中考专题：求平面几何阴影部分的面积

求阴影部分图形面积近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：一、规律探究型例1宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）．（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．（2）如图2，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？（3）如图3，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）分析（1）利用“S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可；（2）利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）直接求解比较困难，可利用求补法，即“S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O2O1交⊙O1于A，则S空白=4SO1AB，由（1）根据对称性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，这样S空白解答（1）设两圆交于A、B两点，连结O1A，O2A，O1B，O则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓．∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A∴S△AO1O2=r2，S弓=-r2=-r2．∴S阴=2×r2+4（r2-r2）=r2-r2．（2）图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓．∵△O1O2O3为正△，边长为r．∴S△O1O2O3=r2，S弓=-r2．∴S阴=r2+3（-r2）=r2-r2．（3）延长O2O1与⊙O1交于点A，设⊙O1与⊙O4交于点B，由（1）知，SO1BO4=（r2-r2）．∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=-（r2=r2）=-r2+r2．则S阴=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r2-4（-r2+r2）=r2+r2-r2=（+1-）r2．二、方案设计型例2在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，我得到路的宽为2m或12m．小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同．（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）分析（1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x；（3）可由图形对称性来设计．解（1）小明的结果不对．设小路宽xm，则得方程（16-2x）（12-2x）=×16×12解得：x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意．（2）由题意，4×=×16×12x2=，x≈5.5m．（3）方案有多种，下面提供5种供参考：三、网格求值型例3图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．（1）直接写出单位正三角形的高与面积；（2）图1中的ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；（4）求出图2中四边形EFGH的面积．（2005年吉林省中考题）分析（1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC的高AK，构造直角三角形，再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边形EFGH面积．解：（1）单位正三角形的角为，面积为，（2）ABCD含有24个单位正三角形，故其面积为24×=6．（3）如图1，过A作AK⊥BC于K，在Rt△ACK中，AK=，KC=．∴AC===．（4）如图3，构造EQSR，过F作FT⊥QG于T，则S△FQG=FT·QG=××4=3．同理可求S△GSH=，S△EHR=6，SEQSR=18．∴S四边形EFGH=SEQSR-S△FQG-S△GSH-S△EHR=18-3--6=8．四、图形对称型例4如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过C、E和D、F，则图中阴影部分的面积是_________．（2005年河南省中考题）分析由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y轴对称，故y轴左侧阴影部分面积等于半圆B中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆B的面积，即S阴=·12=．解答：．五、图形变换型例5如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线L上，依次为B、C′、D″，依次为B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°．这样点A走过的曲线依次为、、，其中交CD于点P．（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；（2）求的长；（3）求图中部分的面积S；（4）求图中部分的面积T．（2005年吉林省中考题）分析（1）要求A′C′，因长宽分别为2和1，利用勾股定理即可；（2）要求，因所对圆心角为∠ABA′=90°，半径AB=2，利用弧长公式即可；（3）因△A′C′D′≌△A″C′D″，故S=S扇形A`C``A``；（4）连PB，则PB=AB=2，又BC=1，故∠PBC=60°，∠ABP=30°，欲求T，由“T=S扇形ABP+S△BCP”即可．解答（1）A′C′==（cm）．（2）=×2=（cm）．（3）S=S扇形A`CA``==（cm）（4）连结BP，在Rt△BCP中，BC=1，BP=2，∴∠BPC=30°，CP=，∴∠ABP=30°，∴T=S扇形ABP+S△PBC=×22+=（+）cm2．六、实际应用型例6在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”．如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A、B、C、D四珠顺次连结成为一个菱形，且AB=BD；A′、B′、C′、D′四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积，两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．在株距都为a，其他客观因素也相同的条件下，请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法．哪种方法能更充分地利用土地．分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S和S．对应值小的即为合理密植．解连结AC交BD于点O．在菱形ABCD中，有AB=AD，AC⊥BD，BO=BD．∵AB=BD=a，∴BO=OD=a．在Rt△AOD中，AO==a．∴S菱形ABCD=2×BD·AO=a2，S正方形A`B`C`D`=a2．设方法（1）中空隙地面积为S1，方法（2）中空隙地面积为S2．则S1=S菱形ABCD-S☉A=a2-a2，S2=S正方形A`B`C`D`-S☉A`=a2-a2．∵<1，∴AO<A′B′，S菱形ABCD<S正方形A`B`C`D`，S1<S2．∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．运用转化思想巧求阴影面积“转化思想”是中学数学中一种重要的数学思想,将未知转化为已知,将复杂转化为简单,.通过转化,会使问题化繁为简,化难为易,思路清淅,演算简单.而在求与圆有关的阴影部分的面积时,通常是将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差.现就2008年中考题精选几例解析如下，供同学们参考：例1(2008广西桂林)两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为分析本例涉及到同心圆的概念、圆环面积的计算方法.求出圆环的面积，即大圆的面积减去小圆的面积，.将阴影部分的面积转化为圆环面积的一半.解ABC例2(2008湖北孝感)中，，，，ABC两等圆⊙A,⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A． B． C． D．分析此例综合考查了圆、扇形面积、勾股定理的知识以及转化的数学思想.由勾股定理可求得AB=10，则两圆的半径为5，∠A+∠B=900,从而阴影部分的面积可转化为半径为5,圆心角为90°的扇形的面积.解A例3(2008四川自贡)如图所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端栓着一只小羊R.那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是（）A．B．C．D．分析小羊在草地上的最大活动区域的面积可转化为1个半径为5米,圆心角为90°的扇形半径为1米,圆心角为90°的扇形的面积之和(即图中)阴影部分的面积).解B例4(2008广西南宁)如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）分析阴影部分的面积可转化成以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上Rt△ABC的面积再减去以AB为直径的半圆的面积，即====解24点评由勾股定理可得例5(2008吉林长春)如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是()A．B．C．D．分析∠EPF=40°，则∠EAF=80°，连AD,则AD⊥BC,且AD=2阴影部分的面积可转化为△ABC与扇形AEF的面积之差.解BCCBAOFDE例6(2008江西