内力做功代数和为零。外力做功2m1mxgxg12mv212mv212+0系统的动能增量g12mv212mv212+x()1m2ms()m22489..练习二势能性质M