匀质圆轮受力偶或水平力作用在水平地面上作纯滚动时的静摩擦力方向

匀质圆轮受力偶或水平力作用在水平地面上作纯滚动时的静摩擦力方向

在研究动力学时，经常会发现旋转轮在地面上完全滚动。从理论上看，圆形车轮与接触面之间的静摩擦力方向相反，与车轮和地面之间的相对运动趋势相反。然而，在实践中，很难直接确定摩擦的方向。因为摩擦的方向不仅与压力的性质和作用的位置有关，还受许多因素的影响，如圆形车轮的几何特性。然而，通用理论力学教材中没有这方面的评估方法。许多学生不知道什么时候会发生静摩摩擦，什么时候会确定，如果是这样，你应该如何确定它。本文将探讨在水平地面上作纯滚动的圆轮在受力偶或水平力作用时,静摩擦力方向的确定方法,并由此延伸到在斜面上作纯滚动的情形.1力偶作用的fs-ls移动无动力偶矩分布一质量为m,半径为R的匀质圆轮受矩为M的力偶作用在水平地面上作纯滚动,质心为C,与地面的接触点为P,如图1所示.下面来判定静摩擦力Fs的方向.如果轮与地面光滑接触,无摩擦力,则匀质轮将在原地绕质心C以角加速度α与M同转向加速转动,不能平移.现轮作纯滚动,则质心一定有平移的加速度aC,且每瞬时与地面的接触点P为速度瞬心点,由基点法,有式中,aP为速度瞬心点P的加速度,为质心C相对速度瞬心点P的法向加速度,为质心C相对速度瞬心点P的切向加速度.aC与同向,方向水平向右.那么是什么力的存在产生了—个平移的加速度?这就是轮与地面间的静摩擦力Fs,起主动力作用,所以与aC同向,方向也水平向右,如图1.由相对质心的动量矩定理,摩擦力Fs对质心C的力矩与主动外力偶矩M的转向相反,因而又起到了阻碍圆轮转动的作用.当然,也可以事先任意假定Fs的方向,列写平面运动微分方程求出Fs,根据所得结果的正负确定其方向,即如果求出的是正值则说明与假定方向相同,反之与假定方向相反.通过上述讨论,可以知道只受力偶作用作纯滚动的圆轮,其摩擦力的方向仅仅取决于主动外力偶矩的转向,判定依据为摩擦力在纯滚动中的两个相对作用:其一,相对质心产生一个与主动外力偶矩反向的力矩从而阻碍轮子的转动;其二,为轮的平移部分提供主动力.自行车后轮及汽车的驱动轮均属此类情况.实际上无论何种受力状态的纯滚动轮,其摩擦力的作用总是如此相对的.2静摩擦力fs的方向受水平力作用作纯滚动的圆轮,其静摩擦力Fs方向的确定相对要复杂一些.以图2所示为例,匀质圆轮质量为m,半径为R,相对质心C的惯性半径为ρ,受水平力F作用在水平地面上作纯滚动.下面用平面运动微分方程和动能定理两种方法来确定静摩擦力Fs的方向.2.1质心距离及运动方程轮的受力分析和运动分析如图3所示,假设静摩擦力Fs与主动力F同向,以质心C为坐标原点建立图示的坐标系Cx轴,设力F作用线到质心C距离为x,平面运动微分方程如下式中,JC为圆轮相对质心C的转动惯量,为外力对质心C的力矩,其他符号同上.由于轮作纯滚动,所以有补充方程联立式(3)～式(5),得显然,当时,Fs>0,意味着Fs的实际方向与假定方向相同,即静摩擦力Fs与主动力F同向;反之,2当时,Fs<0,说明与假定方向相反,即静摩擦力Fs与主动力F反向;临界状态为,此时Fs=0,无静摩擦力.2.2表面作纯滚动力fs纯滚动圆轮的平面运动可选取质心C为基点分解为随同质心C的平移和绕着质心C的转动两部分,而作用在圆轮上的平面任意力系向其质心C简化通常会得到一个主矢和一个主矩MC(Fi),正是这个主矢和主矩分别使刚体产生上述的平移和转动效应.轮在水平地面上作纯滚动时,为理想约束系统,静摩擦力Fs不作功;或者认为Fs作功,但实现的是轮平移动能与转动动能间的转化,其能量一正一负,大小相等,故Fs作的总功仍为零.因此,主矢作的功将转化为平面运动刚体平移部分动能的增量,主矩MC(Fi)作的功将转化为平面运动刚体转动部分动能的增量.下面将用上述理论讨论纯滚动轮静摩擦力方向的确定.在任一瞬时平面运动圆轮平移部分的动能为式中,vC为质心C平移的速度.相对质心C转动的动能为式中,ω为圆轮转动的角速度.假设圆轮获得上述动能时质心平移的距离为s,圆轮转过的角度为φ,则力作的功为力偶矩MC(Fi)作的功为若不考虑其他的能量损失,功与动能间存在对应转换关系分别代入4个参量,并考虑到轮作纯滚动,有vC=Rω,s=Rφ,得结果与用平面运动微分方程得出的式(6)完全一致.2.3相对主动力在fs和fsfn由上面的分析可以看出,受水平力作用在水平地面上作纯滚动的圆轮,只要圆轮的大小和相对质心C的惯性半径已知,水平力F的作用位置也确定,那么圆轮与地面间是否有摩擦,以及有摩擦力时摩擦力的方向均是可以确定的.以质量分布均匀的匀质圆轮为例,代入知:(1)当时,Fs与F同向,摩擦力起到了使圆轮加速平移和减速转动的双重作用.需要注意的是,要保证圆轮作纯滚动,还必须满足Fs≤fsFN,所以只有当也成立时,该条件才有意义,否则只要主动力F足够大,圆轮一定会做又滚又滑的平面运动.(2)当时,Fs与F反向,摩擦力的作用则与第1种情形完全相反,使圆轮减速平移和加速转动.这时,要保证圆轮作纯滚动,要求.(3)当时,Fs=0,意味着无论轮与地面间是否为光滑接触,只要主动力F不为零,圆轮都会在水平面上一直作加速纯滚动,即使主动力F等于零,圆轮仍满足惯性定律作匀速的纯滚动.工程上汽车非驱动轮的动力学分析,就是主动力作用在质心C的情况,静摩擦力与主动力方向相反,阻碍轮的平移,但提供轮转动的力矩.另外,绕有细绳的滚子或鼓轮以及某些通过柔索传递运动的鼓轮与圆轮的焊接体等,均是此类动力学问题.3均匀干扰结构的静摩擦力与水平地面上作纯滚轮的静摩擦力的关系匀质圆轮受力偶作用在水平地面上作纯滚动时,其静摩擦力的方向是确定的,只与外力偶矩的转向有关,判定依据为静摩擦力对质心取矩其转向与外力偶矩的转向相反,或与轮平移的加速度方向相同.而匀质圆轮受水平力作用在水平地面上作纯滚动时,静摩擦力是否有,若有具体指向是什么,取决于水平力的作用位置、圆轮的半径、圆轮相对质心C的惯性半径,如果上述影响因子无确定值,可在摩擦力的方位上任意假定其方向.对纯滚动轮而言,无论何种受力情况,其